电磁场推迟势

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　洛伦兹规范，非齐次亥姆霍兹方程、推迟势

　　¹在静电学情况下（ $ρ (r)$ 和 $j (r)$ 不随时间变化），标势和矢势也与时间无关，这时它们满足（式 2 式 3 中时间导数项为零）

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} A = - μ_{0} j . \end{matrix}

解的

\begin{matrix} (3) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

　　在非静电学情况下，电荷密度 $ρ (r, t)$ 和电流 $j (r, t)$ 既是空间的函数也是时间的函数。定义推迟时间（retarded time）为

\begin{matrix} (5) & t_{r} \equiv t - | r - r^{'} | / c . \end{matrix}

那么可以证明（式 2 式 3 的解）

\begin{matrix} (6) & V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'}, t_{r})}{| r - r^{'} |} d V^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}, t_{r})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

1. 推迟时刻的一个初步理解

图 1：

t = t_{a}

时刻场源发出信号

图 2：

t = t_{b}

时刻，场点接收到

t_{a}

时刻场源发出的信号

　　推迟时间由来的关键在于信息的传递是需要时间的。就像你网购时，你的快递不会立刻寄到你手中那样，场点也不会立刻得知场源的变化。

　　在 $t = t_{a}$ 时，场源向相距 $R$ 的场点发出一个速度为 $c$ 的信号；在 $t = t_{b}$ 时，场点才收到场源的信号。因此，场点在 $t = t_{b}$ 时刻得知的场源信息只是 $t_{a}$ 时刻的，而不是 $t_{b}$ 时刻的。二者间存在一个信息的时间差 $Δ t = t_{b} - t_{a} = R / c$ 。即使 $t_{b}$ 时刻场源已经变化，由于 $t_{b}$ 时刻的信息还没有到达场点，因此场点 “不知道” 场源已经变化。

　　广而论之， $t$ 时刻场点得到的场源信息都是 $Δ t = R / c$ 前、或 $(t - Δ t = t - R / c)$ 时刻的场源信息，因此可以定义推迟时刻 $t_{r} = t - R / c$ 。

1. ^ 参考 [1]。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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