麦克斯韦方程组
贡献者： addis
1麦克斯韦方程组（Maxwell's Equation）可以看作电动力学的基本假设，它描述了经典电磁理论中电荷如何影响电磁场，以及电磁场变化的规律。它有多种不同的表示方法，本文中讨论的是多数学科工作中常用的形式，理论物理中的外微分形式见 “麦克斯韦方程组（外微分形式）”。
1. 微分形式
麦克斯韦方程组共有四条方程
\begin{align}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{align}
其中
式 1 到
式 4 分别是
电场的高斯定律，
法拉第电磁感应定律，
磁场的高斯定律，
安培环路定律（含
位移电流）。
高斯单位制中的麦克斯韦方程组更为对称（式 5 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 4\pi\rho~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~,\\
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{4\pi}{c} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意电场和磁场的公式仍然不是完全对称的。可以通过引入磁单极子使它们完全对称（
式 3 ）。
麦克斯韦方程组完整地描述了经典电磁场的变化规律，那么一个自然的问题是：若已知一个矢量场的散度和旋度，是否能唯一确定该矢量场？一般答案是不能，因为还可以叠加一个任意调和场（见 “亥姆霍兹分解”）。但如果加上边界条件（如该矢量场在无穷远处趋于零），那么就可以唯一确定，见散度的逆运算和旋度的逆运算。
2. 积分形式
麦克斯韦方程组的积分和微分形式是完全等价的，可以通过散度定理和斯托克斯定理互相转换。
\begin{align}
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= \frac{1}{\epsilon_0}\int \rho \,\mathrm{d}{V} ~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= -\int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } &= 0~.\\
\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } &= \mu_0 \int \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~.
\end{align}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。