库仑规范(电动力学)

                     

贡献者: addis

预备知识 1 规范变换,泊松方程

   当我们规范变换中选择 λ 使得 A0 时,就得到了库仑规范。这种选择在很多情况下可以简化计算,因为这样标势和矢势的麦克斯韦方程组(式 4 式 5 )化简为(真空中的光速为 c=1/μ0ϵ0

(1)2φ=ρϵ0 ,
(2)2A1c22At2=μ0j+1c2φt .
其中式 1 的形式与静止电荷分布的泊松方程形式一样,但同样适用于随时间变化的 ρ。这看起来似乎电荷对 φ 存在瞬时作用,但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上的可观测量,所以是不违背相对论中 “信息不能超光速的” 的。

   在没有净电荷和电流的区域,以上两式进一步化简为

(3)2φ=0 ,
(4)2A1c22At2=1c2(φt) .

   任何满足 2λ=0 的规范变换都能保持 A=0 不变。可见只有 A=0 并不能唯一确定标势矢势,还需要一定的边界条件。库仑规范的另一个条件是:令标势的边界条件为无穷远处 φ=0,于是标量势可以唯一确定为

(5)φ(r,t)=14πϵ0ρ(r,t)|rr|d3r .

1. 无源的情况

预备知识 2 波动方程

   如果空间中没有电荷(称为无源),那么根据式 5

(6)φ0 .
结合式 1 得到一个常用的结论是
(7)E(t)=At .
如果空间中也没有电流,矢势的波动方程式 2 也变得更简单
(8)2A1c22At2=0 .
该方程若写成分量的形式就是常见的波动方程,通解就是由任意极化方向 A0 和延传播方向 k 光速传播的平面简谐波
(9)A(r,t)=A0cos(krωt+ϕ)(ω=ck) .
叠加而成。最后施加 A=0 条件后得 A0k=0,即振动方向与传播方向垂直。


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