厄米矩阵的本征问题

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 厄米矩阵,矩阵的本征方程,正交子空间

   本词条将 “对称矩阵的本征值问题” 拓展到厄米矩阵,结论和过程都相似.我们来证明 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$.

未完成:需要把以下结论用定理的形式列出来

定理 1 

   厄米矩阵的本征问题具有以下两个性质

  1. 本征值为实数
  2. 本征值不同的本征矢正交
  3. 存在本征矢构成的正交归一基底

   从正交子空间的角度来转述 2,3 条就是:所有本征子空间 $V_1 \dots V_N$ 两两正交且互补,即

\begin{equation} V_i\bot V_j \qquad (i, j = 1,\dots, N, i \ne j) \end{equation}
\begin{equation} V_1\oplus V_2 \oplus\dots \oplus V_N = V \end{equation}

1. 证明

本征值为实数

   本征方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
将等式两边取厄米共轭(注意矢量也可以看成矩阵),由式 3 式 2 可得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
对比两式,得 $\lambda_i = \lambda_i^*$,所以 $\lambda_i$ 必为实数.

本征矢的正交性

   下面来证明不同本征值对应的本征矢正交,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0 \qquad (a_i \ne a_j) \end{equation}
首先令
\begin{equation} s = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger (\lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = \lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j \end{equation}
使用矩阵乘法结合律式 18 以及式 3
\begin{equation} s = ( \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j \end{equation}
以上两式相减得
\begin{equation} (\lambda_j - \lambda_i) \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0 \end{equation}
因为 $\lambda_i \ne \lambda_j$,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0$.

2. 简并

   在 “矩阵的本征方程” 中,我们定义若令 $\lambda_i$ 的本征矢空间的维数是 $n_i$,当 $n_i = 1$,我们说 $\lambda_i$ 是非简并(non-degenerate)的,当 $n_i > 1$ 就说 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重简并(degenerate)的,把 $n_i$ 叫做简并数(degeneracy)

   根据式 6 ,对于厄米矩阵,所有不同的 $\lambda_i$ 对应的本征矢子空间是两两正交的,且 $\sum_i n_i = N$,所以所有这些子空间的直和就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义域空间,即他们互为正交补

未完成:如何证明 $\sum_i n_i = N$ 呢?估计要证明 $m$ 重跟可以使得行稀疏矩阵的秩为 $N-m$.

3. 完备正交基底

   对任意的 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 都能得到由本征矢构成的 $N$ 个正交归一基底.

  

未完成:举一个综合的例子,包含简并的

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