动态电磁场问题(总结)

                     

贡献者: ACertainUser; addis

预备知识 静电场与静磁场(摘要)

1. 电磁感应

   在理论与现实的诘难下1,法拉第与麦克斯韦等人前仆后继地提出了电磁感应定律,即耳熟能详的 “磁生电、电生磁”。电磁感应定律引入了两个含时项,如下表所示:

图
图 1:不大严谨的电磁感应示意图
表1:电场与磁场的旋度(无源)
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
$$\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = -\int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~$$ 法拉第定律:变化的磁场感应出电场;楞次定律:$- \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} $ 前的负号,代表一种阻碍作用 $$ \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~$$ 安培-麦克斯韦定律:变化的电场感应出磁场

   这两个含时项的内涵远比他表面上看起来的深远,所有对于变化电磁场的理解,从光学到电路到无线通信,都离不开这两个含时项。可以说,这两个含时项直接翻开了人类历史的新篇章,以及电动力学的后大半本书。

2. Maxwell 方程

   结合电磁感应定律与原有的静场方程,我们就得到了如雷贯耳的 Maxwell 方程组

表2:Maxwell 方程组
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
散度方程 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~$$
旋度方程 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~$$

   Maxwell 方程组的这四个方程是电动力学的根基。

   现在,在 Maxwell 方程组的加持下,原则上我们不仅能处理静场问题,还能处理各种动态问题,包括那些场源也在随时间变化的问题,正所谓电 “动” 力学(电磁感应定律似乎没有直接提及场源的变化如何导致电磁场的变化,但 Maxwell 方程组确实能处理这个问题)。

3. 势

表3:电势与磁势
* 电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
势与场 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$$
势的任意性,“规范”;$\lambda$ 是同一标量函数 $$\varphi += - \frac{\partial \lambda}{\partial t} ~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} += \boldsymbol\nabla \lambda~$$ $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的取值可被控制
势的方程;达朗贝尔方程 $$ \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~$$ (洛伦兹规范) $$ \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~.$$ (洛伦兹规范)
场源导致的势;推迟势 $$\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t-\frac{R}{c})}{R} \,\mathrm{d}{V} '~.$$ (洛伦兹规范) $c$ 指光速 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t-\frac{R}{c})}{R} \,\mathrm{d}{V'} ~.$$ (洛伦兹规范)

   洛伦兹规范:取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~$。

   在动态问题中,$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 不再是无旋场,因此不能按照套路定义标势;但是,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 仍然是无散的,因此仍可定义磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$。将磁矢势的方程带入 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} $,发现 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} }} \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} = - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \Rightarrow \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ) = 0$,即 $( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} )$ 这个奇怪的组合作为整体是无旋的,自然可为其定义一个标势 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \varphi$,即有 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} $。

   由此,我们推广了势的含义,从而得到了动态问题中的势

势的规范变换;洛伦兹规范

   同静场问题一样,势的取值依旧具有任意性,只是此时电势与磁势得此消彼长:在磁势加上 $ \boldsymbol\nabla \lambda$ 的同时,电势得加上 $ - \frac{\partial \lambda}{\partial t} $,才能再得到相同的场。

   同样地,我们可以做规范变换;不过与静场问题不同,我们一般不选取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$(库伦规范),反而选取 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~$(洛伦兹规范)。尽管洛伦兹规范形式上看起来更复杂,但它使势的达朗贝尔方程高度对称、简明(见下)。

达朗贝尔方程;推迟势

   将势的表达形式代回 Maxwell 方程组、选取洛伦兹规范,并运用一些数学技巧,就能得到达朗贝尔方程组。达朗贝尔方程组之于势,犹如 Maxwell 方程组之于场。或许你已经注意到,达朗贝尔方程形式上是一个波动方程。

   根据达朗贝尔方程,我们可以解出势对动态场源的响应的方程(你可以根据格林函数法从达朗贝尔方程推导2,或者将其带回达朗贝尔方程检验 [1],不过两种方法都十分艰难)。现在,无论是势还是源都是含时的:这无可厚非,因为动态问题中场源是变化的,而势为了响应动态变化的场源,自然也必须是动态的。

   看起来,动态问题中的势只不过是比静场问题中的势形式上多了一个含时项。但问题远非如此简单,正如显式写出的那样,场源与场点所含的 “时” 是不同的:场点的 “时” 是 $t$,而场源的 “时” 是 $(t-\frac{R}{c})$ (如果你忘记了,$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $ 是场源到场点的距离),二者相差一个 $(-\frac{R}{c})$ 的延时。这是为什么?这就涉及到近代物理中一个不可回避的重要观点:信息传递不是及时的,而是需要时间的,并且传递速度是光速 $c$。

   举个例子,$t=t_0$ 时刻的场点,能够感受到 $R$ 距离之外场点 $t=t_0$ 时的及时信息吗?不能,因为信息传递是需要时间的、$t=t_0$ 时刻场源的信息还没被发送到场点。场点能知道的,只是 $\frac{R}{c}$ 前,即 $t=t_0-\frac{R}{c}$ 时刻场源的信息。这就引出了推迟势 的概念。有时定义推迟时刻 $t_r = t - \frac{R}{c}$。

   要记住,$t_r = t-\frac{R}{c} = t-\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert }{c}$ 是含 $R$ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的。对于同一个场点,各个场源的 $t_r = t - \frac{R}{c}$ 仍是不同的,因为场点到各个场源的距离 $R$ 是不同的。

图
图 2:源->势->场

运动电荷的电磁场

   最后,我们能不能像处理静场问题中的点电荷一样,根据这些知识处理一个运动点电荷的电磁场?答案当然是可以,但是由于晦涩难懂的推迟势问题,即使是最简单的匀速运动电荷的电场也异常繁杂,此处不再Ctrl+V。具体请参考 李纳-维谢尔势带电粒子的辐射

   尽管动态问题中的势看起来只比静场问题中的势多了一个含时项,但如果你试图对场的方程做同样操作,你将得不到正确的场,正确的形式可参考 杰斐缅柯方程 [1]

4. 电磁场的 “物质性”

   在上文中,我们知道了信息在电磁场中传递是需要时间的。这似乎让我们察觉到电磁场如同一种 “信使”、具有某种物质含义。接下来,我们会论证电磁场自己的能量、动量以及角动量,这让你更充分地感受到电磁场的 “物质性”。

电磁场能量及密度

表4:电磁场能量及密度
电场 磁场
源-势 $$ U = \frac{1}{2}\sum q_i \varphi_i = \frac{1}{2} \int \rho \varphi \,\mathrm{d}{V} ~$$ $$U = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} \,\mathrm{d}{V} ~$$
$$U=\frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 \,\mathrm{d}{V} ~$$ $$u = \frac{\epsilon_0}{2} E^2~$$ $$U=\frac{1}{2\mu_0} \int B^2 \,\mathrm{d}{V} ~$$ $$u=\frac{1}{2\mu_0} B^2~$$

能量与能量流

   考虑一个小区域内广义洛伦兹力对电荷做功,这将改变电荷的机械动能: $$ \begin{aligned} \frac{\partial u_{mech}}{\partial t} &= \boldsymbol{\mathbf{f}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} \\ & = \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot (\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} )\\ & = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\ & = \frac{1}{\mu_0} (- \boldsymbol{\mathbf{B}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ))- \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\ & = - (\frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial B^2}{\partial t} + \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{\partial E^2}{\partial t} ) - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\ & = - \frac{\partial }{\partial t} (\frac{1}{2\mu_0} B^2 + \frac{\varepsilon_0}{2} E^2) - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned} ~. $$

   注意到 $(\frac{1}{2\mu_0} B^2 + \frac{\varepsilon_0}{2} E^2) = u_{emf}$ 就是我们以前知道的电磁场能量密度。电荷系统中所谓 “系统的电势能” 其实就是暗藏在电场的能量。

   将上式重新整理,我们得到 $$ - \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \frac{\partial u_{mech}}{\partial t} + \frac{\partial u_{emf}}{\partial t} ~, $$ 类比电荷守恒方程 $- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{\partial \rho}{\partial t} $,其中的物理意义已经很显然了,这个方程告诉我们流入区域的 $\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ (负号代表流入) 将转换为粒子的机械动能与电磁场的能量,那么 $ \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 应该是某种与电磁场能量有关的流。由此,我们将其定义为 Poynting 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $,代表电磁场能流密度。 $$ \boldsymbol{\mathbf{S}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~. $$

动量与动量流

   具体可参考 电磁场的动量守恒、动量流密度张量

角动量

   具体可参考 [1]


1. ^ 理论的诘难是,如果你对静磁旋度方程两边取旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} $,你会发现 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} $,根据矢量运算法则,这意味着 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0$,与电荷守恒方程 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial q}{\partial t} = 0$ 矛盾;现实的诘难是,人们发现在变化磁场中的线圈中会产生电流,而这是无法靠洛伦兹力公式解释的:磁场不能驱动静止的电荷,也不能对其做功。
2. ^ 比如参考周磊教授的《电动力学讲义》


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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