动态电磁场问题（总结）

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　静电场与静磁场（摘要）

1. 电磁感应

　　在理论与现实的诘难下¹，法拉第与麦克斯韦等人前仆后继地提出了电磁感应定律，即耳熟能详的 “磁生电、电生磁”。电磁感应定律引入了两个含时项，如下表所示：

图 1：不大严谨的电磁感应示意图

表1：电场与磁场的旋度（无源）

电场 $E$	磁场 $B$
$\oint E \cdot d l = - \int \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d A$ $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ 法拉第定律：变化的磁场感应出电场；楞次定律： $- \frac{\partial B}{\partial t}$ 前的负号，代表一种阻碍作用	$\oint B \cdot d l = μ_{0} ϵ_{0} \int \frac{\partial E}{\partial t} \cdot d A$ $\nabla \times B = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ 安培-麦克斯韦定律：变化的电场感应出磁场

　　这两个含时项的内涵远比他表面上看起来的深远，所有对于变化电磁场的理解，从光学到电路到无线通信，都离不开这两个含时项。可以说，这两个含时项直接翻开了人类历史的新篇章，以及电动力学的后大半本书。

2. Maxwell 方程

　　结合电磁感应定律与原有的静场方程，我们就得到了如雷贯耳的 Maxwell 方程组：

表2：Maxwell 方程组

	电场 $E$	磁场 $B$
散度方程	$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}$	$\nabla \cdot B = 0$
旋度方程	$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$	$\nabla \times B = μ_{0} j + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

　　 Maxwell 方程组的这四个方程是电动力学的根基。

　　现在，在 Maxwell 方程组的加持下，原则上我们不仅能处理静场问题，还能处理各种动态问题，包括那些场源也在随时间变化的问题，正所谓电 “动” 力学（电磁感应定律似乎没有直接提及场源的变化如何导致电磁场的变化，但 Maxwell 方程组确实能处理这个问题）。

3. 势

表3：电势与磁势

*	电场 $E$	磁场 $B$
势与场	$E = - \nabla φ - \frac{\partial A}{\partial t}$	$B = \nabla \times A$
势的任意性，“规范”； $λ$ 是同一标量函数	$φ + = - \frac{\partial λ}{\partial t}$	$A + = \nabla λ$ $\nabla \cdot A$ 的取值可被控制
势的方程；达朗贝尔方程	$\nabla^{2} φ - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}$ (洛伦兹规范)	$\nabla^{2} A - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = - μ_{0} j .$ (洛伦兹规范)
场源导致的势；推迟势	$φ (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t - \frac{R}{c})}{R} d V^{'} .$ (洛伦兹规范) $c$ 指光速	$A (r, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}, t - \frac{R}{c})}{R} d V^{'} .$ (洛伦兹规范)

　　洛伦兹规范：取 $\nabla \cdot A = - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t}$ 。

势

　　在动态问题中， $E$ 不再是无旋场，因此不能按照套路定义标势；但是， $B$ 仍然是无散的，因此仍可定义磁矢势 $B = \nabla \times A$ 。将磁矢势的方程带入 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ ，发现 $\nabla \times E = - \frac{\partial \nabla \times A}{\partial t} = - \nabla \times \frac{\partial A}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times (E + \frac{\partial A}{\partial t}) = 0$ ，即 $(E + \frac{\partial A}{\partial t})$ 这个奇怪的组合作为整体是无旋的，自然可为其定义一个标势 $E + \frac{\partial A}{\partial t} = - \nabla φ$ ，即有 $E = - \nabla φ - \frac{\partial A}{\partial t}$ 。

　　由此，我们推广了势的含义，从而得到了动态问题中的势。

势的规范变换；洛伦兹规范

　　同静场问题一样，势的取值依旧具有任意性，只是此时电势与磁势得此消彼长：在磁势加上 $\nabla λ$ 的同时，电势得加上 $- \frac{\partial λ}{\partial t}$ ，才能再得到相同的场。

　　同样地，我们可以做规范变换；不过与静场问题不同，我们一般不选取 $\nabla \cdot A = 0$ （库伦规范），反而选取 $\nabla \cdot A = - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t}$ （洛伦兹规范）。尽管洛伦兹规范形式上看起来更复杂，但它使势的达朗贝尔方程高度对称、简明（见下）。

达朗贝尔方程；推迟势

　　将势的表达形式代回 Maxwell 方程组、选取洛伦兹规范，并运用一些数学技巧，就能得到达朗贝尔方程组。达朗贝尔方程组之于势，犹如 Maxwell 方程组之于场。或许你已经注意到，达朗贝尔方程形式上是一个波动方程。

　　根据达朗贝尔方程，我们可以解出势对动态场源的响应的方程（你可以根据格林函数法从达朗贝尔方程推导²，或者将其带回达朗贝尔方程检验 [1]，不过两种方法都十分艰难）。现在，无论是势还是源都是含时的：这无可厚非，因为动态问题中场源是变化的，而势为了响应动态变化的场源，自然也必须是动态的。

　　看起来，动态问题中的势只不过是比静场问题中的势形式上多了一个含时项。但问题远非如此简单，正如显式写出的那样，场源与场点所含的 “时” 是不同的：场点的 “时” 是 $t$ ，而场源的 “时” 是 $(t - \frac{R}{c})$ (如果你忘记了， $R = | r - r^{'} |$ 是场源到场点的距离)，二者相差一个 $(- \frac{R}{c})$ 的延时。这是为什么？这就涉及到近代物理中一个不可回避的重要观点：信息传递不是及时的，而是需要时间的，并且传递速度是光速 $c$ 。

　　举个例子， $t = t_{0}$ 时刻的场点，能够感受到 $R$ 距离之外场点 $t = t_{0}$ 时的及时信息吗？不能，因为信息传递是需要时间的、 $t = t_{0}$ 时刻场源的信息还没被发送到场点。场点能知道的，只是 $\frac{R}{c}$ 前，即 $t = t_{0} - \frac{R}{c}$ 时刻场源的信息。这就引出了推迟势的概念。有时定义推迟时刻 $t_{r} = t - \frac{R}{c}$ 。

　　要记住， $t_{r} = t - \frac{R}{c} = t - \frac{| r - r^{'} |}{c}$ 是含 $R$ 与 $r^{'}$ 的。对于同一个场点，各个场源的 $t_{r} = t - \frac{R}{c}$ 仍是不同的，因为场点到各个场源的距离 $R$ 是不同的。

图 2：源->势->场

运动电荷的电磁场

　　最后，我们能不能像处理静场问题中的点电荷一样，根据这些知识处理一个运动点电荷的电磁场？答案当然是可以，但是由于晦涩难懂的推迟势问题，即使是最简单的匀速运动电荷的电场也异常繁杂，此处不再Ctrl+V。具体请参考李纳-维谢尔势与带电粒子的辐射。

　　尽管动态问题中的势看起来只比静场问题中的势多了一个含时项，但如果你试图对场的方程做同样操作，你将得不到正确的场，正确的形式可参考杰斐缅柯方程 [1]。

4. 电磁场的 “物质性”

　　在上文中，我们知道了信息在电磁场中传递是需要时间的。这似乎让我们察觉到电磁场如同一种 “信使”、具有某种物质含义。接下来，我们会论证电磁场自己的能量、动量以及角动量，这让你更充分地感受到电磁场的 “物质性”。

电磁场能量及密度

表4：电磁场能量及密度

	电场	磁场
源-势	$U = \frac{1}{2} \sum q_{i} φ_{i} = \frac{1}{2} \int ρ φ d V$	$U = \frac{1}{2} \int A \cdot j d V$
场	$U = \frac{ϵ_{0}}{2} \int E^{2} d V$ $u = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2}$	$U = \frac{1}{2 μ_{0}} \int B^{2} d V$ $u = \frac{1}{2 μ_{0}} B^{2}$

能量与能量流

　　考虑一个小区域内广义洛伦兹力对电荷做功，这将改变电荷的机械动能： $\begin{aligned} \frac{\partial u_{m e c h}}{\partial t} & = f \cdot v = ρ (E + v \times B) \cdot v = ρ E \cdot v = E \cdot j \\ = E \cdot (\frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) \\ = \frac{1}{μ_{0}} E \cdot (\nabla \times B) - ϵ_{0} E \frac{\partial E}{\partial t} \\ = \frac{1}{μ_{0}} (- B \frac{\partial B}{\partial t} - \nabla \cdot (E \times B)) - ϵ_{0} E \frac{\partial E}{\partial t} \\ = - (\frac{1}{2 μ_{0}} \frac{\partial B^{2}}{\partial t} + \frac{ε_{0}}{2} \frac{\partial E^{2}}{\partial t}) - \frac{1}{μ_{0}} \nabla \cdot (E \times B) \\ = - \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} + \frac{ε_{0}}{2} E^{2}) - \frac{1}{μ_{0}} \nabla \cdot (E \times B) \end{aligned} .$

　　注意到 $(\frac{1}{2 μ_{0}} B^{2} + \frac{ε_{0}}{2} E^{2}) = u_{e m f}$ 就是我们以前知道的电磁场能量密度。电荷系统中所谓 “系统的电势能” 其实就是暗藏在电场的能量。

　　将上式重新整理，我们得到 $- \frac{1}{μ_{0}} \nabla \cdot (E \times B) = \frac{\partial u_{m e c h}}{\partial t} + \frac{\partial u_{e m f}}{\partial t},$ 类比电荷守恒方程 $- \nabla \cdot j = \frac{\partial ρ}{\partial t}$ ，其中的物理意义已经很显然了，这个方程告诉我们流入区域的 $\frac{1}{μ_{0}} E \times B$ (负号代表流入) 将转换为粒子的机械动能与电磁场的能量，那么 $\frac{1}{μ_{0}} E \times B$ 应该是某种与电磁场能量有关的流。由此，我们将其定义为 Poynting 矢量 $S$ ，代表电磁场能流密度。 $S = \frac{1}{μ_{0}} E \times B .$

动量与动量流

　　具体可参考电磁场的动量守恒、动量流密度张量。

角动量

　　具体可参考 [1]。

1. ^ 理论的诘难是，如果你对静磁旋度方程两边取旋度 $\nabla \times B = μ_{0} j$ ，你会发现 $\nabla \cdot (\nabla \times B) = μ_{0} \nabla \cdot j$ ，根据矢量运算法则，这意味着 $\nabla \cdot j = 0$ ，与电荷守恒方程 $\nabla \cdot j + \frac{\partial q}{\partial t} = 0$ 矛盾；现实的诘难是，人们发现在变化磁场中的线圈中会产生电流，而这是无法靠洛伦兹力公式解释的：磁场不能驱动静止的电荷，也不能对其做功。
2. ^ 比如参考周磊教授的《电动力学讲义》

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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