李纳维谢尔势

                     

贡献者: _Eden_; ACertainUser; addis

预备知识 电磁场推迟势

   对于一个给定的电荷电流分布(作为关于时空坐标 $x^\mu$ 的函数),可以根据推迟势算出电磁势 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $(作为关于时空坐标 $x^\mu$ 的函数).

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{\phi} ' \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{\phi} ' \end{equation}

   或者写成四维形式:设四维电磁势 $A^\mu=(\phi/c, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$,四维电荷电流密度 $J^\mu=(\rho c, \boldsymbol{\mathbf{J}} )$,那么

\begin{equation} A^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int \frac{J^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} ' \end{equation}

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达.依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$.约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$. 在自然单位制下,式 3 变为

\begin{equation} A^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\int \frac{J^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} ' \end{equation}

   如果要考察一个带电粒子的辐射,带电粒子的电荷密度为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$,电流密度为 $q \boldsymbol{\mathbf{v}} ''(t) \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$.此时可以对推迟势进行化简,得到李纳-维谢尔势

1. 李纳-维谢尔势

   对于电荷密度为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$,电流密度为 $q \boldsymbol{\mathbf{v}} ''(t) \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$ 的带电粒子,它产生的电磁势可以由下式给出

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')} \end{equation}

   其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{t}} '$ 时刻粒子的位置和速度,且满足 $ \boldsymbol{\mathbf{|}} \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|=t-t'$($ \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t'$ 恰好以光速传播到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t$,满足推迟势条件).式 5 式 6 可以合并为四维协变形式:

\begin{equation} A^\mu(x)=\frac{-e u'^\mu}{u^\nu (x_\nu-x'_\nu)} \end{equation}

   式 5 式 6 称为李纳-维谢尔势.可以利用推迟势公式进行推导.以式 5 为例,将电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$ 代入 式 4

\begin{equation} \begin{aligned} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)&=\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '\\ &=\int \frac{q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|))}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '\\ &=\int \int \frac{q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t''))}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|) \,\mathrm{d}{V} ' \,\mathrm{d}{t} ''\\ &=\int \frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|}\delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|) \,\mathrm{d}{t} '' \end{aligned}\\ \end{equation}

   由于 $\delta(f(t))=\delta(t)\cdot \left|\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{t} }\right|^{-1}$,所以

\begin{equation} \begin{aligned} \delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|)&=\delta(t''-t')\cdot \left|-1+\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '(t')\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\right|^{-1}\\ &=\delta(t''-t')\frac{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')} \end{aligned} \end{equation}
其中 $t'$ 满足 $t-t'-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t')|=0$.最终 式 8 可以化简为
\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\frac{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')} \end{equation}

   用类似的方法可以推导出式 6

2. 用格林函数推导

   我们也可以用格林函数的方法进行推导.由于 $\phi$ 满足二阶偏微分方程:

\begin{equation} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2 \phi= 4\pi \rho \end{equation}
未完成:格林函数的推导方法

3. 运动场源推迟时刻的初步理解

预备知识 电磁场推迟势

  1

图
图 1:$t=t_a$ 时刻,场源发出一个信号
图
图 2:$t=t_b$ 时刻,场点接受到信号

   同理,在 $t=t_a$ 时,场源向场点发出一个速度为 c 的信号;在 $t=t_b$ 时,场点才收到场源的信号.因此,场点在 $t=t_b$ 时刻得知的信息只是 $t_a$ 时刻场源的信息,即 $t=t_b$ 时刻场点只知道场源在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_a)$,却不知道他 “其实” 已经运动到了 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_b)$.

   那么,要如何确定 $t$ 时刻的推迟时刻 $t_r=t-R/c$ 呢?麻烦的是,$R$(“场源与场点的相对距离”)到底指的是什么?在场源固定时,R 与时间无关,可以被很清晰地描述;但在场源运动时,R 应该指什么?事实上,R 应该指场点所知道的场源$ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r)$ 到自己的距离:$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r)$. 那么,推迟时刻就被隐性描述为 $t_r=t-\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r) \right\rvert }{c}$,或整理为 $c(t-t_r)= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r) \right\rvert $.

   在本例中,当 $t=t_b$ 时,$t_r=t_a$,即场点只感受到了 $t=t_a$ 时的场源.


1. ^ 本节参考了 [19]


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