厄米矩阵的本征问题

                     

贡献者： addis

　　 本文将 “对称矩阵的本征值问题” 拓展到厄米矩阵，结论和过程都相似。我们来证明 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$。

　　 从正交子空间的角度来转述 2,3 条就是：所有本征子空间（子节 1 ）$V_1 \dots V_N$ 互补且两两正交，即

　　

1. 证明

本征值为实数

　　 本征方程为

将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger $ 得 将等式两边取厄米共轭（注意矢量也可以看成矩阵），由式 3 和式 2 可得 对比两式，得 $\lambda_i = \lambda_i^*$，所以 $\lambda_i$ 必为实数。

本征矢的正交性

　　 下面来证明不同本征值对应的本征矢正交，即

首先令 使用矩阵乘法结合律式 22 以及式 3 得 以上两式相减得 因为 $\lambda_i \ne \lambda_j$，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0$。

2. 对角化

　　

3. 简并

　　 在 “矩阵的本征方程” 中，我们定义若令 $\lambda_i$ 的本征矢空间的维数是 $n_i$，当 $n_i = 1$，我们说 $\lambda_i$ 是非简并（non-degenerate）的，当 $n_i > 1$ 就说 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重简并（degenerate）的，把 $n_i$ 叫做简并数（degeneracy）。

　　 根据式 6 ，对于厄米矩阵，所有不同的 $\lambda_i$ 对应的本征子空间是两两正交的，且 $\sum_i n_i = N$，所以所有这些子空间的直和就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义域空间，即他们互为正交补。

4. 完备正交基底

　　 对任意的 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 都能得到由本征矢构成的 $N$ 个正交归一基底。

• 如果不存在简并，这组基底是唯一的，且它们的本征值各不相同。
• 如果存在简并，每个子空间中可以选出 $n_i$ 个正交归一基底，将他们放在一起就得到总空间中的 $N$ 个正交归一基底。注意每个简并子空间中的正交归一基底的选取都是任意的。

　　

5. 块对角厄米矩阵的本征问题

　　 特殊地，如果厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 是一个块对角矩阵，且每个对角块 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 都是方阵，那么只需要分别求解每个块的本征矢矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$，再按顺序拼成块对角矩阵就是 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的本征矢矩阵。若每个 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$ 的本征值对角矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$，那么按顺序拼接后得到 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的本征值对角矩阵。

　　 证明：若 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 从左上到右下的对角块分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _1, \boldsymbol{\mathbf{H}} _2, \dots$，令 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 的列本征矢矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$，本征值的对角矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$，那么有 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \boldsymbol{\mathbf{P}} _i \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$。考虑到两个块对角矩阵相乘就是每个对角块分别相乘，就有 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $。