磁场的能量

                     

贡献者: ACertainUser; addis

  • 本文存在未完成的内容。
  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。
预备知识 1 磁矢势

   磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的能量密度为

\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \,\mathrm{d}{V} \qquad \text{或} \qquad W = \frac12 \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{J}} \,\mathrm{d}{V} ~. \end{equation}
其中 $\mu_0$ 是真空中的磁导率,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是磁场矢势,$ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 是电流密度,积分是对全空间积分(或者对被积函数不为零的空间积分)。

1. 幼稚的推导

预备知识 2 电感

   首先我们根据能量守恒的思想,假设给一个电感 $l$ 充电的能量都以 “磁场能” 的形式储存起来,且每个点的能量密度只是磁场强度绝对值的函数。

   在例 2 中,我们知道螺线管中的磁场强度为

\begin{equation} B = \mu_0 nI~. \end{equation}
该螺线管的电感为
\begin{equation} L = \mu_0n^2lS~. \end{equation}
螺线管的能量
\begin{equation} E_B = \frac{1}{2}L I^2~. \end{equation}
式 2 ,式 3 代入 式 4
\begin{equation} E_B=\frac{1}{2} \mu_0n^2lS (\frac{B}{\mu_0 n})^2=\frac{1}{2\mu_0} B^2 lS~. \end{equation}
$lS$ 即为螺线圈的体积,写为积分形式,即为
\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \,\mathrm{d}{V} ~. \end{equation}
这就是螺线圈中磁场的能量。

2. 简单的推导

   我们首先考虑一个单匝线圈的磁场能量

图
图 1:单匝线圈

   假设 $t = 0$ 时 $I = 0$,此时没有磁场,磁场能量为零。

   接下来将线圈接入外部电源,令 $I$ 随着 $t$ 慢慢增加。变化的电流激发变化的磁场,而变化的磁场又产生一个反向电动势。反向电动势为(定义与电流相同的方向为正)

\begin{equation} \varepsilon = - \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~. \end{equation}
电源克服反电动势的功率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = - \varepsilon I = I \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{equation}
从能量守恒角度看,这部分功率对应的能量转换为了磁场的能量1。由于磁场与电流成正比(见毕奥—萨伐尔定律) ,不妨设 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I$ 。则
\begin{equation} I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{b}} }{2} \frac{\mathrm{d}{I^2}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\frac12 I \boldsymbol{\mathbf{B}} )~, \end{equation}
所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right) ~. \end{equation}
注意两边都是对时间的导数。两边对时间积分,得
\begin{equation} W = \frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{equation}
注意当 $I = 0$ 时 $ W = 0$,所以积分常数为零。注意在上述过程中,并没有假设电流以什么样的函数随时间变化(只要是缓慢变化即可)。
\begin{equation} W = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac12 \oint I \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~. \end{equation}
未完成:推导


1. ^ 自感对电流的阻碍作用或许让你联想到电阻的阻碍作用,但这两者有一些微妙的不同。在电阻中,电能转换为热能;而在自感线圈中,电能转换为了磁场能。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利