电磁场的动量守恒、动量流密度张量

                     

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预备知识 电磁场的能量守恒、坡印廷矢量, 张量, 张量的散度

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1. 结论

   类比电磁场的能量守恒、坡印廷矢量的概念,我们也能导出电磁场的动量守恒与动量流密度。

电磁场动量密度

(1)g=μ0ϵ0s=1c2s .

动量流密度张量

   动量流密度张量为又称麦克斯韦应力张量(Maxwell Stress Tensor)。

(2)Tij=ϵ0(12E2δijEiEj)+1μ0(12B2δijBiBj) .

动量守恒定律

   类比电荷守恒电磁场的能量守恒公式,一个守恒的量在闭合空间中有 “积累速率=流入速率”。这意味着某一封闭空间中,电荷动量与电磁场动量的增量来自从外部流入的动量流。

(3)d(p+g)dt+T=0 ,
(4)f+μ0ϵ0st+T=0 .

   p 是单位电荷的动量密度。根据动量定理,dpdt=f .

   f 是电荷的 “受力密度”,由广义洛伦兹力得到。f=ρ(E+v×B) .

2. 推导

   能量是标量,所以能流密度就是矢量。但动量本身就是矢量,要如何表示动量流密度呢? 我们可以分析动量在某方向分量的流密度。根据张量的散度

(5)(T)j=ixiTji .

   由广义洛伦兹力计算电荷的受力密度 f

(6)f=ρ(E+v×B)=ρE+j×B(j=ρv) .
由于式 4 的后两项是电磁场的量,不能含有关于电荷的量,所以接下来要通过麦克斯韦方程组把电荷密度 ρ 和电流密度 j 替换成电磁场。
(7)ρ=ϵ0E(E=ρϵ0) ,
(8)j=1μ0×Bϵ0Et(×B=μ0j+ϵ0μ0Et) .
代入上式,得
(9)f=ϵ0(E)E+1μ0(×B)×Bϵ0Et×B .
其中
(10)Et×B=t(E×B)E×Bt=t(E×B)(×E)×E(×E=Bt) ,
代入上式得
(11)f=ϵ0(E)E+1μ0(×B)×B+ϵ0(×E)×Eϵ0t(E×B)=ϵ0[(E)E+(×E)×E]+1μ0(×B)×Bϵ0μ0st .
为了使式中电磁场的公式更加对称,不妨加上一项
(12)1μ0(B)B=0(B=0) ,
(13)f=ϵ0[(E)E+(×E)×E]+1μ0[(B)B+(×B)×B]ϵ0μ0st .
一般来说,凡是出现两个连续的叉乘要尽量化成内积,下面计算 (×E)×E。 由吉布斯算子(劈形算符)的相关公式
(14)(AB)=A×(×B)+B×(×A)+(A)B+(B)A .
A=B=E,得
(15)(E2)=2E×(×E)+2(E)E ,
(×E)×E=(E)E(E2)/2 同理得
(16)(×B)×B=(B)B12(B2) .
代入得
(17)f=ϵ0[(×E)E+(E)E12(E2)]+1μ0[(B)B+(B)B12(B2)]ϵ0μ0st .

   与式 4 对比,可以看出动量流密度张量的散度为

(18)T=ϵ0[(E)E+(E)E12(E2)]1μ0[(B)B+(B)B12(B2)] .
接下来由二阶张量的散度计算公式,通过对比系数,就可以求出动量流密度张量 T(三阶矩阵)。

   下面把等式右边的部分用求和符号表示(求和符号是张量分析中最常见的符号,只有熟练运用才能学好张量分析)。下面推导用到了克罗内克 δ 函数,且定义任意矢量加上下标 表示第 个分量,例如

(19)Aj={Ax(j=1)Ay(j=2)Az(j=3) ,xj={x(j=1)y(j=2)z(j=3) .
(E)E+(E)E12(E2) 是一个矢量,它的第 j 个分量为
(20)=[(E)E+(E)E12(E2)]j=iEixiEj+iEiEjxi12iE2xiδij=i(EixiEj+EiEjxi12E2xiδij)=i(xi(EiEj)12E2xiδij)=ixi(EiEj12E2δij) .
同理
(21)[(B)B+(B)B12(B2)]j=ixi(BiBj12B2δij) ,
所以
(22)(T)j=ixi[ϵ0(12E2δijEiEj)+1μ0(12B2δijBiBj)] .
而由张量散度的定义
(23)(T)j=ixiTij ,
得到动量流密度张量为
(24)Tij=ϵ0(12E2δijEiEj)+1μ0(12B2δijBiBj) .

   理论上,在 T 上面加上任意一个满足 T=0 的张量场,均可以使电磁场动量守恒,但是若规定无穷远处动量流密度为零,则可以证明 Tij=0


1. ^ 本文参考了 [1] 与周磊教授的《电动力学》讲义


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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