广义安培环路定律

                     

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预备知识 安培环路定律,法拉第电磁感应定律

   在法拉第电磁感应定律中,我们已经知道了 “变化的磁场会产生电场”;那么反过来,“变化的电场也会产生磁场” 吗?充满着简洁与对称美的电动力学给出了肯定的答案。

图
图 1:“变化的电场产生磁场”示意图

   为了体现 “变化的电场也会产生磁场”,我们必须在静电学的安培环路定律补充一项,使之由

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I \end{equation}
变为广义安培环路定律麦克斯韦—安培公式
\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } \end{equation}

   根据斯托克斯定理,还可将其写为微分形式

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}

1. “位移电流”

   由于一些历史原因,可定义位移电流(displacement current)为:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} _d = \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}

   这使得式 3 还可写作

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} _d) \end{equation}

   注意,“位移电流” 并不是真正的电流,也不涉及电荷的运动。因此,笔者个人认为 “位移电流” 这个名词仅仅具有历史意义。

2. 广义安培环路定律与电荷守恒

预备知识 电荷守恒、电流连续性方程

   那么,我们为什么可以这么推广安培环路定律呢?我们可以从一些思想实验 ,或者电荷守恒中得到启发与思路。以下我们简要说明电荷守恒如何启发我们得到广义安培环路定律。

   注意,广义安培环路定律事实上已是电动力学的基本假设之一(他的成立是学科的公理,而不是由其他的定理得到),所以以下的说明并不是真正的推导。

   静电学中的安培环路定律

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}
这要求等式右边的矢量场必须是一个无散场。在静电学问题中 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 的确是无散场($ \partial \rho/\partial t = 0$),然而若要拓展到一般情况,我们需要给式 6 右边加上一个修正项,使等式右边的散度恒为零。

   由电荷连续性方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \end{equation}
使用电场高斯定律
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) = 0 \end{equation}
可见括号中恒为无散场。所以不妨猜测
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}
这就是说,和法拉第电磁感应相似,变化的电场也会产生磁场,并且和电流产生的磁场叠加得到总磁场。该式称为广义安培环路定律或者麦克斯韦—安培公式


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