厄米矩阵的本征问题

                     

贡献者: addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 厄米矩阵,矩阵的本征方程,正交子空间

   本文将 “对称矩阵的本征值问题” 拓展到厄米矩阵,结论和过程都相似。我们来证明 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$。

未完成:需要把以下结论用定理的形式列出来

定理 1 

   $N$ 为厄米矩阵的本征向量和本征值具有以下性质

  1. 本征值为实数
  2. 本征值不同的本征矢正交
  3. 存在一组本征矢构成的正交归一基底

   从正交子空间的角度来转述 2,3 条就是:所有本征子空间(子节 1 )$V_1 \dots V_N$ 互补且两两正交,即

\begin{equation} V_i\bot V_j \qquad (i, j = 1,\dots, N, i \ne j)~ \end{equation}
\begin{equation} V_1\oplus V_2 \oplus\dots \oplus V_N = V~. \end{equation}

  

未完成:对角线加上常数则本征值也加上相同常数,本征矢不变。

图
图 1:厄米矩阵本征方程解集的结构:图中箭头代表一维子特正空间(非简并),三角形代表多维子空间(简并)

1. 证明

本征值为实数

   本征方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~. \end{equation}
将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger $ 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~. \end{equation}
将等式两边取厄米共轭(注意矢量也可以看成矩阵),由式 3 式 2 可得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i~. \end{equation}
对比两式,得 $\lambda_i = \lambda_i^*$,所以 $\lambda_i$ 必为实数。

本征矢的正交性

   下面来证明不同本征值对应的本征矢正交,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0 \qquad (a_i \ne a_j)~. \end{equation}
首先令
\begin{equation} s = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger (\lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _j) = \lambda_j \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j~. \end{equation}
使用矩阵乘法结合律式 22 以及式 3
\begin{equation} s = ( \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j~. \end{equation}
以上两式相减得
\begin{equation} (\lambda_j - \lambda_i) \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0~, \end{equation}
因为 $\lambda_i \ne \lambda_j$,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _j = 0$。

2. 对角化

  

未完成:把 “相似变换和相似矩阵” 中的内容搬运过来。

3. 简并

   在 “矩阵的本征方程” 中,我们定义若令 $\lambda_i$ 的本征矢空间的维数是 $n_i$,当 $n_i = 1$,我们说 $\lambda_i$ 是非简并(non-degenerate)的,当 $n_i > 1$ 就说 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重简并(degenerate)的,把 $n_i$ 叫做简并数(degeneracy)

   根据式 6 ,对于厄米矩阵,所有不同的 $\lambda_i$ 对应的本征子空间是两两正交的,且 $\sum_i n_i = N$,所以所有这些子空间的直和就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义域空间,即他们互为正交补

未完成:如何证明 $\sum_i n_i = N$ 呢?估计要证明 $m$ 重跟可以使得行稀疏矩阵的秩为 $N-m$。

4. 完备正交基底

   对任意的 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 都能得到由本征矢构成的 $N$ 个正交归一基底。

  

未完成:举一个综合的例子,包含简并的

5. 块对角厄米矩阵的本征问题

   特殊地,如果厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 是一个块对角矩阵,且每个对角块 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 都是方阵,那么只需要分别求解每个块的本征矢矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$,再按顺序拼成块对角矩阵就是 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的本征矢矩阵。若每个 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$ 的本征值对角矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$,那么按顺序拼接后得到 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的本征值对角矩阵。

   证明:若 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 从左上到右下的对角块分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _1, \boldsymbol{\mathbf{H}} _2, \dots$,令 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i$ 的列本征矢矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} _i$,本征值的对角矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$,那么有 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} _i \boldsymbol{\mathbf{P}} _i = \boldsymbol{\mathbf{P}} _i \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} _i$。考虑到两个块对角矩阵相乘就是每个对角块分别相乘,就有 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} \boldsymbol{\mathbf{\Lambda}} $。


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