电磁场的动量守恒、动量流密度张量
贡献者: ACertainUser; addis
预备知识 电磁场的能量守恒、坡印廷矢量
,
张量
,
张量的散度
1
1. 结论
类比电磁场的能量守恒、坡印廷矢量的概念,我们也能导出电磁场的动量守恒与动量流密度。
电磁场动量密度
动量流密度张量
动量流密度张量为又称麦克斯韦应力张量(Maxwell Stress Tensor)。
动量守恒定律
类比电荷守恒与电磁场的能量守恒公式,一个守恒的量在闭合空间中有 “积累速率=流入速率”。这意味着某一封闭空间中,电荷动量与电磁场动量的增量来自从外部流入的动量流。
即
是单位电荷的动量密度。根据动量定理,
是电荷的 “受力密度”,由广义洛伦兹力得到。
2. 推导
能量是标量,所以能流密度就是矢量。但动量本身就是矢量,要如何表示动量流密度呢?
我们可以分析动量在某方向分量的流密度。根据张量的散度
由广义洛伦兹力计算电荷的受力密度
由于
式 4 的后两项是电磁场的量,不能含有关于电荷的量,所以接下来要通过
麦克斯韦方程组把电荷密度 和电流密度 替换成电磁场。
代入上式,得
其中
代入上式得
为了使式中电磁场的公式更加对称,不妨加上一项
得
一般来说,凡是出现两个连续的叉乘要尽量化成内积,下面计算 。
由吉布斯算子(劈形算符)的相关公式
令 ,得
即
同理得
代入得
与式 4 对比,可以看出动量流密度张量的散度为
接下来由二阶张量的散度计算公式,通过对比系数,就可以求出动量流密度张量 (三阶矩阵)。
下面把等式右边的部分用求和符号表示(求和符号是张量分析中最常见的符号,只有熟练运用才能学好张量分析)。下面推导用到了克罗内克 函数,且定义任意矢量加上下标 表示第 个分量,例如
是一个矢量,它的第 个分量为
同理
所以
而由张量散度的定义
得到动量流密度张量为
理论上,在 上面加上任意一个满足 的张量场,均可以使电磁场动量守恒,但是若规定无穷远处动量流密度为零,则可以证明 。
1. ^ 本文参考了 [1] 与周磊教授的《电动力学》讲义
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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