电磁场推迟势

                     

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预备知识 洛伦兹规范,非齐次亥姆霍兹方程、推迟势

  1在静电学情况下($\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 不随时间变化),标势和矢势也与时间无关,这时它们满足(式 2 式 3 中时间导数项为零)

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}
解的
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}

   在非静电学情况下,电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 既是空间的函数也是时间的函数.定义推迟时间(retarded time)

\begin{equation} t_r \equiv t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c \end{equation}
那么可以证明(式 2 式 3 的解)
\begin{equation} V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}

1. 推迟时刻的一个初步理解

图
图 1:$t=t_a$ 时刻场源发出信号
图
图 2:$t=t_b$ 时刻,场点接收到 $t_a$ 时刻场源发出的信号

   在 $t=t_a$ 时,场源向相距 R 的场点发出一个速度为 c 的信号;在 $t=t_b$ 时,场点才收到场源的信号.因此,场点在 $t=t_b$ 时刻得知的信息只是 $t_a$ 时刻场源的信息.二者间存在一个信息的时间差 $\Delta t= t_b-t_a = R/c $.

   广而论之,t 时刻场点得到的场源信息都是 $\Delta t = R/c$ 前、或 $(t-\Delta t = t-R/c)$ 时刻的场源信息,因此可以定义推迟时刻 $t_r=t-R/c= |r-r'|/c$.此例中,$t_r=t_a$.

   即使 $t_b$ 时刻场源已经变化,由于 tb 时刻的信息还没有到达场点,因此场点 “不知道” 场源已经变化.


1. ^ 参考 [19]


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