库仑规范（电动力学）

贡献者： addis

预备知识 1　规范变换，泊松方程

　　当我们规范变换中选择 $λ$ 使得 $\nabla \cdot A \equiv 0$ 时，就得到了库仑规范。这种选择在很多情况下可以简化计算，因为这样标势和矢势的麦克斯韦方程组（式 4 式 5 ）化简为（真空中的光速为 $c = 1 / \sqrt{μ_{0} ϵ_{0}}$ ）

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} A - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = - μ_{0} j + \frac{1}{c^{2}} \nabla \frac{\partial φ}{\partial t} . \end{matrix}

其中式 1 的形式与静止电荷分布的泊松方程形式一样，但同样适用于随时间变化的

ρ

。这看起来似乎电荷对

φ

存在瞬时作用，但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上的可观测量，所以是不违背相对论中 “信息不能超光速的” 的。

　　在没有净电荷和电流的区域，以上两式进一步化简为

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} φ = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} A - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \nabla (\frac{\partial φ}{\partial t}) . \end{matrix}

　　任何满足 $\nabla^{2} λ = 0$ 的规范变换都能保持 $\nabla \cdot A = 0$ 不变。可见只有 $\nabla \cdot A = 0$ 并不能唯一确定标势矢势，还需要一定的边界条件。库仑规范的另一个条件是：令标势的边界条件为无穷远处 $φ = 0$ ，于是标量势可以唯一确定为

\begin{matrix} (5) & φ (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t)}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} . \end{matrix}

1. 无源的情况

预备知识 2　波动方程

　　如果空间中没有电荷（称为无源），那么根据式 5

\begin{matrix} (6) & φ \equiv 0 . \end{matrix}

结合式 1 得到一个常用的结论是

\begin{matrix} (7) & E (t) = - \frac{\partial A}{\partial t} . \end{matrix}

如果空间中也没有电流，矢势的波动方程式 2 也变得更简单

\begin{matrix} (8) & \nabla^{2} A - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} A}{\partial t^{2}} = 0 . \end{matrix}

该方程若写成分量的形式就是常见的波动方程，通解就是由任意极化方向

A_{0}

和延传播方向

k

光速传播的平面简谐波

\begin{matrix} (9) & A (r, t) = A_{0} \cos (k \cdot r - ω t + ϕ) (ω = c k) . \end{matrix}

叠加而成。最后施加

\nabla \cdot A = 0

条件后得

A_{0} \cdot k = 0

，即振动方向与传播方向垂直。

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