贡献者： addis
当我们规范变换中选择 $\lambda$ 使得 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} \equiv 0$ 时，就得到了库仑规范。这种选择在很多情况下可以简化计算，因为这样标势和矢势的麦克斯韦方程组（式 4 式 5 ）化简为（真空中的光速为 $c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \frac{\partial \varphi}{\partial t} ~.
\end{equation}
其中
式 1 的形式与静止电荷分布的
泊松方程形式一样，但同样适用于随时间变化的 $\rho$。这看起来似乎电荷对 $\varphi$ 存在瞬时作用，但由于标势和矢势都只是数学上的量而不是物理上的可观测量，所以是不违背相对论中 “信息不能超光速的” 的。
在没有净电荷和电流的区域，以上两式进一步化简为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = 0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = \frac{1}{c^2} \boldsymbol\nabla \left( \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) ~.
\end{equation}
任何满足 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \lambda = 0$ 的规范变换都能保持 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 不变。可见只有 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 并不能唯一确定标势矢势，还需要一定的边界条件。库仑规范的另一个条件是：令标势的边界条件为无穷远处 $\varphi = 0$，于是标量势可以唯一确定为
\begin{equation}
\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}^{3}{r'} ~.
\end{equation}
1. 无源的情况
如果空间中没有电荷（称为无源），那么根据式 5
\begin{equation}
\varphi \equiv 0~.
\end{equation}
结合
式 1 得到一个常用的结论是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} (t) = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
如果空间中也没有电流，矢势的波动方程
式 2 也变得更简单
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }}{\partial{t}^{2}} = 0~.
\end{equation}
该方程若写成分量的形式就是常见的
波动方程，通解就是由任意极化方向 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _0$ 和延传播方向 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 光速传播的
平面简谐波
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \boldsymbol{\mathbf{A}} _0 \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi\right) \qquad (\omega = ck)~.
\end{equation}
叠加而成。最后施加 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$ 条件后得 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} _0 \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{k}} = 0$，即振动方向与传播方向垂直。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。