麦克斯韦方程组（介质）

贡献者： ACertainUser; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　麦克斯韦方程组

　　介质中的麦克斯韦方程：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \nabla \cdot D = ρ_{f}, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times H = J_{f} + \frac{\partial D}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

　　其中 $D$ 为 “电位移矢量”， $H$ 为 “磁场强度”²， $ρ_{f}$ 是自由电荷， $j_{f}$ 是自由电流³. 根据"电介质 "与"磁介质"的物理模型，他们被定义为

\begin{aligned} (2) & D & = ϵ_{0} E + P, \\ (3) & H & = \frac{B}{μ_{0}} - M . \end{aligned}

　　至少目前，式 1 是普适的，因为推导他的过程中我们没有过多地假设介质的性质（没有说明 $P$ 与 $E$ 的关系，等等）。

1. 均匀线性介质的特例

　　在各向同性、非铁磁性的均匀线性介质中，极化电偶、电流密度与场⁴之间有线性关系⁵：

\begin{aligned} (4) & P & = ϵ_{0} χ_{E} E, \\ (5) & M & = \frac{1}{μ_{0}} \frac{χ_{B}}{1 + χ_{B}} B . \end{aligned}

　　因此，有构成关系：

\begin{aligned} (6) & D & = ϵ E = ϵ_{0} ϵ_{r} E = ϵ_{0} (1 + χ_{E}) E, \\ (7) & H & = \frac{B}{μ} = \frac{B}{μ_{0} μ_{r}} = \frac{B}{μ_{0} (1 + χ_{B})} . \end{aligned}

其中

ϵ_{r}

为相对介电常数，

μ_{r}

为相对磁导率，是与物质种类有关的物理量。

　　此时，麦克斯韦方程还可以写为：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \nabla \cdot E = \frac{ρ_{f}}{ϵ}, \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \\ \nabla \cdot B = 0, \\ \nabla \times B = μ J_{f} + μ ϵ \frac{\partial E}{\partial t} . \end{aligned} \end{matrix}

注意他的适用范围（例如，不能在跨越两种不同的电介质的区域内使用），以及和 “真空” 麦克斯韦方程组的相似与不同

1. ^ 本文参考了 [1] 与周磊教授的《电动力学》讲义
2. ^ 有一些作者认为 $D, H$ 仅仅是数学工具而没有实际的物理含义，因为电荷或电流最终只能感受到 $E, B$ 这类 “真正的场”。现在，不少人称呼 $B$ 为 “磁场强度”
3. ^ 即除了因介质极化而产生的极化电荷、极化电流
4. ^ 这里的场指总的场，即外场与极化场之和。对于电荷与介质而言，不论是外场还是极化场，他们的效果都是 “真实而相同” 的
5. ^ 或许你会感觉这个定义有点别扭。这有一定的历史原因。最早人们把 $H$ 看作 “真正的场”，因此定义了 $M = χ_{m} H$ 与 $B = μ H$

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。