李纳维谢尔势

贡献者： _Eden_; ACertainUser; addis

预备知识　电磁场推迟势

　　对于一个给定的电荷电流分布（作为关于时空坐标 $x^{μ}$ 的函数），可以根据推迟势算出电磁势 $ϕ, A$ （作为关于时空坐标 $x^{μ}$ 的函数）。

\begin{matrix} (1) & ϕ (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d ϕ^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & A (r, t) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{J (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d ϕ^{'} . \end{matrix}

　　或者写成四维形式：设四维电磁势 $A^{μ} = (ϕ / c, A)$ ，四维电荷电流密度 $J^{μ} = (ρ c, J)$ ，那么

\begin{matrix} (3) & A^{μ} (r, t) = \frac{1}{4 π ϵ_{0} c^{2}} \int \frac{J^{μ} (r^{'}, t - | r - r^{'} | / c)}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

　　我们继续使用自然单位制，令 $μ_{0} = ϵ_{0} = c = 1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $μ, ν$ 时，取值范围为 ${0, 1, 2, 3}$ ；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 ${1, 2, 3}$ 。约定闵氏时空度规为 $(- 1, 1, 1, 1)$ 。在自然单位制下，式 3 变为

\begin{matrix} (4) & A^{μ} (r, t) = \int \frac{J^{μ} (r^{'}, t - | r - r^{'} |)}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

　　如果要考察一个带电粒子的辐射，带电粒子的电荷密度为 $ρ (r, t) = q δ (r - r^{″} (t))$ ，电流密度为 $q v^{″} (t) δ (r - r^{″} (t))$ 。此时可以对推迟势进行化简，得到李纳-维谢尔势：

1. 李纳-维谢尔势

　　对于电荷密度为 $ρ (r, t) = q δ (r - r^{″} (t))$ ，电流密度为 $q v^{″} (t) δ (r - r^{″} (t))$ 的带电粒子，它产生的电磁势可以由下式给出

\begin{matrix} (5) & ϕ (r, t) = \frac{q}{| r - r^{'} | - v^{'} \cdot (r - r^{'})}, \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & A (r, t) = \frac{q v^{'}}{| r - r^{'} | - v^{'} \cdot (r - r^{'})} . \end{matrix}

　　其中 $r^{'}, v^{'}$ 是 $t^{'}$ 时刻粒子的位置和速度，且满足 $| r - r^{'} | = t - t^{'}$ （ $r^{'}, t^{'}$ 恰好以光速传播到 $r, t$ ，满足推迟势条件）。式 5 式 6 可以合并为四维协变形式：

\begin{matrix} (7) & A^{μ} (x) = \frac{- e u^{' μ}}{u^{ν} (x_{ν} - x_{ν}^{'})}, \end{matrix}

　　式 5 式 6 称为李纳-维谢尔势。可以利用推迟势公式进行推导。以式 5 为例，将电荷密度 $ρ (r, t) = q δ (r - r^{″} (t))$ 代入式 4 ：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} ϕ (r, t) & = \int \frac{ρ (r^{'}, t - | r - r^{'} |)}{| r - r^{'} |} d V^{'} \\ = \int \frac{q δ (r^{'} - r^{″} (t - | r - r^{'} |))}{| r - r^{'} |} d V^{'} \\ = \int \int \frac{q δ (r^{'} - r^{″} (t^{″}))}{| r - r^{'} |} δ (t - t^{″} - | r - r^{'} |) d V^{'} d t^{″} \\ = \int \frac{q}{| r - r^{″} (t^{″}) |} δ (t - t^{″} - | r - r^{″} (t^{″}) |) d t^{″} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由于 $δ (f (t)) = δ (t) \cdot {| \frac{d f}{d t} |}^{- 1}$ ，所以

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} δ (t - t^{″} - | r - r^{″} (t^{″}) |) & = δ (t^{″} - t^{'}) \cdot {| - 1 + \frac{v^{'} (t^{'}) \cdot (r - r^{'})}{| r - r^{'} |} |}^{- 1} \\ = δ (t^{″} - t^{'}) \frac{| r - r^{'} |}{| r - r^{'} | - v^{'} \cdot (r - r^{'})}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

t^{'}

满足

t - t^{'} - | r - r^{'} (t^{'}) | = 0

。最终式 8 可以化简为

\begin{matrix} (10) & ϕ (r, t) = \frac{q}{| r - r^{'} |} \frac{| r - r^{'} |}{| r - r^{'} | - v^{'} \cdot (r - r^{'})} = \frac{q}{| r - r^{'} | - v^{'} \cdot (r - r^{'})}, \end{matrix}

　　用类似的方法可以推导出式 6 。

2. 用格林函数推导

　　我们也可以用格林函数的方法进行推导。由于 $ϕ$ 满足二阶偏微分方程：

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial t^{2}} - \nabla^{2} ϕ = 4 π ρ . \end{matrix}

未完成：格林函数的推导方法

3. 运动场源推迟时刻的初步理解

图 1：

t = t_{a}

时刻，场源发出一个信号

图 2：

t = t_{b}

时刻，场点接受到信号

　　同理，在 $t = t_{a}$ 时，场源向场点发出一个速度为 c 的信号；在 $t = t_{b}$ 时，场点才收到场源的信号。因此，场点在 $t = t_{b}$ 时刻得知的信息只是 $t_{a}$ 时刻场源的信息，即 $t = t_{b}$ 时刻场点只知道场源在 $r^{'} (t = t_{a})$ ，却不知道他 “其实” 已经运动到了 $r^{'} (t = t_{b})$ 。

　　那么，要如何确定 $t$ 时刻的推迟时刻 $t_{r} = t - R / c$ 呢？麻烦的是， $R$ （“场源与场点的相对距离”）到底指的是什么？在场源固定时，R 与时间无关，可以被很清晰地描述；但在场源运动时，R 应该指什么？事实上，R 应该指场点所知道的场源 $r^{'} (t = t_{r})$ 到自己的距离： $R = r - r^{'} (t = t_{r})$ 。那么，推迟时刻就被隐性描述为 $t_{r} = t - \frac{| r - r^{'} (t = t_{r}) |}{c}$ ，或整理为 $c (t - t_{r}) = | r - r^{'} (t = t_{r}) |$ 。

　　在本例中，当 $t = t_{b}$ 时， $t_{r} = t_{a}$ ，即场点只感受到了 $t = t_{a}$ 时的场源。

1. ^ 本节参考了 [1]

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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