洛伦兹规范

贡献者：叶月2_; addis; JierPeter

本文处于草稿阶段。

预备知识　规范变换

　　如果令

\begin{matrix} (1) & \nabla \cdot A = - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial φ}{\partial t}, \end{matrix}

那么标势和矢势就符合洛伦兹规范。

　　麦克斯韦方程组（式 5 ）将变为十分对称的形式

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} φ - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} A - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = - μ_{0} j . \end{matrix}

未完成：应该先讲电动力学再讲相对论，参考格里菲斯的顺序。另开文章。

这个形式的优点是按照相对论章节中的习惯，我们令

μ_{0} = ϵ_{0} = 1

，那么势的麦克斯韦方程组就可以写成

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} φ - \frac{\partial^{2} φ}{\partial t^{2}} = - ρ, \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \nabla^{2} A - \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = - j . \end{matrix}

　　在该规范条件下，电荷源 $ρ$ 决定了标势在时空中的波动。电流密度 $j$ 则决定了矢势的波动演化。选取符号差为 $(- + + +)$ 的闵可夫斯基度规，我们可以简化上述方程为：

\begin{matrix} (6) & ◻^{2} φ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & ◻^{2} A = - μ_{0} j . \end{matrix}

　　其中 $◻^{2}$ 被称为达朗贝尔算子（d' Alembertian operator），在该度规下定义为：

\begin{matrix} (8) & ◻^{2} = ◻^{μ} ◻_{μ} = ◻^{μ} ◻^{ν} g_{μ ν} = - (\frac{\partial}{\partial x^{0}})^{2} + (\frac{\partial}{\partial x^{1}})^{2} + (\frac{\partial}{\partial x^{2}})^{2} + (\frac{\partial}{\partial x^{3}})^{2}, \end{matrix}

其中又有

\begin{matrix} (9) & ◻^{μ} = \frac{\partial}{\partial x^{μ}} . \end{matrix}

可见

◻^{μ}

直接就是

\nabla^{i}

加了时间项之后的推广。

　　注意式 8 中 $(\partial / \partial x^{0})^{2}$ 前面的负号，这是从闵可夫斯基度规 $g_{μ ν}$ 中时间项的负号得来的。这一点和我们在相对论中的规范不同，在相对论中闵可夫斯基度规的时间项为正、空间项为负。

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