贡献者: addis
无限深势阱通常被作为量子力学中定态薛定谔方程的第一个例子。这是因为它具有非常简单的解析解。薛定谔方程具有解析解的情况屈指可数,其中无限深势阱和简谐振子要数在之后的教学中最常出现的例子了。
只考察质量为
在经典力学中,这对应的情景就是一个弹性小球在两面无限硬度的墙之间的运动(无摩擦)。为了更好地把经典力学和量子力学的物理图像对应起来,我们可以假设粒子的初始波函数是势阱内一个带有初速度的波包,在势阱内部来回反弹。但从更量子力学的角度来说,我们应该先看看它的能量本征态(也就是束缚态),毕竟求解波包运动的第一步就是求解后者。
这里先直接给出结论,证明见文末。无限深势阱没有散射态1,但有无穷个非简并束缚态。也就是说式 2 有无穷个解(记为
一些教材中也会把势阱中间作为坐标原点,这相当于把这里的势能
事实上我们可以通过函数平移的方法把势阱移动到任何位置。
把波函数用式 4 的基底展开,是三角傅里叶级数的一个变形(详见式 19 ),注意虽然看上去少了
先考虑势阱内部(
现在讨论边界条件:在有限深势阱束缚态中将会看到,如果势阱外部势能是有限值,波函数将会按照指数函数衰减,势能越高衰减得越快。而现在势阱外部势能为无穷大,就可以直接认为波函数在势阱外部始终为零。所以边界条件为
1. ^ 这是因为散射态的能量只能取
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