贡献者： ACertainUser; addis
1在静电学情况下（$\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 不随时间变化），标势和矢势也与时间无关，这时它们满足（式 2 式 3 中时间导数项为零）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~.
\end{equation}
解的
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
在非静电学情况下，电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 和电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 既是空间的函数也是时间的函数。定义推迟时间（retarded time）为
\begin{equation}
t_r \equiv t - \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert /c~.
\end{equation}
那么可以证明（
式 2 式 3 的解）
\begin{equation}
V( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ', t_r)}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
1. 推迟时刻的一个初步理解
图 1：$t=t_a$ 时刻场源发出信号
图 2：$t=t_b$ 时刻，场点接收到 $t_a$ 时刻场源发出的信号
推迟时间由来的关键在于信息的传递是需要时间的。就像你网购时，你的快递不会立刻寄到你手中那样，场点也不会立刻得知场源的变化。
在 $t=t_a$ 时，场源向相距 $R$ 的场点发出一个速度为 $c$ 的信号；在 $t=t_b$ 时，场点才收到场源的信号。因此，场点在 $t=t_b$ 时刻得知的场源信息只是 $t_a$ 时刻的，而不是 $t_b$ 时刻的。二者间存在一个信息的时间差 $\Delta t= t_b-t_a = R/c $。即使 $t_b$ 时刻场源已经变化，由于 $t_b$ 时刻的信息还没有到达场点，因此场点 “不知道” 场源已经变化。
广而论之，$t$ 时刻场点得到的场源信息都是 $\Delta t = R/c$ 前、或 $(t-\Delta t = t-R/c)$ 时刻的场源信息，因此可以定义推迟时刻 $t_r=t-R/c$。
1. ^ 参考 [1]。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
