静电场与静磁场(总结)

                     

贡献者: ACertainUser; addis

预备知识 电场的高斯定律,磁场的高斯定律,安培环路定律(静磁学)

   在本文中,我们总结一些静电场与静磁场的基本性质。此处所谓 “静”,指的是系统的状态不随时间变化,例如,电荷、电流、电场等等的强度与分布都是恒定的。注意,此处 “静” 与 “静止” 的含义不完全相同,不代表没有电荷流动(电流),只是说明电荷流动的速度是均匀的,所谓 “稳恒电流”。

1. 电荷、电流与电荷守恒

   什么是电荷?按照 Landau 富有深意的话来说,电荷是 “粒子与电磁场相互作用的强度”。不过,对于初学者来说,你只要知道电荷同质量一样,也是粒子/物质的一种性质。之所以引入电荷的概念,是因为人们发现物质间除了有源于质量的引力交互作用外,还有另一种交互作用,其强度与质量无关、但与物质的另一种性质有关。人们把这种性质称为 “电荷”,这种交互称为 “静电力”。

   当电荷是离散分布时(例如,我们熟知的点电荷模型,对应 “质点”),我们可以描述每一个点电荷所带电荷量 $q_i$;而当电荷是连续分布时(例如,一个处处带电的物体,对应 “刚体”),我们更喜欢使用电荷密度,即单位体积的电荷量 $\rho = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} $。

   当(大量)电荷定向运动起来,就会产生电流1电流可由电流强度 $I$ 与电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 表述:

表1:电流强度与电流密度
电流强度 $I$:“单位时间通过截面的电荷量” $I = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} $
电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $:“单位时间单位面积通过的电荷量” $$I = \oint \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{S_\perp}} \hat n~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{j}} = n e \boldsymbol{\mathbf{v}} ~$$其中, $n$ 是载流子(载流子是电荷的载体)的体积数密度,$e$ 是每一个载流子的电荷量,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是载流子的速度。

   同质量一样2电荷是守恒的。也就是说,如果一个区域内有电荷的流出(电流),那么这个区域内的电荷量就会相应地减小。 $$ \oint \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \rho \,\mathrm{d}{V} \qquad \sum_i I_i = - \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} ~, $$ 其中,$ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是电流密度,$\rho = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} $ 是电荷密度,$I>0$ 表示流出该区域的电流,否则是流入的电流。或者 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0~. $$ 在静场条件下,空间中的电荷密度以及电流密度都不随时间变化,所以有 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 \qquad \sum_i I_i = 0~.$$ 这个结论还被称为基尔霍夫第一定律

2. 静电场与静磁场

图
图 1:电荷与电流分别在一个截面上产生的电场与磁场示意图。CC 0

   众所周知,电荷与电流会在他们周围分别产生电场与磁场。下表反映了电荷、电流与他们所产生的电场、磁场之间的联系:

表2:静电场与静磁场
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
场源 电荷 $q$ 电流 (运动的电荷) $I$
场源产生的场 $$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{ \,\mathrm{d}{q} }{R^2} \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} ~ $$ 不大严格地说,$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } $ 是由单个小电荷 $ \,\mathrm{d}{q} $ 产生的电场。 $$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2}~$$ 毕奥—萨伐尔定律;$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } $ 是由一小段电流 $I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} $ 产生的磁场。3
线性叠加原理 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{ \,\mathrm{d}{q} }{R^2} \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} ~ $$ 由于相应的方程是线性的,因此如果空间中有多个电荷,他们导致的总电场是各个电荷产生的电场的和。 $$ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2}~$$
散度方程 $$\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0}\int \rho \,\mathrm{d}{V} = \frac{Q}{\epsilon_0}~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~$$ 电场的高斯定律 $$\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~$$ 磁场的高斯定律
旋度方程 $$ \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~$$ 静电场的环路定理基尔霍夫第二定律 的一种表述。 $$\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \mu_0 \int \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } =\mu_0 I ~$$ $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~$$ 静磁场的环路定理(专业术语:安培环路定律)

   其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是场点,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是场源位置,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是场源指向场点的矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} $ 是相应的单位矢量。 $\epsilon_0$,$\mu_0$ 分别是 “真空介电常数” 与 “真空磁导率”(按照 griffiths 的说法,这两个常数的名称具有误导性,你只需要知道他们是两个常数就行)。

   为什么有了漂亮的 “场源产生的场”,还需要(微分形式的)散度与旋度方程?尽管二者可以互相 “推导”,但是散度与旋度方程仍具有(潜在的、理论意义上的)优势:

3. 电(标)势与磁矢势

   基于数学与物理意义上的考量,我们可以引入势的概念。有时使用势的概念,会比场更为简洁、深刻。

表3:电(标)势与磁矢势
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
$$\varphi~$$ 电势,标量函数 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$$ 磁矢势,矢量函数
势与场 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi~$$ $$ \varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~ $$ ($ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 是零势参考点,一般选取无穷远处势为 0,具体参考下文的“规范”) $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$
势的任意性,“规范 $$\varphi += \lambda~$$ $\lambda$ 是常数 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} += \boldsymbol\nabla \lambda~$$ $\lambda$ 是标量函数。基于此,$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的取值可被控制
场源导致的势 $$\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V} '~.$$ (假定无穷远处势为零) $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.$$ (假定取规范 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$)
势的方程 $$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}~$$ (假定无穷远处势为零) $$\nabla^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~$$ (取规范 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$)

势的定义

   引入势的数学考量是(详见 [1] 与 “矢量分析总结 ”):

   静电场和磁场天然分别满足这些条件,因此可以分别定义电势与磁势。

   物理上的考量参考 “电势、电势能 ”。

   从电场-电势的关系很容易看出,静电场其实只有一个自由度 $\varphi$,而非看起来的三个 $(E_x, E_y, E_z)$。

势的任意性

   由于电荷直接感受到的是场而不是势(见下"洛伦兹力"),所以只要能得到相同的场,势的取值具有一定的灵活性。例如,由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi$,即使势加上一个常数后,仍有 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla (\varphi+\lambda) = - \boldsymbol\nabla \varphi - \boldsymbol\nabla \lambda = - \boldsymbol\nabla \varphi$,即相应的电场也不会变化。因此,电势总可以相差一个常数而不改变 “实质性结果”。这就有点像我们做不定积分时,总会得到一个积分常数 $C$;或者对函数求导时,常数项不会改变导函数。 选取常数的方法称为 “规范”,根据相应的场合,我们会选取恰当的规范以简化计算。在静场中,我们一般令电势在无穷远处为零,并让磁势满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$。

势的方程

   将势的定义代入 Maxwell 方程组,并辅以数学技巧,就可以得到相应势的方程。例如对于电势4: $$ \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{E}} &= - \boldsymbol\nabla \varphi\\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0} ~. $$

   磁势也是同理,但是需要更巧妙地运用数学技巧 与规范,具体证明过程按惯例留给读者: $$ \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{B}} &= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} &= \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} &= 0\\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~. $$ 由于磁势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个矢量,所以磁势的方程其实包括三个标量方程(直角坐标系): $$ \nabla^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~ \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 A_x = -\mu_0 j_x\\ \boldsymbol{\nabla}^2 A_y = -\mu_0 j_y\\ \boldsymbol{\nabla}^2 A_z = -\mu_0 j_z\\ \end{aligned} \right. ~. $$

场源导致的势

   原则上,"场源导致的势"是相应势的方程的解,但这么做就慢了。根据电场的性质、势的定义、以及电势与积分路径无关的性质,就能轻松得到"电荷导致的势",这也是我们在高中和大物里了解的方法: $$\varphi = \int \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}~,$$ 并推广为连续形式 $$\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho}{R} \,\mathrm{d}{V} '~.$$ 根据磁势方程与电势的类似性,类比就能得到"电流导致的磁势"。如此操作避免了求解偏微分方程的困难。

图
图 2:源->势->场

4. 洛伦兹力

   一个点电荷在电磁场中的受力由洛伦兹力公式给出: $$ \boldsymbol{\mathbf{F}} = q ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~. $$ 注意该式中并不包含点电荷静止或匀速运动时自身产生的电磁场。但当点电荷做非匀速运动时会产生辐射(即电磁波),而这个辐射又会反过来作用在点电荷上面。从能量守恒的角度来说,电荷产生辐射损失了能量,所以动能必定会下降,所以它的辐射对自身的力整体上必然是一个阻力。不过在一般情况下,我们假定这个辐射的功率足够小,使得该效应可以忽略不计。

   对于连续分布的电荷,我们描述单位体积(“一小块”)电荷所受的洛伦兹力。相当于上式两边 “同除以” $ \,\mathrm{d}{V} $。 $$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }}{\mathrm{d}{V}} = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )=\rho \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.$$


1. ^ 有时,我们假定电流伴随着异号静止电荷,因此电流总体上不带静电荷,也不产生电场。
2. ^ 防杠声明:与电动力学紧密结合的狭义相对论告诉我们,这个表述是不严谨的
3. ^ 不同于静电场中可以任意摆放电荷,在静磁场中我们不能“任意摆放”电流,而必须使电流成环,或者延伸到无穷远处。假如设计的“电路”不成环,那么根据电荷守恒,区域内的电荷密度必定变化,从而不再是静场问题。这也是为什么这个公式实际上不能准确描述“单个运动电荷的磁场”。
4. ^ 为什么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的方程不见了?因为在引入电势概念时,我们已经用到了这个方程:任意标量函数的梯度的旋度始终为零:$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol\nabla \varphi) = 0$。


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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