规范变换
贡献者： addis
虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场，但是同一个电磁场却可以由不同的标势和矢势得到。令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \varphi$ 对应的电磁场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $；$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ', \varphi'$ 对应的电磁场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} ', \boldsymbol{\mathbf{B}} '$，我们希望得到某类从 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \varphi$ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ', \varphi'$ 的变换使得 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} ' = \boldsymbol{\mathbf{E}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\mathbf{B}} $。
首先给矢势（式 2 ）加上某个函数 $\lambda( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 的梯度，令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda$ 磁场不变：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
但如果 $\lambda$ 随时间变化，
式 1 中的电场会改变。因此我们需要同时修正 $\varphi$，才能确保变换后电场也不改变。可以发现只需要令 $\varphi' = \varphi - \partial \lambda/\partial t $ 即可
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ' = - \boldsymbol\nabla \varphi' - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} '}{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \left(\varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
这种 “保持电磁场不变时，对势 $ \begin{pmatrix}\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{pmatrix} $ 进行的变换” 被称为规范变换（gauge transformation）：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda\\
&\varphi' = \varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t}
\end{aligned}\right. ~.\end{equation}
任何产生相同电磁场的两组标势矢势都可以通过规范变换联系起来。
常见的两种规范是库仑规范和洛伦兹规范。
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