无限深方势阱

贡献者： addis

预备知识　量子力学的基本原理（科普），定态薛定谔方程，二阶常系数齐次微分方程

　　无限深势阱通常被作为量子力学中定态薛定谔方程的第一个例子。这是因为它具有非常简单的解析解。薛定谔方程具有解析解的情况屈指可数，其中无限深势阱和简谐振子要数在之后的教学中最常出现的例子了。

　　只考察质量为 $m$ 的粒子沿 $x$ 方向的运动情况。势能函数为

\begin{matrix} (1) & V (x) = {\begin{cases} 0 & (0 ⩽ x ⩽ a) \\ + \infty & (x < 0 或 x > a) . \end{cases} \end{matrix}

图 1：无限深势阱

　　在经典力学中，这对应的情景就是一个弹性小球在两面无限硬度的墙之间的运动（无摩擦）。为了更好地把经典力学和量子力学的物理图像对应起来，我们可以假设粒子的初始波函数是势阱内一个带有初速度的波包，在势阱内部来回反弹。但从更量子力学的角度来说，我们应该先看看它的能量本征态（也就是束缚态），毕竟求解波包运动的第一步就是求解后者。

1. 束缚态

　　定态薛定谔方程为

\begin{matrix} (2) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) + V (x) ψ (x) = E ψ (x) . \end{matrix}

　　这里先直接给出结论，证明见文末。无限深势阱没有散射态¹，但有无穷个非简并束缚态。也就是说式 2 有无穷个解（记为 $ψ_{n} (x)$ ），且对应的能量本征值 $E$ 各不相同（如果同一个 $E$ 对应多个线性无关解，就叫做简并），记为 $E_{n}$ 。

\begin{matrix} (3) & E_{n} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}} n^{2} (n = 1, 2, 3 \dots) . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & ψ_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{n π}{a} x) . \end{matrix}

　　一些教材中也会把势阱中间作为坐标原点，这相当于把这里的势能 $V (x)$ 和所有 $ψ_{n} (x)$ 都向左移动 $a / 2$ 。能级仍然保持不变，波函数变为（为了简洁适当乘以 $- 1$ ，物理意义不变）

\begin{matrix} (5) & ψ_{n} (x) = {\begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{n π}{a} x) (偶数 n) \\ \sqrt{\frac{2}{a}} \cos (\frac{n π}{a} x) (奇数 n), \end{aligned} \end{matrix}

图 2：基态波函数，注意第

n

个函数中间有

n - 1

个节点。

　　事实上我们可以通过函数平移的方法把势阱移动到任何位置。

　　把波函数用式 4 的基底展开，是三角傅里叶级数的一个变形（详见式 19 ），注意虽然看上去少了 $\cos$ 基底，但它的确是完备的。

未完成：束缚态的意义，复习一下

2. 推导

　　先考虑势阱内部（ $0 ⩽ x ⩽ a$ ， $V = 0$ ），方程变为

\begin{matrix} (6) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ (x) = E ψ (x), \end{matrix}

这是二阶常系数齐次微分方程。通解为

\begin{matrix} (7) & ψ (x) = C_{1} \cos (k x) + C_{2} \sin (k x), k = \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ} . \end{matrix}

通解也可以写成指数函数

ψ (x) = C e^{i k x}

，加上边界条件后得到的束缚态一样。

　　现在讨论边界条件：在有限深势阱束缚态中将会看到，如果势阱外部势能是有限值，波函数将会按照指数函数衰减，势能越高衰减得越快。而现在势阱外部势能为无穷大，就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零。所以边界条件为

\begin{matrix} (8) & ψ (0) = 0, ψ (a) = 0 . \end{matrix}

这两个条件代入以上通解中，解得

\begin{matrix} (9) & C_{2} = 0, k = \frac{n π}{a} (n = 1, 2, 3 \dots) . \end{matrix}

　　 $C_{1}$ 的取值暂时不能确定，但先将通解写为 $ψ (x) = C \sin (\frac{n π}{a} x)$ ，常数 $C$ 就可以通过波函数的归一化来确定：

\begin{matrix} (10) & 1 = \int_{- \infty}^{+ \infty} {| ψ (x) |}^{2} d x = \int_{- a}^{+ a} {| C \sin (\frac{n π}{a} x) |}^{2} d x = {| C |}^{2} \frac{a}{2} . \end{matrix}

严格来说，

C

可以是复数，解为

C = \sqrt{2 / a} e^{i θ}

。但是为了方便通常把归一化常数中的相位因子

e^{i θ}

默认为

1

。所以归一化的波函数为

\begin{matrix} (11) & ψ (x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{n π}{a} x) . \end{matrix}

另外，由

\begin{matrix} (12) & \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ} = k = \frac{n π}{a}, \end{matrix}

可以得出能级是离散的结论。即

\begin{matrix} (13) & E_{n} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m a^{2}} n^{2} (n = 1, 2, 3 \dots) . \end{matrix}

1. ^ 这是因为散射态的能量只能取 $E > V (\pm \infty)$ 。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。