贡献者: addis; _Eden_
1本文使用原子单位制。一维定态薛定谔方程式 4 为
图 1:有限深方势阱
令势能函数为
该势能叫做
有限深势阱(finite square well)。
有限深势阱既包含连续的本征态(散射态),一定包含有限个离散的束缚态(证明见下文)。有限深势阱是研究一维散射问题的一个简单模型。在这个问题中,束缚态的 ,散射态的 。
1. 束缚态
对于束缚态,,而且 。这可以用反证法来证明:如果 ,那么由定态薛定谔方程 就会得出 和它的二次导数符号相同,这种情况下波函数是不可归一化的。因此我们有 。
由于 是对称的,所以不失一般性,我们假设波函数是奇函数或偶函数来简化问题(式 9 )。令
第 1,3 区间的通解为(在这个区间上 )
为了让无穷远处波函可归一化,所以
第 2 区间的通解为(在这个区间上 )
奇波函数
当波函数为奇函数时,易得 即 ,且 。再考虑 处波函数及一阶导数连续有
其中可以把 看成未知量,决定 , 也是未知量。两式相除得
这是一个超越方程,可能存在解。解出后再次代入
式 7 可以求得比值 。归一化即可确定 。现在我们尝试从图像上考察它可能的解。
利用 式 3 的关系,将 用 表示,可以得到
设 ,我们可以在同一坐标系中绘制 和 的图像(,表征了势阱 “大小”),两个图像的每一个交汇点都对应着一个奇函数解。图 2 显示了 的情况,可以看到两个图像共有 个交点。
图 2:方程 的解, 的情况(奇态)
对于宽深势阱( 很大),两个图像一定有交。特别是当 时,交汇点的位置都可以近似为 ( 为正整数)。我们将在下面讨论偶波函数的时候具体分析这种情况。对于浅窄势阱,值得注意的是,当 时无解,这可以从图像中看出。但此时仍有偶函数解,也就意味着至少存在一个束缚态。这将在后面进行讨论。
偶波函数
当波函数为奇函数时,易得 即 ,且 。与奇函数的情况同理得
相除得
利用
式 3 的关系,将 用 表示,可以得到
设 ,我们可以在同一坐标系中绘制 和 的图像(,表征了势阱 “大小”),两个图像的每一个交汇点都对应着一个偶函数解。
图 3 显示了 的情况,可以看到两个图像共有 个交点。
图 3:方程 的解, 的情况(偶态)
现在来考虑两种情况:
1. 宽深势阱。即 非常大。那么由图像可观察出,交汇点在略小于 ( 为奇数)的位置。所以有
当 时,有限深势阱转化为无限深势阱,上式右侧刚好是一维无限深势阱的能级(只包括了其中的一半,因为 是奇数。另一半来自于奇函数)。当 有限时,仅有有限多个束缚态。
2. 浅窄势阱。当 降低时,束缚态越来越少,直到最后当 时,仅存在一个束缚态。但无论势阱多么 “浅小”,总是至少存在一个束缚态,这可以由图像看出。
2. 散射态
散射态的计算只需要把 “方势垒” 中 的情况下取 即可,这里不再赘述。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 以及 [1]。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed
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