无限深方势阱

                     

贡献者: addis

预备知识 量子力学的基本原理(科普),定态薛定谔方程二阶常系数齐次微分方程

   无限深势阱通常被作为量子力学中定态薛定谔方程的第一个例子。这是因为它具有非常简单的解析解。薛定谔方程具有解析解的情况屈指可数,其中无限深势阱和简谐振子要数在之后的教学中最常出现的例子了。

   只考察质量为 m 的粒子沿 x 方向的运动情况。势能函数为

(1)V(x)={0(0xa)+(x<0  x>a) .

图
图 1:无限深势阱

   在经典力学中,这对应的情景就是一个弹性小球在两面无限硬度的墙之间的运动(无摩擦)。为了更好地把经典力学和量子力学的物理图像对应起来,我们可以假设粒子的初始波函数是势阱内一个带有初速度的波包,在势阱内部来回反弹。但从更量子力学的角度来说,我们应该先看看它的能量本征态(也就是束缚态),毕竟求解波包运动的第一步就是求解后者。

1. 束缚态

   定态薛定谔方程

(2)22md2dx2ψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x) .

   这里先直接给出结论,证明见文末。无限深势阱没有散射态1,但有无穷个非简并束缚态。也就是说式 2 有无穷个解(记为 ψn(x)),且对应的能量本征值 E 各不相同(如果同一个 E 对应多个线性无关解,就叫做简并),记为 En

(3)En=π222ma2n2(n=1,2,3) .
(4)ψn(x)=2asin(nπax) .

   一些教材中也会把势阱中间作为坐标原点,这相当于把这里的势能 V(x) 和所有 ψn(x) 都向左移动 a/2。能级仍然保持不变,波函数变为(为了简洁适当乘以 1,物理意义不变)

(5)ψn(x)={2asin(nπax)(偶数 n)2acos(nπax)(奇数 n) ,

图
图 2:基态波函数,注意第 n 个函数中间有 n1 个节点

   事实上我们可以通过函数平移的方法把势阱移动到任何位置。

   把波函数用式 4 的基底展开,是三角傅里叶级数的一个变形(详见式 19 ),注意虽然看上去少了 cos 基底,但它的确是完备的。

  

未完成:束缚态的意义,复习一下

2. 推导

   先考虑势阱内部(0xaV=0),方程变为

(6)22md2dx2ψ(x)=Eψ(x) ,
这是二阶常系数齐次微分方程。通解为
(7)ψ(x)=C1cos(kx)+C2sin(kx) ,k=2mE .
通解也可以写成指数函数 ψ(x)=Ceikx,加上边界条件后得到的束缚态一样。

   现在讨论边界条件:在有限深势阱束缚态中将会看到,如果势阱外部势能是有限值,波函数将会按照指数函数衰减,势能越高衰减得越快。而现在势阱外部势能为无穷大,就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零。所以边界条件为

(8)ψ(0)=0,ψ(a)=0 .
这两个条件代入以上通解中,解得
(9)C2=0,k=nπa(n=1,2,3) .

   C1 的取值暂时不能确定,但先将通解写为 ψ(x)=Csin(nπax),常数 C 就可以通过波函数的归一化来确定:

(10)1=+|ψ(x)|2dx=a+a|Csin(nπax)|2dx=|C|2a2 .
严格来说,C 可以是复数,解为 C=2/aeiθ。但是为了方便通常把归一化常数中的相位因子 eiθ 默认为 1。所以归一化的波函数为
(11)ψ(x)=2asin(nπax) .
另外,由
(12)2mE=k=nπa ,
可以得出能级是离散的结论。即
(13)En=π222ma2n2(n=1,2,3) .


1. ^ 这是因为散射态的能量只能取 E>V(±)


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