电磁场的规范变换

贡献者：叶月2_; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　电磁场标势和矢势

　　¹虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场，但是同一个电磁场却可能对应不同的标势和矢势。这是因为在麦克斯韦方程中，有物理意义的是 $E, B$ 。我们只需保证：尽管改变四维电磁矢势 $(φ, A)$ ，也对应相同的 $E, B$ 即可。

　　由于 $\nabla \times A = B$ ，利用函数的梯度是一个无旋场，我们可以令 $A^{'} = A + \nabla λ$ ，则

\begin{matrix} (1) & B^{'} = \nabla \times A^{'} = \nabla \times (A + \nabla λ) = \nabla \times A = B . \end{matrix}

如果

λ

随时间变化，式 1 中的电场会改变。因此我们需要同时修正

φ

，才能确保变换后电场也不改变。可以发现只需要令

φ^{'} = φ - \partial λ / \partial t

即可

\begin{matrix} (2) & E^{'} = - \nabla φ^{'} - \frac{\partial A^{'}}{\partial t} = - \nabla (φ - \frac{\partial λ}{\partial t}) - \frac{\partial}{\partial t} (A + \nabla λ) = E . \end{matrix}

　　这种 “保持电磁场不变时，对势 $(\begin{matrix} φ, A \end{matrix})$ 进行的变换” 被称为规范变换（gauge transformation）：

\begin{matrix} (3) & {\begin{aligned} A^{'} = A + \nabla λ \\ φ^{'} = φ - \frac{\partial λ}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

任何产生相同电磁场的两组标势矢势都可以通过规范变换联系起来。

　　除此以外，考虑到麦克斯韦方程只约束了 $A$ 的散度，因此我们可以限定 $\nabla \cdot A$ 的结果来减少冗余的自由度，还可同时简化麦克斯韦方程。基于此，常见的两种规范是库仑规范和洛伦兹规范。下面列出常见的规范条件：

库伦规范： $\nabla \cdot A = 0$ 。
洛伦兹规范： $\partial_{μ} A^{μ} = 0$ 。
辐射（radiation）规范： $\nabla \cdot A = 0, A^{0} = 0$ 。( $A$ 只有两个自由度，对应电磁场只有两个独立自由度，电磁波只有两个独立偏振方向。)
瞬时（temporal）规范： $A^{0} = 0$ 。
轴（axial）规范： $A^{3} = 0$ 。

　　这些规范条件总可以通过 $λ$ 的具体选定来实现，读者可自证这一点。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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