洛伦兹规范

                     

贡献者: 叶月2_; addis; JierPeter

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 规范变换

   如果令

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~, \end{equation}
那么标势和矢势就符合洛伦兹规范

   麦克斯韦方程组(式 5 )将变为十分对称的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~. \end{equation}

  

未完成:应该先讲电动力学再讲相对论,参考格里菲斯的顺序。另开文章。
这个形式的优点是按照相对论章节中的习惯,我们令 $\mu_0=\epsilon_0=1$,那么势的麦克斯韦方程组就可以写成

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\rho~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \ \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = - \boldsymbol{\mathbf{j}} ~. \end{equation}

   在该规范条件下,电荷源 $\rho$ 决定了标势在时空中的波动。电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 则决定了矢势的波动演化。 选取符号差为 $(-+++)$ 的闵可夫斯基度规,我们可以简化上述方程为:

\begin{equation} \square^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~, \end{equation}
\begin{equation} \square^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~. \end{equation}

   其中 $\square^2$ 被称为达朗贝尔算子(d' Alembertian operator),在该度规下定义为:

\begin{equation} \square^2=\square^\mu\square_\mu=\square^\mu\square^\nu g_{\mu\nu}=-(\frac{\partial}{\partial x^0})^2+(\frac{\partial}{\partial x^1})^2+(\frac{\partial}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial}{\partial x^3})^2~, \end{equation}
其中又有
\begin{equation} \square^\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}~. \end{equation}
可见 $\square^\mu$ 直接就是 $\nabla^i$ 加了时间项之后的推广。

   注意式 8 中 $(\partial/\partial x^0)^2$ 前面的负号,这是从闵可夫斯基度规 $g_{\mu\nu}$ 中时间项的负号得来的。这一点和我们在相对论中的规范不同,在相对论中闵可夫斯基度规的时间项为正、空间项为负。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利