量子简谐振子(升降算符法)
贡献者: JierPeter; coppersoulfate; addis
量子简谐振子的能级为
基态波函数为
其中具有长度量纲的常数 为
以下使用升降算符法解出能级和基态,总结其中的关键步骤为:令升降算符为
满足
那么哈密顿算符为
其中 为量子数算符
1. 详细推导(升降算符法)
在经典的简谐振子模型中,若质点沿 轴方向振动,且在 处平衡,则势能函数 。由于自由振动的频率为 ,所以势能可记为
我们直接把这个势能代入薛定谔方程,即考虑的哈密顿算符为
定态薛定谔方程(能量的本征方程)为
通常解这个方程需要使用幂级数,但我们可以先利用升降算符来得到能量的本征值,再求本征函数。
寻找升降算符
形式上 ,其中 。如果 是数字,那么有 ;然而实际上它们都是算符,所以有:
容易证明,算符 的对易关系为:
把
式 12 代回
式 11 易得
由
式 1 ,显然 是 的升降算符,能把 的本征态的本征值改变 。
给 乘上适当的系数,我们就能得到 的升降算符,它们分别可以把本征值升降 :
根据式 1 ,对任意一个 的本征函数 ,有
根据
子节 2 给出的 “可对角化算符具有升降算符的充要条件”,简谐振子的定态薛定谔方程的解中,哈密顿算符 的本征值 取离散值,且相邻两个能级相差 。
由于 之间为线性关系,推断其有共同的本征态,记为 .则 的本征方程(后面再推断 为非负整数)
从而
由于
和
从而
则 为 的本征态,其本征值为 ,则 ,记为
归一化得到
上式即 ,从而
同理
对任一态用多次降算符有
若 n 可以取非整数值 ,则取 可以得到 的负本征值态 ;然而由于要求本征值 ,可以判断不存在这样的态。从而本征值 取非负整数,即基态能量 .
未完成:谐振子有基态的理由不充分。考虑引入粒子数算符来解释?
类似于
无限深势阱,谐振子也应该有一个最低能级 和对应的 。所以 必然对 无效,即得到的波函数没有物理意义,所以不妨猜测
即
这是一阶齐次线性微分方程,通解为
其中 具有长度量纲。不难验证上式是定态薛定谔方程
式 10 的解,本征值为 。
归一化条件
本小节的目的是证明 , 。
而 。所以
所以
推导谐振子的能量本征态
首先考虑能量基态,记为 ,其在位置表象的波函数为 。记位置算子的本征矢量为 ,其波函数为 。
注意,如果态 在位置表象下的波函数为 ,则 。
设 是升降算符,则
由于 ,故式 30 可以视为 满足的微分方程,即 对应的波函数是 :
式 31 归一化的解为
考虑到 ,同样可以用 求得
以此类推,可求得所有能量本征态的波函数,只需要对基态波函数不断使用升算符和归一化系数:
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