电场的能量

             

预备知识 电容

  1首先我们来回顾一下真空中平行板电容器(例 2 )的能量

\begin{equation} E_p = \frac12 CV^2 = \frac12 \epsilon_0 \frac Sd (Ed)^2 = \frac 12 \epsilon_0 \tau E^2 \end{equation}
其中 $\tau = Sd$ 为平行板间长方体的体积.这条公式容易让我们联想到电势能储存在电场之中.在电动力学中,这种理解是正确的,我们不妨把电场含有的能量称为电场能.通过上式,我们假设空间中任意一点的电场能密度为 $\epsilon_0 E^2/2$,则总电场能可以通过体积分得到
\begin{equation} E_p = \frac12 \epsilon_0 \int \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^2 \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
可以证明该式定义的电场能与式 26 定义的电势能是完全等效的
\begin{equation} E_p = \frac 12 \int V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}

1. 证明

预备知识 分部积分的高维拓展

   电场的高斯定律

\begin{equation} \rho = \epsilon_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
代入式 3
\begin{equation} E_p = \frac{\epsilon_0}2 \int V ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
由 3 维分部积分式 4
\begin{equation} E_p = \frac{\epsilon_0}2 \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} V \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \frac{\epsilon_0}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla V \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
当我们把积分区域拓展到无限大时,右边第一个面积分趋于 0.右边第二个积分可以利用电场与电势的关系 $ \boldsymbol\nabla V = - \boldsymbol{\mathbf{E}} $(式 10 ).带入可得式 2 .证毕.


1. ^ 本文参考 [15]

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