洛伦兹规范

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 规范变换

   如果令

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \varphi}{\partial t} \end{equation}
那么标势和矢势就符合洛伦兹规范

   麦克斯韦方程组(式 5 )将变为十分对称的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}

  

未完成:应该先讲电动力学再讲相对论,参考格里菲斯的顺序.另开词条.
这个形式的优点是按照相对论章节中的习惯,我们令 $\mu_0=\epsilon_0=1$,那么势的麦克斯韦方程组就可以写成

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi - \frac{\partial^{2}{\varphi}}{\partial{t}^{2}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \ \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}

   这实际上就是 $\nabla$ 算子在闵可夫斯基度规下的拓展:

\begin{equation} \square^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \square^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}

   其中 $\square^2$ 被称为达朗贝尔算子(d' Alembertian operator),定义为:

\begin{equation} \square^2=\square^\mu\square_\mu=\square^\mu\square^\nu g_{\mu\nu}=-(\frac{\partial}{\partial x^0})^2+(\frac{\partial}{\partial x^1})^2+(\frac{\partial}{\partial x^2})^2+(\frac{\partial}{\partial x^3})^2 \end{equation}
其中又有
\begin{equation} \square^\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu} \end{equation}
可见 $\square^\mu$ 直接就是 $\nabla^i$ 加了时间项之后的推广.

   注意式 8 中 $(\partial/\partial x^0)^2$ 前面的负号,这是从闵可夫斯基度规 $g_{\mu\nu}$ 中时间项的负号得来的.这一点和我们在相对论中的规范不同,在相对论中闵可夫斯基度规的时间项为正、空间项为负.

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