电磁场的能量守恒 坡印廷矢量

             

预备知识 麦克斯韦方程组,电场的能量,磁场的能量

1. 结论

坡印廷矢量

   真空中电磁场的能流密度(即单位面积单位时间通过某个垂直的微小截面的能量)为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 就是坡印廷矢量.

例 1 平面电磁波的能流密度

   我们知道真空中的平面电磁波的电场和磁场方向垂直,所以二者叉乘的模长等于他们各自的模长相乘.叉乘的方向就是电磁波传播的方向.考虑到每个位置的磁场 $ \left\lvert B( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert = \left\lvert E( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \right\rvert /c$,再利用式 6

\begin{equation} s = \frac{1}{\mu_0 c} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2 = \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} \right\rvert ^2 \end{equation}
但注意在任意一点处,这个值是随时间以 $\sin^2$ 波动的,在波节处,能流密度为零,而在波峰处为最大,平均值等于 $1/2$.所以任意一点的平均能流密度为
\begin{equation} \left\langle s \right\rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 c \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{E}} _{max} \right\rvert ^2 \end{equation}

电磁场能量守恒积分形式

\begin{equation} \int_V \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{V} + \frac{\partial}{\partial{t}} \int_V \rho_E \,\mathrm{d}{V} + \oint_\Omega \boldsymbol{\mathbf{s}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{a}} } = 0 \end{equation}
选取任意的一个闭合曲面 $\Omega $,内部空间记为 $V$,以下三者之和为零.

  1. 电磁场对 $V$ 中所有电荷做功的功率
  2. $V$ 中电磁场能量增加的速率
  3. 以及通过曲面 $\Omega $ 流出的能量的速率

电磁场能量守恒微分形式

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{w}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}
空间中选取任意一点,以下三者之和为零.

  1. 电磁场对电荷的功率密度
  2. 电磁场能量密度增量
  3. 能流密度散度

2. 推导

   类比电流的连续性方程式 4 (即电荷守恒),若电磁场不对电荷做功,能量守恒可以写成

未完成:$\rho_E$ 的表达式引用一下
\begin{equation} \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}
的形式.其中 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 是电磁场的能流密度(也叫坡印廷矢量)(参考流密度).但若再考虑上电磁场对电荷做功,则还需要加上一项做功做功功率密度 $ \partial w/\partial t $,即单位时间单位体积电磁场对电荷做的功).
\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial \rho_E}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = 0 \end{equation}

   第一项中电磁场对电荷做功即广义洛伦兹力做功(功率密度)

\begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} = \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{equation}
假设电磁场的能量守恒式 7 成立,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \rho_E/\partial t - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $.等式右边只与场有关,所以应该把电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 用麦克斯韦方程组替换成场的表达式,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{equation}
代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial t} &= \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \right) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ &= \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{aligned} \end{equation}
式 7 第二项中,$\rho_E$ 是电场能量密度和磁场能量密度之和,即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) + (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\ &= (x \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial x} \end{aligned}\end{equation}
现在我们可以把式 10 式 11 代入式 7 中,求出 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} $.
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{aligned} \end{equation}
其中 $( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$,因为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} $(Gibbs 算子相关公式).代入得
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} &= - \frac{\partial w}{\partial t} - \frac{\partial \rho_E}{\partial t} \\ &= -\frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{E}} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{E}} - \frac{\partial}{\partial{t}} \left(\frac12 \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2 + \frac12 \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2}{\mu_0} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu_0} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} - \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{B}} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t $,代入得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left(\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{s}} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
这就是电磁场的能流密度.

   事实上,给 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} $ 再加上任意一个散度为零的场,式 14 都能满足,但为了简洁起见,一般写成式 15

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利