贡献者: addis; _Eden_
1. 定态薛定谔方程
1定态薛定谔方程就是能量算符即哈密顿算符的本征方程,本征值就是能量 。
由于哈密顿算符 是线性的,单从方程来看,把 乘一个任意复常数仍然是解。但由于 需要满足一定的归一化条件,所以 乘以相位因子 仍然是解。事实上任何测量量算符的本征函数都是如此。下面会看到 是一个实算符
2,所以它的
解 总可以取实值函数。
哈密顿算符对应粒子的总能量,总能量算符可以表示为动能算符和势能算符之和
2. 一维定态薛定谔方程
一维运动的单个质点,波函数是坐标 的函数
所以定态薛定谔方程为
初学者常用的势阱有:
无限深势阱,
有限深势阱,
简谐振子(升降算符)。读者可以结合这些具体的例子学习下文。
3. 束缚态
这是一个二阶线性常微分方程。数学上来看无论 是多少,必有两个线性无关的解(连接未完成),它们的线性组合也是解(二维解空间)。然而物理上可能存在的波函数必须要可归一化,即满足波函数和自身的内积 。对一维波函数来说,归一化条件为
一种判断归一化的方法是,波函数有界( 有最大值),且随着 , 在
极限 的过程中下降得比 要快
3。
可以证明只有对于某些离散的 我们才可能解出可以归一化的波函数,少数情况也可能无解。我们把每个 叫做能级(energy level),对应的波函数叫做束缚态(bound state)。可以证明所有的能级都处于区间
其中 是函数 的最小值(可以是负无穷), 表示 在 的两个极限中较小的一个(若极限不存在,则取正无穷或负无穷)。
大致的证明思路:当 太小时,波函数必定会在无穷远处爆炸(趋于无穷大),而当 太大时,波函数虽然不会爆炸但也不会趋于零。式 6 要求势能函数 中存在某种形状的凹陷,称为势阱(potential well)。
定理 1 束缚态存在性
对一维或二维的有限深势阱,如果各方向无穷远处势能相等,那么都至少有一个束缚态4。若不满足则未必存在束缚态。
三维或以上的有限深势阱也未必存在束缚态5。
一个不存在束缚态的一维势阱的例子见 “有限深不对称方势阱”,它不符合定理中 “各方向无穷远处势能相等” 的条件。另一个不存在束缚态的例子是一维氢原子 ,它不满足有限深(注意三维氢原子存在束缚态)。
定理 2 束缚态的正交归一条件
一维势阱的束缚态必定是正交的。正交归一条件可记为
其中 是
克罗内克 函数。
证明:直接对一维薛定谔方程应用施图姆—刘维尔定理即可。证毕。
4. 简并
束缚态能级的简并(degenerate)是指一个能量本征值 对应多个线性无关解的束缚态。一个能量最多有几个线性无关的束缚态,那就说该能级有多少重简并(degeneracy)。这和线性代数的厄米矩阵本征值问题中的 “简并” 用法类似。
由施图姆—刘维尔定理可知一维束缚态不存在简并。
定理 3 束缚态的节点数
把束缚态按照能量从低到高排序,从基态(能量最低的束缚态)开始令 (注意使用 也很常见),那么束缚态 有 个根6,也可以把它们叫做节点数。
证明同样通过施图姆—刘维尔定理。
5. 散射态
当式 6 中的极限 存在且 时,虽然波函数必定不满足归一化,但它们仍然有重要的应用。我们把它们叫做散射态(scattering states)。计算散射态时,通常我们要求两个极限 都存在。这样在满足无穷远处 的方向,波函数在无穷远处将会接近于平面波。
由于散射态不要求像束缚态那样归一化,一维散射态总是存在双重简并,因为对同一个 定态薛定谔方程作为二阶微分方程总有两个线性无关的解。
散射态最简单的例子是自由粒子()的散射态,即平面波 。对于同一个 , 取一对相反数 就是两个不同的散射态。
由于散射态不能用 的方式归一化,它们并不是物理的,即粒子不能处于某个散射态。然而散射态的线性组合却可能满足归一化。这里指的是无穷多个散射态的线性组合,求和变为积分:
其中 代表可以被归一化的波包, 和 代表能量 的两个线性无关的散射态。
容易看出对于自由粒子,该积分就是反傅里叶变换,用换元积分法把积分变量改为 ,用第一个积分表示 ,第二个表示 。例如自由粒子()的高斯波包 就可以看作由平面波线性叠加而来,即反傅里叶变换。
某种意义上,给定一个势能函数,所有的束缚态和散射态可以构成一组完备的正交归一的函数基底,可以展开所有可归一化的波函数。展开系数的计算方法和傅里叶变换类似。散射态有特殊的正交归一化条件,这需要用到较为复杂的数学工具,我们留到 “一维散射态的正交归一化” 介绍。
6. 波函数的对称性
对任意维薛定谔方程,若哈密顿算符和宇称算符 对易,则它们具有一组共同的本征波函数,其中每个都具有奇宇称或者偶宇称。
一维束缚态
若一维定态薛定谔方程中势能函数是偶函数,则束缚态必定是奇函数或偶函数,这是因为,一维势能的束缚态都是非简并的,唯一的一组能量本征矢必定就是共同本征矢。根据施图姆—刘维尔定理,随着能级递增,波函数的零点数也递增,所以奇函数和偶函数束缚态会交错出现。这是因为奇函数必有奇数个零点而偶函数必有偶数个零点。
一维散射态
若一维定态薛定谔方程中势能函数是偶函数,则束缚态必定是奇函数或偶函数,散射态可以取奇函数或偶函数。射态都具有二重简并,对于给定的 ,两个线性无关解的任意线性组合也都是解。
下面说明散射态波函数总可以取奇函数和偶函数,即
这是因为,对于一个给定的 如果 满足一维定态薛定谔方程,且既不是奇函数又不是偶函数,那么由于 是偶函数, 也一定满足方程。这样一来,它们的线性组合 也满足。 是奇函数或偶函数,我们可以将它们设作二重简并子空间的两个正交基底,其他 总是可以由它们展开。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 实算符这里指其把实值函数映射到实值函数,虚值函数映射到虚值函数。
3. ^ 这是因为积分 ()收敛当且仅当 。
4. ^ 一维证明参考 [1] 的第九章。另见 [JOURNAL OF MATHEMATICAL PHYS VOL39,NUM 9, 1998] On the number of bound states for the one-dimensional Schrodinger equation
5. ^ 详见 [2] 45 节。
6. ^ 对无限深方势阱这样的极端情况,势阱两侧的根不包含在这 个根中。
[1] ^ Gerald Teschl. Mathematical Methods in Quantum Mechanics
[2] ^ 朗道. 理论物理教程 第三卷 量子力学(非相对论理论) 第六版
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