带电粒子的辐射
贡献者： _Eden_; ACertainUser
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
1. 运动电荷产生的电磁场
根据李纳维谢尔势公式，运动电荷将向外辐射电磁场，从而产生能量损耗。下面我们将定量地推导由运动电荷带来的空间的电磁场分布。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~,~\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 是 $t'$ 时刻粒子的位置和速度，满足 $t-t'=| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|$。下面将用 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 来表示 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，表示 $t'$ 处电荷位置到当前位置的位矢。那么电磁势可以写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,\\
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在只要利用 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}, \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 就可以计算空间的电磁场分布了。但这里要注意的是，$\nabla$ 是对 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 作空间梯度，当 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 做 $ \,\mathrm{d}{r} $ 的变化时，相应的 $t', \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 也跟着发生变化（必须保证 $t'$ 时刻的粒子可以通过光速传播到当前时空点，即 $t-t'=| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|$）。下面我们依次计算几个物理量（由于 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t$ 的函数，下面公式中出现的偏微分都是在保持另一个变量不变的情况下计算偏导数）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&R=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2},\\
&\begin{cases}
\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{\partial R}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} )}{R}\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R}\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{\partial (t-t')}{\partial t}=1-\frac{\partial t'}{\partial t}\\
\end{cases}~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R} \left(\frac{\partial R}{\partial t}-1 \right) \\
\Rightarrow
&\frac{\partial R}{\partial t}=\frac{- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} },\
\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{R}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\partial_i R&=\frac{2(x_j-x_j')\partial_i(x_j-x'_j)}{2R}=\frac{1}{R} (x_j-x_j')(\delta_{ij} - \partial_i x_j')\\
&=\frac{1}{R}(x_i-x_i'-(x_j-x_j')\partial_i x_j')\\
&=\frac{1}{R} \left(R_i-R_j\frac{\partial x_j'}{\partial t'}\partial_{i} t' \right) \\
&=\frac{1}{R}(R_i+R_jv_j'\partial_i R)\\
\Rightarrow & \partial_i R=-\partial_i t'=\frac{R_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial_i R_j=\partial_i(x_j-x_j')=\delta_{ij}-\frac{\partial x_j'}{\partial t'}\partial_i t'=\delta_{ij}+\frac{v'_jR_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,
\\
&\frac{\partial R_j}{\partial t}=\frac{\partial R_j}{\partial t'}\frac{\partial t'}{\partial t}=-\frac{v'_jR}{R- \boldsymbol{\mathbf{r}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,
\\
&\partial_i v'_j=a'_j\partial_i t'=-\frac{a'_jR_i}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~,\\
&\frac{\partial v'_j}{\partial t}=a_j'\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{a_j'R}{R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_i&=-\partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t}
\\
&=\frac{q \partial_i (R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^2}-\frac{q\frac{\partial v'_i}{\partial t}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )-qv'_i\frac{\partial}{\partial t}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^2}
\\
&=\frac{q}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3} \left(R_i-R_j(-a_j'R_i)-v'_j(\delta_{ij}(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )+v'_jR_i) \right)
\\
&\ \ \ \ -\frac{q}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3} \left(a'_iR(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )+v'_i \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} +v'_i(-v'_jv'_jR+R_ja'_jR) \right)
\\
&=\frac{q \left((R_i-v_i'R)(1-v'_jv'_j) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}-\frac{q \left(R_j(R_ja'_i-R_ia'_j)+R_jR(v'_ia'_j-v'_ja'_i) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} ')^3}~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} &=\frac{q \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}-\frac{q \left( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{a}} '\times \boldsymbol{\mathbf{R}} )- \boldsymbol{\mathbf{R}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{a}} '\times \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}\\
&=\frac{q \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R) \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}+\frac{q \left( \boldsymbol{\mathbf{R}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R)\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) }{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R^2}\frac{ \left((1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ') \right) }{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}+\frac{q}{R}\frac{ \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) }{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}~.
\end{equation}
式 9 就是带电粒子产生的电场。其中第一项与 $R^2$ 成反比，与加速度无关；第二项与 $R$ 称反比，与加速度成正比。经过类似的推导，可以得出磁场的公式：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{equation}
例 1 匀速运动电荷产生的电磁场
设电荷 $q$ 以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 作匀速运动。设 $t$ 时刻电荷的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$，空间中在某一点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处放探测器。设 $\theta$ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的夹角，设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t^*)$ 为 $t^*$ 时刻从电荷位置指向 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的矢量。求 $t$ 时刻在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的电磁场（结果用 $\theta,q,v, \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 表示）。
这个问题用参考系变换做起来会更加方便。这里我们作为使用式 9 进行计算的例子。
加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =0$，所以式 9 只剩下了平方反比项。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R(t')^2}\frac{(1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}=\frac{q(1-v'^2)( \boldsymbol{\mathbf{R}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} 'R)}{(R- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} )^3}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} R(t')= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} (t-t')= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
R(t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')&= \boldsymbol{\mathbf{R}} (t')- \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)+ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t-t'))\\
&=R(t')(1-v^2)- v R(t)\cos\theta~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
R^2(t')=R^2(t)+v^2R^2(t')+2R(t')R(t)v\cos \theta\\
\Rightarrow R(t')=\frac{vR(t)\cos \theta+R(t)\sqrt{1-v^2\sin^2\theta}}{1-v^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)}{R^3(t)}\frac{1-v^2}{(1-v^2\sin^2\theta)^{3/2}}~,
\end{equation}
匀速电荷产生的电场具有许多有趣的现象。电场在平行于电荷运动的方向上减小，而在垂直方向上增大，整体上被 “压扁”，这可以理解为狭义相对论 “钟慢尺缩” 效应在电动力学中的体现。同时，$ \boldsymbol{\mathbf{E}} $不寻常地指向（或者反向指向）电荷 “真正的位置”，本应存在的推迟效应被巧妙地抵消了 [1]。
图 1：匀速运动电荷在 $Y=0$ 平面上产生的电场矢量场。假设电荷向右（$X$ 正方向）运动
2. 拉莫尔公式
当 $R\rightarrow \infty$ 时，式 9 中平方反比项衰减得很快，所以我们忽略此项，而只考虑由加速度导致的电磁辐射：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{q}{R}\frac{ \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{S}} &=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )=\frac{1}{4\pi}( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} E^2- \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ))\\
&=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} E^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left(\frac{ \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times (( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} ')\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')}{(1- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} )^3} \right) ^2~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在考虑非相对论极限的情形：$v'\ll 1$。那么坡印廷矢量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{S}} &=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} ') \right) ^2=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} ( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ')- \boldsymbol{\mathbf{a}} ' \right) ^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2} \left(-( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ')^2+a'^2 \right) =\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} }{4\pi R^2}( \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} ')^2\\
&=\frac{q^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} a^2\sin^2\theta}{4\pi R^2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{ \,\mathrm{d}{P} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} }=R^2 \boldsymbol{\mathbf{\hat n}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} =\frac{q^2a^2\sin^2\theta}{4\pi}~,
\end{equation}
\begin{equation}
P=\int \frac{ \,\mathrm{d}{P} }{ \,\mathrm{d}{\Omega} } \sin \theta \,\mathrm{d}{\Omega} =\int_0^\pi \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \frac{q^2a^2\sin^2\theta}{4\pi}=\frac{2}{3}q^2a^2~.
\end{equation}
\begin{equation}
P=\frac{2q^2}{3m^2} \left(\frac{ \,\mathrm{d}{p} }{ \,\mathrm{d}{t} } \right) ^2~.
\end{equation}
在考虑相对论的情况下，球面上测得的辐射功率不再等于粒子的辐射功率1。这两者一定要加以区分。粒子的辐射功率是单位时间粒子由于电磁辐射而损耗的能量，具有洛伦兹协变性。可以证明，相对论带电粒子辐射功率为
\begin{equation}
\begin{aligned}
P&=\frac{2q^2}{3m^2}\frac{ \,\mathrm{d}{p} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{p} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\\
&=\frac{2}{3}q^2\gamma^6(a^2-( \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} )^2))~.
\end{aligned}
\end{equation}
1. ^ 这是因为球面上不同点对应的 $t'$ 各不相同，导致粒子辐射一部分能量与能流通过球面的时间间隔不同。例如粒子在一小段时间间隔内辐射的能量可能经过很长一段时间通过球面的一块区域，则测得的功率偏低。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
友情链接： 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利