静电场与静磁场（总结）

贡献者： ACertainUser; addis

预备知识　电场的高斯定律，磁场的高斯定律，安培环路定律（静磁学）

　　在本文中，我们总结一些静电场与静磁场的基本性质。此处所谓 “静”，指的是系统的状态不随时间变化，例如，电荷、电流、电场等等的强度与分布都是恒定的。注意，此处 “静” 与 “静止” 的含义不完全相同，不代表没有电荷流动（电流），只是说明电荷流动的速度是均匀的，所谓 “稳恒电流”。

1. 电荷、电流与电荷守恒

　　什么是电荷？按照 Landau 富有深意的话来说，电荷是 “粒子与电磁场相互作用的强度”。不过，对于初学者来说，你只要知道电荷同质量一样，也是粒子/物质的一种性质。之所以引入电荷的概念，是因为人们发现物质间除了有源于质量的引力交互作用外，还有另一种交互作用，其强度与质量无关、但与物质的另一种性质有关。人们把这种性质称为 “电荷”，这种交互称为 “静电力”。

　　当电荷是离散分布时（例如，我们熟知的点电荷模型，对应 “质点”），我们可以描述每一个点电荷所带电荷量 $q_{i}$ ；而当电荷是连续分布时（例如，一个处处带电的物体，对应 “刚体”），我们更喜欢使用电荷密度，即单位体积的电荷量 $ρ = \frac{d q}{d V}$ 。

　　当（大量）电荷定向运动起来，就会产生电流¹。电流可由电流强度 $I$ 与电流密度 $j$ 表述：

表1：电流强度与电流密度

电流强度 $I$ ：“单位时间通过截面的电荷量”	$I = \frac{d q}{d t}$
电流密度 $j$ ：“单位时间单位面积通过的电荷量”	$I = \oint j \cdot d S$ $j = \frac{d I}{d S_{⊥}} \hat{n}$ $j = n e v$ 其中, $n$ 是载流子（载流子是电荷的载体）的体积数密度， $e$ 是每一个载流子的电荷量， $v$ 是载流子的速度。

　　同质量一样²，电荷是守恒的。也就是说，如果一个区域内有电荷的流出(电流)，那么这个区域内的电荷量就会相应地减小。 $\oint j \cdot d s = - \frac{d}{d t} \int ρ d V \sum_{i} I_{i} = - \frac{d q}{d t},$ 其中， $j$ 是电流密度， $ρ = \frac{d q}{d V}$ 是电荷密度， $I > 0$ 表示流出该区域的电流，否则是流入的电流。或者 $\nabla \cdot j + \frac{\partial ρ}{\partial t} = 0 .$ 在静场条件下，空间中的电荷密度以及电流密度都不随时间变化，所以有 $\nabla \cdot j = 0 \sum_{i} I_{i} = 0 .$ 这个结论还被称为基尔霍夫第一定律。

2. 静电场与静磁场

图 1：电荷与电流分别在一个截面上产生的电场与磁场示意图。CC 0

　　众所周知，电荷与电流会在他们周围分别产生电场与磁场。下表反映了电荷、电流与他们所产生的电场、磁场之间的联系：

表2：静电场与静磁场

	电场 $E$	磁场 $B$
场源	电荷 $q$	电流 (运动的电荷) $I$
场源产生的场	$d E (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d q}{R^{2}} \hat{R}$ 不大严格地说， $d E$ 是由单个小电荷 $d q$ 产生的电场。	$d B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d r^{'} \times \hat{R}}{R^{2}}$ 毕奥—萨伐尔定律； $d B$ 是由一小段电流 $I d r^{'}$ 产生的磁场。³
线性叠加原理	$E (r) = \int d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{d q}{R^{2}} \hat{R}$ 由于相应的方程是线性的，因此如果空间中有多个电荷，他们导致的总电场是各个电荷产生的电场的和。	$B (r) = \oint d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times \hat{R}}{R^{2}}$
散度方程	$\oint E \cdot d s = \frac{1}{ϵ_{0}} \int ρ d V = \frac{Q}{ϵ_{0}}$ $\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}$ 电场的高斯定律	$\oint B \cdot d s = 0$ $\nabla \cdot B = 0$ 磁场的高斯定律
旋度方程	$\oint E \cdot d l = 0$ $\nabla \times E = 0$ 静电场的环路定理，基尔霍夫第二定律的一种表述。	$\oint B \cdot d l = μ_{0} \int j \cdot d s = μ_{0} I$ $\nabla \times B = μ_{0} j$ 静磁场的环路定理（专业术语：安培环路定律）

　　其中 $r$ 是场点， $r^{'}$ 是场源位置， $R = r - r^{'}$ 是场源指向场点的矢量， $\hat{R}$ 是相应的单位矢量。 $ϵ_{0}$ ， $μ_{0}$ 分别是 “真空介电常数” 与 “真空磁导率”（按照 griffiths 的说法，这两个常数的名称具有误导性，你只需要知道他们是两个常数就行）。

　　为什么有了漂亮的 “场源产生的场”，还需要（微分形式的）散度与旋度方程？尽管二者可以互相 “推导”，但是散度与旋度方程仍具有（潜在的、理论意义上的）优势：

在具有某些对称性的情况下，使用散度与旋度方程能避开繁杂的积分、更易于解题；
散度与旋度方程是 “局域性” 的描述，而局域性是经典物理所偏好的。按照 Feynman（的厚厚的《物理学讲义》）的话说，散度与旋度方程告诉我们（静场情况下）某处电磁场的改变只与该处的电荷、电流密度有关；
在非静场情况下，散度与旋度方程在添加一些项后仍然适用，但是 “场源产生的场” 需要经过大幅修正；
容易从散度与旋度方程中导出势的概念；而如今，势被认为是更基本的物理量。

3. 电（标）势与磁矢势

　　基于数学与物理意义上的考量，我们可以引入势的概念。有时使用势的概念，会比场更为简洁、深刻。

表3：电（标）势与磁矢势

	电场 $E$	磁场 $B$
势	$φ$ 电势，标量函数	$A$ 磁矢势，矢量函数
势与场	$E = - \nabla φ$ $φ (r) = \int_{r}^{r_{0}} E \cdot d l$ ( $r_{0}$ 是零势参考点，一般选取无穷远处势为 0，具体参考下文的“规范”)	$B = \nabla \times A$
势的任意性，“规范”	$φ + = λ$ $λ$ 是常数	$A + = \nabla λ$ $λ$ 是标量函数。基于此， $\nabla \cdot A$ 的取值可被控制
场源导致的势	$φ (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ (r^{'})}{\| r - r^{'} \|} d V^{'} .$ (假定无穷远处势为零)	$A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{\| r - r^{'} \|} d V^{'} .$ (假定取规范 $\nabla \cdot A = 0$ )
势的方程	$\nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ε_{0}}$ (假定无穷远处势为零)	$\nabla^{2} A = - μ_{0} j$ (取规范 $\nabla \cdot A = 0$ )

势的定义

　　引入势的数学考量是（详见 [1] 与 “矢量分析总结 ”）：

如果一个场无旋，那么他可以写成一个标量函数的梯度 $\nabla \times F = 0 \Rightarrow F = - \nabla φ$ ；
以及如果一个场无散，那么他可以写成另一个场的旋度 $\nabla \cdot F = 0 \Rightarrow F = \nabla \times A$ 。

　　静电场和磁场天然分别满足这些条件，因此可以分别定义电势与磁势。

　　物理上的考量参考 “电势、电势能 ”。

　　从电场-电势的关系很容易看出，静电场其实只有一个自由度 $φ$ ，而非看起来的三个 $(E_{x}, E_{y}, E_{z})$ 。

势的任意性

　　由于电荷直接感受到的是场而不是势(见下"洛伦兹力")，所以只要能得到相同的场，势的取值具有一定的灵活性。例如，由于 $E = - \nabla φ$ ，即使势加上一个常数后，仍有 $E = - \nabla (φ + λ) = - \nabla φ - \nabla λ = - \nabla φ$ ，即相应的电场也不会变化。因此，电势总可以相差一个常数而不改变 “实质性结果”。这就有点像我们做不定积分时，总会得到一个积分常数 $C$ ；或者对函数求导时，常数项不会改变导函数。选取常数的方法称为 “规范”，根据相应的场合，我们会选取恰当的规范以简化计算。在静场中，我们一般令电势在无穷远处为零，并让磁势满足 $\nabla \cdot A = 0$ 。

势的方程

　　将势的定义代入 Maxwell 方程组，并辅以数学技巧，就可以得到相应势的方程。例如对于电势⁴： ${\begin{aligned} E & = - \nabla φ \\ \nabla \cdot E & = \frac{ρ}{ϵ_{0}} \end{aligned} \Rightarrow \nabla^{2} φ = - \frac{ρ}{ϵ_{0}} .$

　　磁势也是同理，但是需要更巧妙地运用数学技巧与规范，具体证明过程按惯例留给读者： ${\begin{aligned} B & = \nabla \times A \\ \nabla \times B & = μ_{0} j \\ \nabla \cdot A & = 0 \end{aligned} \Rightarrow \nabla^{2} A = - μ_{0} j .$ 由于磁势 $A$ 是一个矢量，所以磁势的方程其实包括三个标量方程（直角坐标系）： $\nabla^{2} A = - μ_{0} j \Rightarrow {\begin{array}{r} \nabla^{2} A_{x} = - μ_{0} j_{x} \\ \nabla^{2} A_{y} = - μ_{0} j_{y} \\ \nabla^{2} A_{z} = - μ_{0} j_{z} \end{array} .$

场源导致的势

　　原则上，"场源导致的势"是相应势的方程的解，但这么做就慢了。根据电场的性质、势的定义、以及电势与积分路径无关的性质，就能轻松得到"电荷导致的势"，这也是我们在高中和大物里了解的方法： $φ = \int E \cdot d l = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q}{R},$ 并推广为连续形式 $φ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ}{R} d V^{'} .$ 根据磁势方程与电势的类似性，类比就能得到"电流导致的磁势"。如此操作避免了求解偏微分方程的困难。

图 2：源->势->场

4. 洛伦兹力

　　一个点电荷在电磁场中的受力由洛伦兹力公式给出： $F = q (E + v \times B) .$ 注意该式中并不包含点电荷静止或匀速运动时自身产生的电磁场。但当点电荷做非匀速运动时会产生辐射（即电磁波），而这个辐射又会反过来作用在点电荷上面。从能量守恒的角度来说，电荷产生辐射损失了能量，所以动能必定会下降，所以它的辐射对自身的力整体上必然是一个阻力。不过在一般情况下，我们假定这个辐射的功率足够小，使得该效应可以忽略不计。

　　对于连续分布的电荷，我们描述单位体积（“一小块”）电荷所受的洛伦兹力。相当于上式两边 “同除以” $d V$ 。 $f = \frac{d F}{d V} = \frac{d q}{d V} (E + v \times B) = ρ (E + v \times B) = ρ E + j \times B .$

1. ^ 有时，我们假定电流伴随着异号静止电荷，因此电流总体上不带静电荷，也不产生电场。
2. ^ 防杠声明：与电动力学紧密结合的狭义相对论告诉我们，这个表述是不严谨的
3. ^ 不同于静电场中可以任意摆放电荷，在静磁场中我们不能“任意摆放”电流，而必须使电流成环，或者延伸到无穷远处。假如设计的“电路”不成环，那么根据电荷守恒，区域内的电荷密度必定变化，从而不再是静场问题。这也是为什么这个公式实际上不能准确描述“单个运动电荷的磁场”。
4. ^ 为什么 $\nabla \times E = 0$ 的方程不见了？因为在引入电势概念时，我们已经用到了这个方程：任意标量函数的梯度的旋度始终为零： $\nabla \times (\nabla φ) = 0$ 。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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