位移电流、安培—麦克斯韦公式

贡献者： addis; ACertainUser

本文处于草稿阶段。

预备知识 1　安培环路定律，法拉第电磁感应定律

　　¹在法拉第电磁感应定律中，我们已经知道了 “变化的磁场会产生电场”；那么反过来，“变化的电场也会产生磁场” 吗？充满着简洁与对称美的电动力学给出了肯定的答案。

图 1：“变化的电场产生磁场”示意图

　　为了体现 “变化的电场也会产生磁场”，我们必须在静电学的安培环路定律补充一项，使之由

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I~, \end{equation}

变为广义安培公式（generalized Ampère's equation）或安培—麦克斯韦公式（Ampère–Maxwell equation）：

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } ~. \end{equation}

　　根据斯托克斯定理，还可将其写为微分形式

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~. \end{equation}

1. 位移电流

　　由于一些历史原因，可定义位移电流（displacement current）为：

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} _d = \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~, \end{equation}

这使得式 3 还可写作

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} _d)~. \end{equation}

注意 “位移电流” 并不是真正的电流，也不涉及电荷的运动。因此，笔者个人认为 “位移电流” 这个名词仅仅具有历史意义。

2. 广义安培环路定律与电荷守恒

预备知识 2　电荷守恒、电流连续性方程

　　那么，我们为什么可以这么推广安培环路定律呢？我们可以从一些思想实验，或者电荷守恒中得到启发与思路。以下我们简要说明电荷守恒如何启发我们得到广义安培环路定律。

　　注意，广义安培环路定律事实上已是电动力学的基本假设之一（他的成立是学科的公理，而不是由其他的定理得到），所以以下的说明并不是真正的推导。

　　静电学中的安培环路定律为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~, \end{equation}

这要求等式右边的矢量场必须是一个无散场。在静电学问题中 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 的确是无散场（$ \partial \rho/\partial t = 0$），然而若要拓展到一般情况，我们需要给式 6 右边加上一个修正项，使等式右边的散度恒为零。

　　由电荷连续性方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0~. \end{equation}

使用电场高斯定律

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) = 0~. \end{equation}

可见括号中恒为无散场。所以不妨猜测

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~. \end{equation}

这就是说，和法拉第电磁感应相似，变化的电场也会产生磁场，并且和电流产生的磁场叠加得到总磁场。该式称为广义安培环路定律或者麦克斯韦—安培公式。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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