磁场的能量

                     

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预备知识 磁矢势

   磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的能量密度为

\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \,\mathrm{d}{V} \qquad \text{或} \qquad W = \frac12 \int \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{J}} \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
其中 $\mu_0$ 是真空中的磁导率,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是磁场矢势,$ \boldsymbol{\mathbf{J}} $ 是电流密度,积分是对全空间积分(或者对被积函数不为零的空间积分)。

1. 幼稚的推导

预备知识 电感

   首先我们根据能量守恒的思想,假设给一个电感 $l$ 充电的能量都以 “磁场能” 的形式储存起来,且每个点的能量密度只是磁场强度绝对值的函数。

   在例 2 中,我们知道螺线管中的磁场强度为

\begin{equation} B = \mu_0 nI \end{equation}
该螺线管的电感为
\begin{equation} L = \mu_0n^2lS \end{equation}
该螺线管的能量
\begin{equation} E_B = \frac{1}{2}L I^2 \end{equation}
式 2 ,式 3 代入 式 4
\begin{equation} E_B=\frac{1}{2} \mu_0n^2lS (\frac{B}{\mu_0 n})^2=\frac{1}{2\mu_0} B^2 lS \end{equation}
$lS$ 即为螺线圈的体积,写为积分形式,即为
\begin{equation} W = \frac{1}{2\mu_0} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
这就是螺线圈中磁场的能量。

2. 简单的推导

   我们首先考虑一个单匝线圈的磁场能量

图
图 1:单匝线圈

   假设 $t = 0$ 时 $I = 0$,此时没有磁场,磁场能量为零。

   接下来将线圈接入外部电源,令 $I$ 随着 $t$ 慢慢增加。变化的电流激发变化的磁场,而变化的磁场又产生一个反向电动势。反向电动势为(定义与电流相同的方向为正)

\begin{equation} \varepsilon = - \frac{\mathrm{d}{\Phi}}{\mathrm{d}{t}} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
电源克服反电动势的功率为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = - \varepsilon I = I \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
从能量守恒角度看,这部分功率对应的能量转换为了磁场的能量1。由于磁场与电流成正比(见比奥萨伐尔定律) ,不妨设 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I$ 。则
\begin{equation} I \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} I \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{b}} }{2} \frac{\mathrm{d}{I^2}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} (\frac12 I \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
所以
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right) \end{equation}
注意两边都是对时间的导数。两边对时间积分,得
\begin{equation} W = \frac12 \int I \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
注意当 $I = 0$ 时 $ W = 0$,所以积分常数为零。注意在上述过程中,并没有假设电流以什么样的函数随时间变化(只要是缓慢变化即可)。
\begin{equation} W = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{I}{2} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac12 \oint I \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } \end{equation}
未完成:推导


1. ^ 自感对电流的阻碍作用或许让你联想到电阻的阻碍作用,但这两者有一些微妙的不同。在电阻中,电能转换为热能;而在自感线圈中,电能转换为了磁场能。


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