贡献者： _Eden_; ACertainUser; addis
对于一个给定的电荷电流分布（作为关于时空坐标 $x^\mu$ 的函数），可以根据推迟势算出电磁势 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $（作为关于时空坐标 $x^\mu$ 的函数）。
\begin{equation}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{\phi} '~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{J}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{\phi} '~.
\end{equation}
或者写成四维形式：设四维电磁势 $A^\mu=(\phi/c, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$，四维电荷电流密度 $J^\mu=(\rho c, \boldsymbol{\mathbf{J}} )$，那么
\begin{equation}
A^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0c^2}\int \frac{J^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|/c)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '~.
\end{equation}
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
在自然单位制下，式 3 变为
\begin{equation}
A^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\int \frac{J^\mu( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '~.
\end{equation}
如果要考察一个带电粒子的辐射，带电粒子的电荷密度为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$，电流密度为 $q \boldsymbol{\mathbf{v}} ''(t) \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$。此时可以对推迟势进行化简，得到李纳-维谢尔势：
1. 李纳-维谢尔势
对于电荷密度为 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$，电流密度为 $q \boldsymbol{\mathbf{v}} ''(t) \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$ 的带电粒子，它产生的电磁势可以由下式给出
\begin{equation}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q \boldsymbol{\mathbf{v}} '}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{t}} '$ 时刻粒子的位置和速度，且满足 $ \boldsymbol{\mathbf{|}} \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|=t-t'$（$ \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t'$ 恰好以光速传播到 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t$，满足推迟势条件）。式 5 式 6 可以合并为四维协变形式：
\begin{equation}
A^\mu(x)=\frac{-e u'^\mu}{u^\nu (x_\nu-x'_\nu)}~,
\end{equation}
式 5 式 6 称为李纳-维谢尔势。可以利用推迟势公式进行推导。以式 5 为例，将电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t))$ 代入
式 4 ：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)&=\int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ',t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|)}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '\\
&=\int \frac{q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|))}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|} \,\mathrm{d}{V} '\\
&=\int \int \frac{q\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} '- \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t''))}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|) \,\mathrm{d}{V} ' \,\mathrm{d}{t} ''\\
&=\int \frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|}\delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|) \,\mathrm{d}{t} ''~.
\end{aligned}\\
\end{equation}
由于 $\delta(f(t))=\delta(t)\cdot \left|\frac{ \,\mathrm{d}{f} }{ \,\mathrm{d}{t} }\right|^{-1}$，所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta (t-t''-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ''(t'')|)&=\delta(t''-t')\cdot \left|-1+\frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} '(t')\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\right|^{-1}\\
&=\delta(t''-t')\frac{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $t'$ 满足 $t-t'-| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t')|=0$。最终
式 8 可以化简为
\begin{equation}
\phi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ,t)=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}\frac{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}=\frac{q}{| \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '|- \boldsymbol{\mathbf{v}} '\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}~,
\end{equation}
用类似的方法可以推导出式 6 。
2. 用格林函数推导
我们也可以用格林函数的方法进行推导。由于 $\phi$ 满足二阶偏微分方程：
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2 \phi= 4\pi \rho~.
\end{equation}
未完成：格林函数的推导方法
3. 运动场源推迟时刻的初步理解
1
图 1：$t=t_a$ 时刻，场源发出一个信号
图 2：$t=t_b$ 时刻，场点接受到信号
同理，在 $t=t_a$ 时，场源向场点发出一个速度为 c 的信号；在 $t=t_b$ 时，场点才收到场源的信号。因此，场点在 $t=t_b$ 时刻得知的信息只是 $t_a$ 时刻场源的信息，即 $t=t_b$ 时刻场点只知道场源在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_a)$，却不知道他 “其实” 已经运动到了 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_b)$。
那么，要如何确定 $t$ 时刻的推迟时刻 $t_r=t-R/c$ 呢？麻烦的是，$R$（“场源与场点的相对距离”）到底指的是什么？在场源固定时，R 与时间无关，可以被很清晰地描述；但在场源运动时，R 应该指什么？事实上，R 应该指场点所知道的场源$ \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r)$ 到自己的距离：$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r)$。
那么，推迟时刻就被隐性描述为 $t_r=t-\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r) \right\rvert }{c}$，或整理为 $c(t-t_r)= \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '(t=t_r) \right\rvert $。
在本例中，当 $t=t_b$ 时，$t_r=t_a$，即场点只感受到了 $t=t_a$ 时的场源。
1. ^ 本节参考了 [1]
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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