施图姆—刘维尔理论

                     

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　　 施图姆—刘维尔定理（Sturm–Liouville theorem） 简称施—刘定理或 S-L 定理。提供了一种找到一类正交函数集，使得能将一个函数展开为这一类正交函数集所构成的级数的方法。

　　 根据 S-L 方程的形式，有一简单推论：对于一般的二阶常微分方程的本征值问题，都可以规约到 S-L 方程。

　　 S-L 问题根据边界条件分为 “正则的” 与 “奇异的” 两类，下面分别讨论这两类。

1. 正则 S-L 问题

　　 规定在 $[a, b]$ 上，$p(x)$、$p'(x)$、$q(x)$、$w(x)$ 都是连续（实值）函数，在 $[a, b]$ 上总有 $p(x) > 0, w(x)> 0$。限制边界条件为：

其中，$\lambda$ 是方程中的任意常数，而不是给定常数。边界条件的四个常数 $\alpha_a, \alpha_b, \beta_a, \beta_b$ 也都是独立的。要求 $\alpha_a, \beta_a$ 不全为 $0$、$\alpha_b, \beta_b$ 不全为 $0$。

　　 不难发现总有平凡解 $y=0$。

　　 正则 S-L 问题有以下性质：

1. 每个本征值对应一个本征函数（及其常数倍）；
2. 不同本征值对应的本征函数线性无关；
3. 存在无穷多个本征值 $\{\lambda_i\}$，且这集合无上界；
4. 本征函数集合关于权函数 $w(x)$ 在 $[a,b]$ 上正交。即对于每两本征函数 $f \neq g$，总有 $\int_a^b w(x)f(x)g(x) \,\mathrm{d}{x} = 0$。

　　 下面证明第四条性质（也是 S-L 问题最重要的性质）： 考虑对于任意两组本征值与对应的解 $(\lambda_i, y_i=y_i(x))$ 与 $(\lambda_j, y_j=y_j(x))$，应满足式 1 ：

为了化简，可以考虑抵消 $q(x)$ 项，将上式乘以 $y_j$、下式乘以 $y_i$ 后相减可得： $w(x)y_i(x) y_j(x)$ 在 $[a, b]$ 上积分，考虑 IBP（分部积分）： 考虑到约束条件式 2 中 $\alpha_a, \beta_a$ 不全为 $0$、$\alpha_b, \beta_b$ 不全为 $0$，这要求行列式： 类似的，在 $x=a$ 也满足。故可以得到式 5 的值为 $0$，而 $\lambda_i \neq \lambda_j$，故积分值为 $0$，两解关于权函数 $w(x)$ 在 $[a, b]$ 上正交。

2. 奇异 S-L 问题

　　 此时约定权函数 $w(x)$ 在边界处，即 $w(a)$ 或 $w(b)$ 可以等于 $0$。

　　 观察式 5 ，发现正交条件还可以要求 $w(a) = 0$ 或 $w(b) = 0$ 且后面的值（行列式）不为 $+\infty$。故仅需要解有界即可仍满足正交条件。

3. 例子

　　 下面从一经典例子入手分析 S-L 问题。

　　 解：首先把这 S-L 问题化为式 1 的标准形式： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} (1 \cdot \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ) + (0 + 1 \cdot \lambda) y = 0~.$$ 限定条件：$ 1\cdot y(0) + 0 \cdot y'(0) = 0$、$1 \cdot y(L) + 0 \cdot y'(L) = 0$。 考虑到 $\lambda$ 是任意常数，其符号会影响这微分方程的解，对其分类。

　　 i) 当 $\lambda = 0$ 时。方程仅有平凡解 $y = 0$。

　　 ii) 当 $\lambda < 0$ 时。此时通解为 $y = C_1 \cos\left(\sqrt{\lambda} x\right) + C_2 \sin\left(\sqrt{\lambda} x\right) $ 即 $y= C_1 \cosh\left(\sqrt{-\lambda} x\right) + C_2 \sinh\left(\sqrt{-\lambda} x\right) $。考虑到 $y(0)=0$ 故 $C_1 = 0$，代入 $y(L) = 0$ 可得：$C_2 \sinh\left(\sqrt{-\lambda} L\right) = 0$，故对于非平凡解 $y \not \equiv 0$，即 $C_2 \neq 0$，$ \sinh\left(\sqrt{-\lambda} L\right) = 0$。但在 $L>0$ 时，$\sqrt{-\lambda} > 0$，此时 $ \sinh\left(\sqrt{-\lambda} L\right) > 0$，故无非平凡解。

　　 iii) $\lambda > 0$ 时。此时通解为 $y = C_1 \cos\left(\sqrt{\lambda} x\right) + C_2 \sin\left(\sqrt{\lambda} L\right) $。类似的可以得到对于非平凡解要求 $ \sin\left(\sqrt \lambda L\right) = 0$，故 $\lambda = k^2 \pi^2/L^2$, $k \in \mathbb Z$。对应各 $y = C \sin\left(x k\pi/L\right) $。

4. 正则 S-L 问题的零点数量

　　 S-L 问题的本征值 $\lambda_k$ 可从小到大排序为 $\lambda_1 < \lambda_2 < \dots$，此时 $\lambda_n$ 对应的本征函数 $y_n(x)$ 在范围 $[a, b]$ 内总有 $n-1$ 个零点。（有时从 $\lambda_0$ 开始排序，则对应有 $n$ 个零点。）

　　 证明过程较为繁琐，可见正则 S-L 边值问题本征函数零点数量的证明。