无限深方势阱

贡献者： addis

预备知识　定态薛定谔方程，二阶常系数齐次微分方程

　　只考察质量为 $m$ 的粒子沿 $x$ 方向的运动情况。势能函数为

\begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 \quad &(0 \leqslant x \leqslant a)\\ +\infty &(x < 0 \ \text{或}\ x > a) \end{cases} \end{equation}

图 1：无限深势阱

　　求解定态薛定谔方程

\begin{equation} -\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \end{equation}

1. 结论

　　第 $n$ 个能级为（$n = 1,2,3\dots$）

\begin{equation} E_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2m a^2} n^2 \end{equation}

对应的能量本征波函数为

\begin{equation} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi }{a} x\right) \end{equation}

　　一些教材中也会把势阱中间作为坐标原点，这相当于把这里的势能 $V(x)$ 和所有 $\psi_n(x)$ 都向左移动 $a/2$。能级仍然保持不变，波函数变为（为了简洁适当乘以 $-1$，物理意义不变）

\begin{equation} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \left\{\begin{aligned} \sin\left(n\pi x/a\right) \qquad (\text{偶数 } n)\\ \cos\left(n\pi x/a\right) \qquad (\text{奇数 } n) \end{aligned}\right. \end{equation}

事实上我们可以通过平移的方法把势阱移动到任何位置。

　　把波函数用式 4 的基底展开，是三角傅里叶级数的一个变形（详见式 19 ），虽然看上去少了 $\cos$ 基底，但它的确是完备的。

2. 推导

　　先考虑势阱内部（$0 \leqslant x \leqslant a$，$V = 0$），方程变为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{x}^{2}} \psi(x) = E\psi(x) \end{equation}

这是二阶常系数齐次微分方程。通解为

\begin{equation} \psi(x) = C_1 \cos\left(kx\right) + C_2 \sin\left(kx\right) \qquad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \end{equation}

其中

　　（通解也可以写成指数函数 $C \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx}$，加上边界条件后的结论一样）现在讨论边界条件：在有限深势阱束缚态中将会看到，如果势阱外部势能是有限值，波函数将会按照指数函数衰减，势能越高衰减得越快。而现在势阱外部势能为无穷大，就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零。所以边界条件为

\begin{equation} \psi(0) = 0, \quad \psi(a) = 0~. \end{equation}

这两个条件代入以上通解中，解得

\begin{equation} C_2 = 0, \quad k = \frac{n\pi}{a} \ \ (n = 1,2,3\dots)~. \end{equation}

　　 $C_1$ 的取值暂时不能确定，但先将通解写为 $\psi(x) = C \sin\left(\frac{n\pi }{a}x\right) $，常数 $C$ 就可以通过波函数的归一化来确定：

\begin{equation} 1 = \int_{-\infty }^{+\infty } \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \int_{-a}^{+a} \left\lvert C \sin\left(\frac{n\pi }{a} x\right) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} = \left\lvert C \right\rvert ^2 \frac{a}{2}~. \end{equation}

严格来说，$C$ 可以是复数，解为 $C = \sqrt{2/a} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$。但是为了方便通常把归一化常数中的相位因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \theta}$ 默认为 $1$。所以归一化的波函数为

\begin{equation} \psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi }{a}x\right) ~. \end{equation}

另外，由

\begin{equation} \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} = k = \frac{n\pi }{a} \end{equation}

可以得出能级是离散的结论。即

\begin{equation} E_n = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m a^2} n^2 \quad (n = 1,2,3\dots)~. \end{equation}

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