麦克斯韦方程组(介质)

                     

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预备知识 麦克斯韦方程组

   介质中的麦克斯韦方程:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho_f\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = J_f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

   其中 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 为 “电位移矢量”,$ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 为 “磁场强度”2,$\rho_f$ 是自由电荷,$ \boldsymbol{\mathbf{j}} _f$ 是自由电流3. 根据"电介质 "与"磁介质"的物理模型,他们被定义为

\begin{align} \boldsymbol{\mathbf{D}} &= \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} \\ \boldsymbol{\mathbf{H}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}} \\ \end{align}

   至少目前,式 1 是普适的,因为推导他的过程中我们没有过多地假设介质的性质(没有说明 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的关系,等等).

1. 均匀线性介质的特例

   在各向同性、非铁磁性的均匀线性介质中,极化电偶、电流密度与场4之间有线性关系5

\begin{align} \boldsymbol{\mathbf{P}} &= \epsilon_0 \chi_E \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ \boldsymbol{\mathbf{M}} &= \frac{1}{\mu_0} \frac{\chi_B}{1+\chi_B} \boldsymbol{\mathbf{B}} \\ \end{align}

   因此,有构成关系:

\begin{align} \boldsymbol{\mathbf{D}} &= \epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon_0 \epsilon_r \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon_0(1 + \chi_E) \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ \boldsymbol{\mathbf{H}} &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0\mu_r} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0(1 + \chi_B)}\\ \end{align}
其中 $\epsilon_r$ 为相对介电常数,$\mu_r$ 为相对磁导率,是与物质种类有关的物理量.

   此时,麦克斯韦方程还可以写为:

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho_f}{\epsilon}\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0\\ & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu J_f + \mu\epsilon \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
注意他的适用范围(例如,不能在跨越两种不同的电介质的区域内使用),以及和 “真空” 麦克斯韦方程组的相似与不同


1. ^ 本文参考了 [19] 与周磊教授的《电动力学》讲义
2. ^ 有一些作者认为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} , \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 仅仅是数学工具而没有实际的物理含义,因为电荷或电流最终只能感受到 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 这类 “真正的场”.现在,不少人称呼 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 为 “磁场强度”
3. ^ 即除了因介质极化而产生的极化电荷、极化电流
4. ^ 这里的场指总的场,即外场与极化场之和.对于电荷与介质而言,不论是外场还是极化场,他们的效果都是 “真实而相同” 的
5. ^ 或许你会感觉这个定义有点别扭.这有一定的历史原因.最早人们把 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 看作 “真正的场”,因此定义了 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_m \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu \boldsymbol{\mathbf{H}} $


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