对易厄米算符与共同本征矢

             

预备知识 厄米矩阵,本征矢的简并

1. 对易与交换子

   本文讨论 $N = 2, \dots$ 维矢量空间 $X$ 上的任意两个厄米算符 $A: X \to X$ 和 $A: X \to X$.当我们在 $X$ 中确定一组正交归一基底后,它们可以分别表示为 $N \times N$ 的厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $.

   我们知道一般来说两个矩阵(线性算符)的乘法不满足交换律 $AB = BA$,即不对易(non-commutative),但也存在满足交换律的特殊算符对,即对易的(commutative)

   定义算符 $A,B$ 的对易子(commutator)

\begin{equation} [A, B] = AB - BA \end{equation}
那么对易可以表示为 $[A,B] = 0$,反之 $[A,B]\ne 0$.

定理 1 

   有限维矢量空间 $V$ 中两个厄米算符 $A$ 和 $B$,以下两个命题互为充分必要条件

  1. $A,B$ 对易($[A,B] = 0$).
  2. $V$ 中存在一组正交归一基底,同时是 $A, B$ 的本征矢.

   我们可以分为简并和非简并的情况讨论.当 $A$ 和 $B$ 的本征问题都不存在简并,那么这组共同正交归一基底是唯一的.若简并,$A$ 的每个本征子空间内,都能找到 $B$ 本征矢构成的正交归一基底.

未完成:本征子空间需要链接

2. 证明条件 $2 \to 1$

   设算符 $A$ 和 $B$ 有一组共同的本征矢 $v_i$, 则它们同时满足 $A$ 和 $B$ 的本征方程

\begin{equation} \begin{cases} A v_i = a_i v_i\\ B v_i = b_i v_i \end{cases} \end{equation}
对任何 $v_i$, 都有
\begin{equation} A (B v_i) = A (b_i v_i) = b_iA v_i = a_i b_i v_i \end{equation}
\begin{equation} B (A v_i) = B (a_i v_i) = a_i B v_i = a_i b_i v_i \end{equation}
所以 $AB v_i = BA v_i$ 即
\begin{equation} [{A},{B}] = AB - BA = 0 \end{equation}
即两算符对易.证毕.

3. 证明条件 $1 \to 2$

   要证明 $1 \to 2$, 只需证明 $A$ 的一套本征矢都满足 $B$ 的本征方程即可.

算符 $A$ 非简并情况($B$ 是否简并没关系)

   先解出算符 $A$ 的本征方程 $A v_i = a_i v_i$, 如果 $A$ 算符不发生简并(见本征矢的简并 )那么本征值各不相同,且给定一个本征值 $a_i$ 其解只可能是 $v_i$ 或者 $v_i$ 乘以一个任意复常数(注释:其实也可以再相乘一个算符 $A$ 不涉及的物理量的函数,例如总能量算符 $H$ 的本征矢还可以再成一个时间因子 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t}$).

   因为算符对易,有

\begin{equation} A (B v_i) = B (A v_i) = a_i (B v_i) \end{equation}
把式中的 $B v_i$ 看成一个新的波函数,上式说明 $B v_i$ 是算符 $A$ 和本征值 $a_i$ 的另一个本征矢.根据以上分析,$B v_i$ 必定是 $v_i$ 乘以某个复常数(命名为 $b_i$),即
\begin{equation} B v_i = b_i v_i \end{equation}
而这正是 $B$ 的本征方程(而 $B$ 也是厄米矩阵,所以作为本征值 $b_i$ 的数域从复数缩小到实数).证毕.

算符 $A$ 简并情况

   假设算符 $A$ 的所有本征值为 $a_i$(各不相同),任意一个 $a_i$ 有 $n_i$ 重简并.若 $n_i = 1$, 对应唯一一个 $v_i$, 那么根据上文对非简并情况的推理,$v_i$ 就已经是 $B$ 的本征矢了.若 $n_i > 1$, 存在一个 $n_i$ 维希尔伯特子空间,里面任何一个函数都是 $a_i$ 对应的本征矢,所以要在子空间中寻找共同本征矢,只需在子空间中寻找 $B$ 的本征矢即可.令 $\phi_i$ 为本征值为 $a_i$ 的子空间中的任意函数,利用对易关系

\begin{equation} A (B \phi_i) = B (A \phi_i) = a_i (B \phi_i) \end{equation}
这条式子说明 $B \phi_i$ 是 $A$ 和 $a_i$ 的一个本征矢,即 $B \phi_i$ 仍然在 $a_i$ 的简并子空间中.所以 $B$ 对子空间来说是一个闭合的厄米算符,所以必有 $N$ 个线性无关的本征矢.证毕.

   以下的内容应该归到厄米算符里面讲(厄米算符在希尔伯特空间中是无穷维的矩阵,但是如果一个厄米算符在一个子空间中闭合,那么就可以通过以下方法找到 N 个线性无关的本征矢.先在空间中任意选取 $n_i$ 个线性无关的正交本征矢 $v_{i1}, v_{i2}\dots v_{i n_i}$ 作为子空间的基底(本征矢的简并)),并可以用基底 $v_{i1}, v_{i2}\dots v_{i n_i}$ 展开.

   令 $B v_{ij} = \sum_{k=1}^{n_i} W_{jk}v_{ik}$($W_{jk} = \left\langle v_{ij} \right\rvert B \left\lvert v_{ik} \right\rangle $,可以是复数),则 $B$ 在该子空间可以表示成一个 $n_i$ 维的方形矩阵(记为 $W$).

   以 $v_{i1}, v_{i2} \dots v_{i n_i}$ 为子空间的基底,子空间内任意函数 $\phi = x_1 v_{i1} + x_2 v_{i2}\dots$ 可以记为 $ \left\lvert \phi \right\rangle = (x_1, x_2, \dots, x_{n_i}) ^{\mathrm{T}} $.根据算符的矩阵表示 ,$B$ 在子空间的矩阵元就是系数 $W_{jk}$,

\begin{equation} W = \begin{pmatrix} W_{11} & \ldots & W_{1 n_i}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ W_{n_i 1} & \ldots & W_{n_i n_i} \end{pmatrix} \end{equation}
所以 $B$ 在子空间范围内的本征方程的矩阵形式就是
\begin{equation} W \left\lvert \phi_k \right\rangle = b_{ik} \left\lvert \phi_k \right\rangle \end{equation}
所以 $B$ 在子空间的本征值就是 $W$ 的本征值,本征矢就是 $W$ 的本征矢对应的波函数.

   最后要证明的就是 $W$ 矩阵必然存在 $n_i$ 个本征矢.由于 $B$ 是厄米算符, $W$ 必然是厄米矩阵,而 $n_i$ 维的厄米矩阵必然存在 $n_i$ 个两两正交的复数本征矢和实数本征值(厄米接矩阵).

   综上所述,对每一个 $n_i$ 重简并的 $a_i$, 都存在 $n_i$ 个两两正交的本征矢作为 $A$, $B$ 算符的共同本征矢.证毕.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利