厄米矩阵的本征问题

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　厄米矩阵，矩阵的本征方程，正交子空间

　　本文将 “对称矩阵的本征值问题” 拓展到厄米矩阵，结论和过程都相似。我们来证明 $N$ 维厄米矩阵 $H$ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $v_{1}, \dots, v_{N}$ 。

未完成：需要把以下结论用定理的形式列出来

定理 1　

　　 $N$ 为厄米矩阵的本征向量和本征值具有以下性质

本征值为实数
本征值不同的本征矢正交
存在一组本征矢构成的正交归一基底

　　从正交子空间的角度来转述 2,3 条就是：所有本征子空间（子节 1 ） $V_{1} \dots V_{N}$ 互补且两两正交，即

\begin{matrix} (1) & V_{i} ⊥ V_{j} (i, j = 1, \dots, N, i \neq j) \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & V_{1} \oplus V_{2} \oplus \dots \oplus V_{N} = V . \end{matrix}

未完成：对角线加上常数则本征值也加上相同常数，本征矢不变。

图 1：厄米矩阵本征方程解集的结构：图中箭头代表一维子特正空间（非简并），三角形代表多维子空间（简并）

1. 证明

本征值为实数

　　本征方程为

\begin{matrix} (3) & H v_{i} = λ_{i} v_{i} . \end{matrix}

将本征方程左边乘以

v_{i}^{†}

得

\begin{matrix} (4) & v_{i}^{†} H v_{i} = λ_{i} v_{i}^{†} v_{i} . \end{matrix}

将等式两边取厄米共轭（注意矢量也可以看成矩阵），由式 3 和式 2 可得

\begin{matrix} (5) & v_{i}^{†} H^{†} v_{i} = v_{i}^{†} H v_{i} = λ_{i}^{*} v_{i}^{†} v_{i} . \end{matrix}

对比两式，得

λ_{i} = λ_{i}^{*}

，所以

λ_{i}

必为实数。

本征矢的正交性

　　下面来证明不同本征值对应的本征矢正交，即

\begin{matrix} (6) & v_{i}^{†} v_{j} = 0 (a_{i} \neq a_{j}) . \end{matrix}

首先令

\begin{matrix} (7) & s = v_{i}^{†} (H v_{j}) = v_{i}^{†} (λ_{j} v_{j}) = λ_{j} v_{i}^{†} v_{j} . \end{matrix}

使用矩阵乘法结合律式 22 以及式 3 得

\begin{matrix} (8) & s = (H v_{i})^{†} v_{j} = λ_{i}^{*} v_{i}^{†} v_{j} = λ_{i} v_{i}^{†} v_{j} . \end{matrix}

以上两式相减得

\begin{matrix} (9) & (λ_{j} - λ_{i}) v_{i}^{†} v_{j} = 0, \end{matrix}

因为

λ_{i} \neq λ_{j}

，所以

v_{i}^{†} v_{j} = 0

。

2. 对角化

未完成：把 “相似变换和相似矩阵” 中的内容搬运过来。

3. 简并

　　在 “矩阵的本征方程” 中，我们定义若令 $λ_{i}$ 的本征矢空间的维数是 $n_{i}$ ，当 $n_{i} = 1$ ，我们说 $λ_{i}$ 是非简并（non-degenerate）的，当 $n_{i} > 1$ 就说 $λ_{i}$ 是 $n_{i}$ 重简并（degenerate）的，把 $n_{i}$ 叫做简并数（degeneracy）。

　　根据式 6 ，对于厄米矩阵，所有不同的 $λ_{i}$ 对应的本征子空间是两两正交的，且 $\sum_{i} n_{i} = N$ ，所以所有这些子空间的直和就是 $A$ 的定义域空间，即他们互为正交补。

未完成：如何证明

\sum_{i} n_{i} = N

呢？估计要证明

m

重跟可以使得行稀疏矩阵的秩为

N - m

。

4. 完备正交基底

　　对任意的 $N$ 维厄米矩阵 $H$ 都能得到由本征矢构成的 $N$ 个正交归一基底。

如果不存在简并，这组基底是唯一的，且它们的本征值各不相同。
如果存在简并，每个子空间中可以选出 $n_{i}$ 个正交归一基底，将他们放在一起就得到总空间中的 $N$ 个正交归一基底。注意每个简并子空间中的正交归一基底的选取都是任意的。

未完成：举一个综合的例子，包含简并的

5. 块对角厄米矩阵的本征问题

　　特殊地，如果厄米矩阵 $H$ 是一个块对角矩阵，且每个对角块 $H_{i}$ 都是方阵，那么只需要分别求解每个块的本征矢矩阵 $P_{i}$ ，再按顺序拼成块对角矩阵就是 $H$ 的本征矢矩阵。若每个 $P_{i}$ 的本征值对角矩阵为 $Λ_{i}$ ，那么按顺序拼接后得到 $H$ 的本征值对角矩阵。

　　证明：若 $H$ 从左上到右下的对角块分别为 $H_{1}, H_{2}, \dots$ ，令 $H_{i}$ 的列本征矢矩阵为 $P_{i}$ ，本征值的对角矩阵为 $Λ_{i}$ ，那么有 $H_{i} P_{i} = P_{i} Λ_{i}$ 。考虑到两个块对角矩阵相乘就是每个对角块分别相乘，就有 $H P = P Λ$ 。

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