规范变换

             

预备知识 电磁场标势和矢势

   虽然标势和矢势可以唯一确定电磁场,但是同一个电磁场却可以由不同的标势和矢势得到.

   首先给矢势(式 2 )加上某个标量函数的梯度,磁场不变.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
但势的变换不是随意的:如果 $\lambda$ 随时间变化,式 2 中的电场会改变.因此我们需要加上限制条件,才能确保变换后的势仍然表示同一个电磁场.我们只需把标势减去 $\lambda$ 关于时间的导数,即可使电场不变
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} ' = - \boldsymbol\nabla \varphi' - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} '}{\partial t} = - \boldsymbol\nabla \left(\varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \right) - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda) = \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}

   这种 “保持电磁场不变时,对势 $ \begin{pmatrix}\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{pmatrix} $ 进行的变换” 被称为规范变换(gauge transformation)

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{A}} ' = \boldsymbol{\mathbf{A}} + \boldsymbol\nabla \lambda\\ &\varphi' = \varphi - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \end{aligned}\right. \end{equation}
任何产生相同电磁场的标势矢势都可以通过规范变换联系起来.

   常见的两种规范是库仑规范洛伦兹规范

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