电场的能量

                     

贡献者: addis; _Eden_; ACertainUser

预备知识 电势、电势能

  1 如果我们认为电荷之间的交互作用是经由电场实现的(而不是令人费解的电荷间超距作用),那么系统的电势能实则储存于电场之中;或者说,电场本身具有能量,而电势能是电场能量的体现。我们不妨把电场含有的能量称为电场能。以下假定空间中不存在电介质,只存在孤独的电荷们与一望无际的真空

   电场能与电场强度的关系:

\begin{equation} E_p = \frac12 \epsilon_0 \int \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )^2 \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}

   因此,单位体积的电场能量密度为

\begin{equation} u = \frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 \end{equation}

固有能与相互作用能

   我们知道电场的叠加原理:当多个电荷存在时,总电场等于各个电荷各自的电场之和 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 +... $$ 因此, $$ \begin{aligned} u &= \frac12 \epsilon_0 ( \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{E}} _2 +... )^2\\ &=\frac12 \epsilon_0(E_1^2+E_2^2+...)+\frac12 \epsilon_0 (2 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol{\mathbf{E}} _2+2 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1 \boldsymbol{\mathbf{E}} _3+...) \end{aligned} $$ 第一项可称为电荷的 “固有能”,因为这部分能量是电荷自身的性质,与其他电荷无关;而第二项可称为 “相互作用能”,因为这部分能量源于电荷间的相互作用。

   由于能量密度正比于电场强度的平方,因此电场能量不满足叠加原理。从能量角度上看,这是因为往已有电场中再加入电荷时,需要额外的外力做功以克服电场力;因此,加入新电荷后。系统能量的增加不仅是新加入电荷的固有能,还有新加入电荷与已有电荷的交互作用能。

习题 1 电荷的相互作用能

   在空间中仅有两个带 $+e$ 的点电荷,分别位于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1=(0,0,0)$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2=(0,0,r)$。则他们在全空间激发的电场的相互作用能为

\begin{equation} \begin{aligned} u&=\int \,\mathrm{d}^{3}{x} \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} _1\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} _2\\ &=\int \,\mathrm{d}^{3}{x} \epsilon_0 \frac{e}{4\pi\epsilon_0( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)^2}\cdot \frac{e}{4\pi\epsilon_0( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)^2}\\ &=\frac{e^2}{(4\pi)^2\epsilon_0} \int \,\mathrm{d}^{3}{x} \frac{1}{( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)^2( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)^2} \end{aligned} \end{equation}
试通过采用球坐标系的三维积分,证明上式的结果是
\begin{equation} u=\frac{e^2}{4\pi \epsilon| \boldsymbol{\mathbf{x}} _1- \boldsymbol{\mathbf{x}} _2|} \end{equation}
与两电荷的相互作用势式 12 的结果相同。

   在上面的讨论中,有一个巧妙的陷阱(具体参见 [25])。当我们在计算离散电荷的电势能时,我们事实上忽略了点电荷的固有能:因为不幸的是,点电荷的 “固有能” 是发散的式 1 。在将其推广至连续电荷分布时,这个问题被悄悄地解决了。

   这实际上是因为,在推广至连续电荷时,我们将物理系统的 “微观” 信息给抹去了,例如我们不再关心带电粒子的微观结构,不再关心电荷的微观分布,而是在一个更粗粒化的层面上去考察一个大量电荷分布的宏观物理量。这样的结果虽然是忽视了物理系统的微观信息,但这样的处理在普遍情况下是正确的。词条 “点电荷模型与连续电荷模型的缺陷” 具体地讨论了这个问题。简单地说,点电荷的 “固有能” 的计算之所以发散,是因为我们对电荷半径量级的小尺度物理不知道的,因此我们这里假设了库仑定律、电场能量公式在小尺度的层面上依然成立,在这样的假设下算出来的电荷的固有能是发散的。但是当我们从点电荷模型过渡到连续电荷模型时,微观尺度的物理被我们抹去了,那么电荷固有能中发散的那一部分自然也被我们抹去了。

   这一系列的讨论使我们质疑,将点电荷模型推广到连续电荷模型真的正确吗?词条 “点电荷模型与连续电荷模型的缺陷” 中具体地讨论了这个问题。目前我们可以先略过这个问题,通常将点电荷模型推广到连续电荷模型能够给出正确的物理结果。

1. 电场能量公式的证明

基于电容的不严谨推导

预备知识 电容

   我们来回顾一下真空中平行板电容器(例 2 )的能量

\begin{equation} E_p = \frac12 CV^2 = \frac12 \epsilon_0 \frac Sd (Ed)^2 = \frac 12 \epsilon_0 \tau E^2 \end{equation}
其中 $\tau = Sd$ 为平行板间长方体的体积。这条公式容易让我们联想到电势能储存在电场之中。在电动力学中,这种理解是正确的。

更严格的推导

预备知识 分部积分的高维拓展,电场的高斯定律

   将电场的高斯定律

\begin{equation} \rho = \epsilon_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
代入连续分布电荷系统的电势能 式 26
\begin{equation} E_p = \frac 12 \int V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
\begin{equation} E_p = \frac{\epsilon_0}2 \int V ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
由 3 维分部积分式 4
\begin{equation} E_p = \frac{\epsilon_0}2 \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} V \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } - \frac{\epsilon_0}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla V \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
当我们把积分区域拓展到无限大时,右边第一个面积分趋于 0(我们假设电荷与场只存在于有限区域内,因此在无穷远处电场与电势都趋近 $0$)。右边第二个积分可以利用电场与电势的关系 $ \boldsymbol\nabla V = - \boldsymbol{\mathbf{E}} $(式 10 )。带入可得式 1 。证毕。


1. ^ 本文参考 [25] 与周磊教授的电动力学讲义。


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