贡献者： ACertainUser; addis
1在静电学情况下（$\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 不随时间变化），标势和矢势也与时间无关，这时它们满足（式 2 式 3 中时间导数项为零）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~.
\end{equation}
解的
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
在非静电学情况下，电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 既是空间的函数也是时间的函数。定义推迟时间（retarded time）为
\begin{equation}
t_r \equiv t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c~.
\end{equation}
那么可以证明（
式 2 式 3 的解）
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
1. 推迟时刻的一个初步理解
图 1：$t=t_a$ 时刻场源发出信号
图 2：$t=t_b$ 时刻，场点接收到 $t_a$ 时刻场源发出的信号
推迟时间由来的关键在于信息的传递是需要时间的。就像你网购时，你的快递不会立刻寄到你手中那样，场点也不会立刻得知场源的变化。
在 $t=t_a$ 时，场源向相距 $R$ 的场点发出一个速度为 $c$ 的信号；在 $t=t_b$ 时，场点才收到场源的信号。因此，场点在 $t=t_b$ 时刻得知的场源信息只是 $t_a$ 时刻的，而不是 $t_b$ 时刻的。二者间存在一个信息的时间差 $\Delta t= t_b-t_a = R/c $。即使 $t_b$ 时刻场源已经变化，由于 $t_b$ 时刻的信息还没有到达场点，因此场点 “不知道” 场源已经变化。
广而论之，$t$ 时刻场点得到的场源信息都是 $\Delta t = R/c$ 前、或 $(t-\Delta t = t-R/c)$ 时刻的场源信息，因此可以定义推迟时刻 $t_r=t-R/c$。
1. ^ 参考 [1]。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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