一维有限深方势阱

                     

贡献者: addis; _Eden_

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预备知识 定态薛定谔方程

  1本文使用原子单位制。一维定态薛定谔方程式 4

(1)12md2dx2ψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x) .

图
图 1:有限深方势阱

   令势能函数为

(2)V(x)={V0(L/2xL/2)0(其他) ,
该势能叫做有限深势阱(finite square well)

   有限深势阱既包含连续的本征态(散射态),一定包含有限个离散的束缚态(证明见下文)。有限深势阱是研究一维散射问题的一个简单模型。在这个问题中,束缚态的 E<0,散射态的 E>0

1. 束缚态

   对于束缚态,E<0,而且 E>Vmin=V0。这可以用反证法来证明:如果 E<Vmin,那么由定态薛定谔方程 d2ψdx2=2m[V(x)E]ψ 就会得出 ψ 和它的二次导数符号相同,这种情况下波函数是不可归一化的。因此我们有 V0<E<0

   由于 V(x) 是对称的,所以不失一般性,我们假设波函数是奇函数或偶函数来简化问题(式 9 )。令

(3)κ=2mE,k=2m(E+V0) .
第 1,3 区间的通解为(在这个区间上 V(x)>E
(4)ψ(x)=C1eκx+C2eκx .
为了让无穷远处波函可归一化,所以
(5)ψ1(x)=Aeκx,ψ3(x)=Deκx .
第 2 区间的通解为(在这个区间上 V(x)<E
(6)ψ2(x)=Bcos(kx)+Csin(kx) .

奇波函数

   当波函数为奇函数时,易得 ψ(0)=0B=0,且 A=D。再考虑 x=L/2 处波函数及一阶导数连续有

(7)Csin(kL/2)=Dexp(κL/2) ,kCcos(kL/2)=κDexp(κL/2) .
其中可以把 E 看成未知量,决定 κ,kC,D 也是未知量。两式相除得
(8)cot(kL/2)=κ/k .
这是一个超越方程,可能存在解。解出后再次代入式 7 可以求得比值 D/C。归一化即可确定 C,D。现在我们尝试从图像上考察它可能的解。

   利用 式 3 的关系,将 κk 表示,可以得到

(9)cot(kL/2)=2mV0/k21 .

   设 z=kL/2,我们可以在同一坐标系中绘制 cot(z)(z0/z)21 的图像(z0=L2mV0/2,表征了势阱 “大小”),两个图像的每一个交汇点都对应着一个奇函数解。图 2 显示了 z0=7 的情况,可以看到两个图像共有 2 个交点。

图
图 2:方程 cotz=(z0/z)21 的解,z0=7 的情况(奇态)

   对于宽深势阱(z0=L2mV0/2 很大),两个图像一定有交。特别是当 z0 时,交汇点的位置都可以近似为 nπn 为正整数)。我们将在下面讨论偶波函数的时候具体分析这种情况。对于浅窄势阱,值得注意的是,当 z0<π/2 时无解,这可以从图像中看出。但此时仍有偶函数解,也就意味着至少存在一个束缚态。这将在后面进行讨论。

偶波函数

   当波函数为奇函数时,易得 ψ(0)=0C=0,且 A=D。与奇函数的情况同理得

(10)Bcos(kL/2)=Dexp(κL/2) ,kBsin(kL/2)=κDexp(κL/2) .
相除得
(11)tan(kL/2)=κ/k .
利用 式 3 的关系,将 κk 表示,可以得到

(12)tan(kL/2)=2mV0/k21 .
z=kL/2,我们可以在同一坐标系中绘制 tan(z)(z0/z)21 的图像(z0=L2mV0/2,表征了势阱 “大小”),两个图像的每一个交汇点都对应着一个偶函数解。图 3 显示了 z0=7 的情况,可以看到两个图像共有 3 个交点。

图
图 3:方程 tanz=(z0/z)21 的解,z0=7 的情况(偶态)

   现在来考虑两种情况:

   1. 宽深势阱。z0=L2mV0/2 非常大。那么由图像可观察出,交汇点在略小于 zn=nπ/2n 为奇数)的位置。所以有

(13)En+V0π22mL2n2(n=1,3,5) .

   当 V0 时,有限深势阱转化为无限深势阱,上式右侧刚好是一维无限深势阱的能级(只包括了其中的一半,因为 n 是奇数。另一半来自于奇函数)。当 V0 有限时,仅有有限多个束缚态。

   2. 浅窄势阱。z0 降低时,束缚态越来越少,直到最后当 z0<π/2 时,仅存在一个束缚态。但无论势阱多么 “浅小”,总是至少存在一个束缚态,这可以由图像看出。

2. 散射态

   散射态的计算只需要把 “方势垒” 中 E>V0 的情况下取 V0<0 即可,这里不再赘述。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 以及 [1]


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed

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