电磁场的规范变换
贡献者： 叶月2_; addis
1虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场，但是同一个电磁场却可能对应不同的标势和矢势。这是因为在麦克斯韦方程中，有物理意义的是 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $。我们只需保证：尽管改变四维电磁矢势 $(\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$，也对应相同的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 即可。
由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} $，利用函数的梯度是一个无旋场，我们可以令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} '=A+ \boldsymbol\nabla \lambda$，则
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
如果 $\lambda$ 随时间变化，
式 1 中的电场会改变。因此我们需要同时修正 $\varphi$，才能确保变换后电场也不改变。可以发现只需要令 $\varphi' = \varphi - \partial \lambda/\partial t $ 即可
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} ' = - \boldsymbol\nabla \varphi' - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} '}{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \left(\varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
这种 “保持电磁场不变时，对势 $ \begin{pmatrix}\varphi, \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{pmatrix} $ 进行的变换” 被称为规范变换（gauge transformation）：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda\\
&\varphi' = \varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} ~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
任何产生相同电磁场的两组标势矢势都可以通过规范变换联系起来。
除此以外，考虑到麦克斯韦方程只约束了 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的散度，因此我们可以限定 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的结果来减少冗余的自由度，还可同时简化麦克斯韦方程。
基于此，常见的两种规范是库仑规范和洛伦兹规范。
下面列出常见的规范条件：
- 库伦规范：$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$。
- 洛伦兹规范：$\partial_{\mu}A^{\mu}=0$。
- 辐射（radiation）规范：$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} =0,A^0=0$。($ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 只有两个自由度，对应电磁场只有两个独立自由度，电磁波只有两个独立偏振方向。)
- 瞬时（temporal）规范：$A^0=0$。
- 轴（axial）规范：$A^3=0$。
这些规范条件总可以通过 $\lambda$ 的具体选定来实现，读者可自证这一点。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。