量子简谐振子(升降算符法)

                     

贡献者: JierPeter; coppersoulfate; addis

  • 本文需要更多讲解,便于帮助理解。
预备知识 简谐振子,升降算符

   量子简谐振子的能级为

(1)En=(n+12)ω .
基态波函数为
(2)ψ0(x)=1π1/4β1/2e(x/β)2/2 .
其中具有长度量纲的常数 β
(3)β=mω .

   以下使用升降算符法解出能级和基态,总结其中的关键步骤为:令升降算符为

(4)a^±=12mω(mωxip) ,
满足
(5)a+ψn=n+1ψn+1 ,aψn=nψn1 ,
那么哈密顿算符为
(6)H=ω(n^+12) ,
其中 n^ 为量子数算符
(7)n^=a+a .

1. 详细推导(升降算符法)

   在经典的简谐振子模型中,若质点沿 x 轴方向振动,且在 x=0 处平衡,则势能函数 V(x)=kx2/2。由于自由振动的频率为 ω=k/m,所以势能可记为

(8)V(x)=12mω2x2 .

   我们直接把这个势能代入薛定谔方程,即考虑的哈密顿算符为

(9)H=p22m+V=p22m+12mω2x2=12m[p2+(mωx)2] .
定态薛定谔方程(能量的本征方程)为
(10)Hψ=Eψ .

   通常解这个方程需要使用幂级数,但我们可以先利用升降算符来得到能量的本征值,再求本征函数。

寻找升降算符

   形式上 H=A2x2+B2p2,其中 A2=mω2/2,B2=1/2m。如果 H,x,p数字,那么有 H=(Ap+iBx)(ApiBx);然而实际上它们都是算符,所以有:

(11)(Ax+iBp)(AxiBp)=HiAB[x,p]=H+AB .
容易证明,算符 (Ax±iBp) 的对易关系为:
(12)[(Ax+iBp),(Ax+iBp)]=2AB .
式 12 代回式 11 易得
(13)[H,(Ax±iBp)=[H+AB,(Ax±iBp)]=2AB((Ax±iBp)) .
式 1 ,显然 (Ap±iBx)H 的升降算符,能把 H 的本征态的本征值改变 2AB=ω

   给 (Ax±iBp) 乘上适当的系数,我们就能得到 H 的升降算符,它们分别可以把本征值升降 ω

(14)a^±=12mω(mωxip),ΔE=±ω .

   根据式 1 ,对任意一个 H 的本征函数 ψn,有

(15)H(a±ψn)=(En±ω)(a±ψn) .
根据子节 2 给出的 “可对角化算符具有升降算符的充要条件”,简谐振子的定态薛定谔方程的解中,哈密顿算符 H 的本征值 En 取离散值,且相邻两个能级相差 ΔE=ω

   由于 H,n^ 之间为线性关系,推断其有共同的本征态,记为 ψn.则 n^ 的本征方程(后面再推断 n 为非负整数)

(16)n^ψn=nψn .
从而
(17)Hψn=ω(n+12)ψn .
由于
(18)[N,a]=[a+a,a]=a+[a,a]+[a+,a]a=a ,
(19)[N,a+]=a+ ,
从而
(20)n^aψn=(n1)aψn ,
aψnn^ 的本征态,其本征值为 n1,则 aψnψn1,记为
(21)aψn=cψn1 .
归一化得到
(22)ψna+aψndx=|c|2 .
上式即 n=|c|20,从而
(23)aψn=nψn1 ,
同理
(24)a+ψn=n+1ψn+1 .
对任一态用多次降算符有
(25)akψn=n(n1)...(nk)ψnk .
若 n 可以取非整数值 n,则取 k>n 可以得到 n^ 的负本征值态 ψnk;然而由于要求本征值 n=|c|20,可以判断不存在这样的态。从而本征值 n 取非负整数,即基态能量 E0=12ω.

  

未完成:谐振子有基态的理由不充分。考虑引入粒子数算符来解释?
类似于无限深势阱,谐振子也应该有一个最低能级 E0 和对应的 ψ0(x)。所以 a 必然对 ψ0 无效,即得到的波函数没有物理意义,所以不妨猜测 aψ0=0
(26)(mωx+ip)ψ0=0ddxψ0=mωxψ0 .
这是一阶齐次线性微分方程,通解为
(27)ψ0(x)=1π1/4βe(x/β)2/2 ,
其中 β=/mω 具有长度量纲。不难验证上式是定态薛定谔方程式 10 的解,本征值为 E0=ω/2

归一化条件

   本小节的目的是证明 ψn+1=a+ψn/n+1ψn1=aψn/n

(28)A2ψn|a+a+|ψn=(a+ψn)(a+ψn)dx=(a+a+ψn)(ψn)dx=(aa+ψn)(ψn)dx ,
aa+ψn=Hψn/(ω)+ψn/2=(n+1)ψn。所以
(29)A2=(n+1)ψnψndx=n+1A=n+1 .
所以 ψn+1=a+ψn/n+1 .

推导谐振子的能量本征态

   首先考虑能量基态,记为 |0,其在位置表象的波函数为 ψ0(x)。记位置算子的本征矢量为 |x0,其波函数为 δ(xx0)

   注意,如果态 |s 在位置表象下的波函数为 ψ(x),则 x|s=ψ(x)

   设 a± 是升降算符,则

(30)a|0=0x|a|0=0 .

   由于 a12mω(mωx+ip),故式 30 可以视为 |0 满足的微分方程,即 a|0 对应的波函数是 0

(31)(mωx+ddx)ψ0(x)=0 .
式 31 归一化的解为
(32)ψ0(x)=(1π1/4x0)exp(12mωx2) .

   考虑到 a+|n=n+1|n+1,同样可以用 ψn(x)=x|n 求得

(33)ψ1(x)=x|1=x|a+|0=(mω2)(xmωddx)x|0 .

   以此类推,可求得所有能量本征态的波函数,只需要对基态波函数不断使用升算符和归一化系数:

(34)ψn=a+n!ψ0 .


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