麦克斯韦方程组

             

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预备知识 法拉第电磁感应定律,磁场的高斯定律,位移电流

  1麦克斯韦方程组(Maxwell's Equation)可以看作电动力学的基本假设,它描述了经典电磁理论中电荷如何影响电磁场,以及电磁场变化的规律.它有多种不同的表示方法,本词条中讨论的是多数学科工作中常用的形式,理论物理中的外微分形式见 “麦克斯韦方程组(外微分形式)”.

1. 微分形式

   麦克斯韦方程组共有四条方程

\begin{align} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{align}
其中式 1 式 4 分别是电场的高斯定律,法拉第电磁感应定律,磁场的高斯定律,安培环路定律(含位移电流).

   高斯单位制中的麦克斯韦方程组更为对称(式 5

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 4\pi\rho\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
注意电场和磁场的公式仍然不是完全对称的.可以通过引入磁单极子使它们完全对称(式 3 ).

   麦克斯韦方程组完整地描述了经典电磁场的变化规律,那么一个自然的问题是:若已知一个矢量场的散度和旋度,是否能唯一确定该矢量场?一般答案是不能,因为还可以叠加一个任意调和场(见 “亥姆霍兹分解”).但如果加上边界条件(如该矢量场在无穷远处趋于零),那么就可以唯一确定,见散度的逆运算 和旋度的逆运算

2. 积分形式

   麦克斯韦方程组的积分和微分形式是完全等价的,可以通过散度定理和斯托克斯定理互相转换.

\begin{align} \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= \frac{1}{\epsilon_0}\int \rho \,\mathrm{d}{V} \\ \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= -\int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \\ \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= 0\\ \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= \mu_0 \int \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{align}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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