电磁场的动量守恒、动量流密度张量

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　电磁场的能量守恒、坡印廷矢量，张量，张量的散度

1. 结论

　　类比电磁场的能量守恒、坡印廷矢量的概念，我们也能导出电磁场的动量守恒与动量流密度。

电磁场动量密度

\begin{matrix} (1) & g = μ_{0} ϵ_{0} s = \frac{1}{c^{2}} s . \end{matrix}

动量流密度张量

　　动量流密度张量为又称麦克斯韦应力张量（Maxwell Stress Tensor）。

\begin{matrix} (2) & T_{i j} = ϵ_{0} (\frac{1}{2} E^{2} δ_{i j} - E_{i} E_{j}) + \frac{1}{μ_{0}} (\frac{1}{2} B^{2} δ_{i j} - B_{i} B_{j}) . \end{matrix}

动量守恒定律

　　类比电荷守恒与电磁场的能量守恒公式，一个守恒的量在闭合空间中有 “积累速率=流入速率”。这意味着某一封闭空间中，电荷动量与电磁场动量的增量来自从外部流入的动量流。

\begin{matrix} (3) & \frac{d (p + g)}{d t} + \nabla \cdot T = 0, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (4) & f + μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial s}{\partial t} + \nabla \cdot T = 0 . \end{matrix}

　　 $p$ 是单位电荷的动量密度。根据动量定理， $\frac{d p}{d t} = f .$

　　 $f$ 是电荷的 “受力密度”，由广义洛伦兹力得到。 $f = ρ (E + v \times B) .$

2. 推导

　　能量是标量，所以能流密度就是矢量。但动量本身就是矢量，要如何表示动量流密度呢？我们可以分析动量在某方向分量的流密度。根据张量的散度

\begin{matrix} (5) & (\nabla \cdot T)_{j} = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} T_{j i} . \end{matrix}

　　由广义洛伦兹力计算电荷的受力密度 $f$

\begin{matrix} (6) & f = ρ (E + v \times B) = ρ E + j \times B (j = ρ v) . \end{matrix}

由于式 4 的后两项是电磁场的量，不能含有关于电荷的量，所以接下来要通过麦克斯韦方程组把电荷密度

ρ

和电流密度

j

替换成电磁场。

\begin{matrix} (7) & ρ = ϵ_{0} \nabla \cdot E (\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}), \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & j = \frac{1}{μ_{0}} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (\nabla \times B = μ_{0} j + ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}) . \end{matrix}

代入上式，得

\begin{matrix} (9) & f = ϵ_{0} (\nabla \cdot E) E + \frac{1}{μ_{0}} (\nabla \times B) \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial t} \times B . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \frac{\partial E}{\partial t} \times B & = \frac{\partial}{\partial t} (E \times B) - E \times \frac{\partial B}{\partial t} \\ = \frac{\partial}{\partial t} (E \times B) - (\nabla \times E) \times E (\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}), \end{aligned} \end{matrix}

代入上式得

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} f & = ϵ_{0} (\nabla \cdot E) E + \frac{1}{μ_{0}} (\nabla \times B) \times B + ϵ_{0} (\nabla \times E) \times E - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial t} (E \times B) \\ = ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (\nabla \times E) \times E] + \frac{1}{μ_{0}} (\nabla \times B) \times B - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial s}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

为了使式中电磁场的公式更加对称，不妨加上一项

\begin{matrix} (12) & \frac{1}{μ_{0}} (\nabla \cdot B) B = 0 (\nabla \cdot B = 0), \end{matrix}

得

\begin{matrix} (13) & f = ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (\nabla \times E) \times E] + \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (\nabla \times B) \times B] - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial s}{\partial t} . \end{matrix}

一般来说，凡是出现两个连续的叉乘要尽量化成内积，下面计算

(\nabla \times E) \times E

。由吉布斯算子（劈形算符）的相关公式

\begin{matrix} (14) & \nabla (A \cdot B) = A \times (\nabla \times B) + B \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) B + (B \cdot \nabla) A . \end{matrix}

令

A = B = E

，得

\begin{matrix} (15) & \nabla (E^{2}) = 2 E \times (\nabla \times E) + 2 (E \cdot \nabla) E, \end{matrix}

即

(\nabla \times E) \times E = (E \cdot \nabla) E - \nabla (E^{2}) / 2

同理得

\begin{matrix} (16) & (\nabla \times B) \times B = (B \cdot \nabla) B - \frac{1}{2} \nabla (B^{2}) . \end{matrix}

代入得

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} f = & ϵ_{0} [(\nabla \times E) E + (E \cdot \nabla) E - \frac{1}{2} \nabla (E^{2})] \\ + \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B - \frac{1}{2} \nabla (B^{2})] - ϵ_{0} μ_{0} \frac{\partial s}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

　　与式 4 对比，可以看出动量流密度张量的散度为

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} \nabla \cdot T = & - ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E - \frac{1}{2} \nabla (E^{2})] \\ - \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B - \frac{1}{2} \nabla (B^{2})] . \end{aligned} \end{matrix}

接下来由二阶张量的散度计算公式，通过对比系数，就可以求出动量流密度张量

T

（三阶矩阵）。

　　下面把等式右边的部分用求和符号表示（求和符号是张量分析中最常见的符号，只有熟练运用才能学好张量分析）。下面推导用到了克罗内克 $δ$ 函数，且定义任意矢量加上下标表示第个分量，例如

\begin{matrix} (19) & A_{j} = {\begin{cases} A_{x} & (j = 1) \\ A_{y} & (j = 2) \\ A_{z} & (j = 3) \end{cases}, x_{j} = {\begin{cases} x & (j = 1) \\ y & (j = 2) \\ z & (j = 3) \end{cases} . \end{matrix}

(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E - \frac{1}{2} \nabla (E^{2})

是一个矢量，它的第

j

个分量为

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} [(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E - \frac{1}{2} \nabla (E^{2})]_{j} \\ = \sum_{i} \frac{\partial E_{i}}{\partial x_{i}} E_{j} + \sum_{i} E_{i} \frac{\partial E_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial E^{2}}{\partial x_{i}} δ_{i j} \\ = \sum_{i} (\frac{\partial E_{i}}{\partial x_{i}} E_{j} + E_{i} \frac{\partial E_{j}}{\partial x_{i}} - \frac{1}{2} \frac{\partial E^{2}}{\partial x_{i}} δ_{i j}) \\ = \sum_{i} (\frac{\partial}{\partial x_{i}} (E_{i} E_{j}) - \frac{1}{2} \frac{\partial E^{2}}{\partial x_{i}} δ_{i j}) \\ = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (E_{i} E_{j} - \frac{1}{2} E^{2} δ_{i j}) . \end{aligned} \end{matrix}

同理

\begin{matrix} (21) & {[(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B - \frac{1}{2} \nabla (B^{2})]}_{j} = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (B_{i} B_{j} - \frac{1}{2} B^{2} δ_{i j}), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (22) & (\nabla \cdot T)_{j} = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} [ϵ_{0} (\frac{1}{2} E^{2} δ_{i j} - E_{i} E_{j}) + \frac{1}{μ_{0}} (\frac{1}{2} B^{2} δ_{i j} - B_{i} B_{j})] . \end{matrix}

而由张量散度的定义

\begin{matrix} (23) & (\nabla \cdot T)_{j} = \sum_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} T_{i j}, \end{matrix}

得到动量流密度张量为

\begin{matrix} (24) & T_{i j} = ϵ_{0} (\frac{1}{2} E^{2} δ_{i j} - E_{i} E_{j}) + \frac{1}{μ_{0}} (\frac{1}{2} B^{2} δ_{i j} - B_{i} B_{j}) . \end{matrix}

　　理论上，在 $T$ 上面加上任意一个满足 $\nabla \cdot T^{'} = 0$ 的张量场，均可以使电磁场动量守恒，但是若规定无穷远处动量流密度为零，则可以证明 $T_{i j}^{'} = 0$ 。

1. ^ 本文参考了 [1] 与周磊教授的《电动力学》讲义

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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