矢量算符

贡献者： addis

预备知识　叉乘，偏微分算符

1. 标量函数与矢量函数

　　我们先区分两种函数，第一种是普通的多元函数 $f (x, y, z)$ ，也叫标量函数，即自变量 $x, y, z$ 是实数，函数值也是实数¹。另一种是矢量函数，一般用粗体加以区分（手写的时候在上方加箭头），如 $f (x, y, z)$ ，即函数值是一个 3 维矢量²。矢量函数也可以记为三个分量的形式

\begin{matrix} (1) & f (x, y, z) = f_{x} (x, y, z) \hat{x} + f_{y} (x, y, z) \hat{y} + f_{z} (x, y, z) \hat{z} . \end{matrix}

2. 矢量算符

　　定义三维的矢量算符（vector operator）为（也叫 nabla 或 del 算符）

\begin{matrix} (2) & \nabla = \hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z} . \end{matrix}

\nabla

作用在标量函数

f (x, y, z)

上的结果称为函数的梯度，是一个矢量函数

\begin{matrix} (3) & \nabla f (x, y, z) = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{z}, \end{matrix}

这可以类比矢量与标量的乘法。

　　 $\nabla$ 与矢量函数 $f (x, y, z)$ 的作用通常有两种定义，第一是 “点乘”，结果称为函数的散度（divergence），是一个标量函数

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \nabla \cdot f (x, y, z) & = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\hat{x} f_{x} + \hat{y} f_{y} + \hat{z} f_{z}) \\ = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z}, \end{aligned} \end{matrix}

可以类比两个矢量的点乘（内积）。

　　另一种情况是 “叉乘”，结果称为函数的旋度（curl），是一个矢量函数

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \nabla \times f (x, y, z) & = (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \times (\hat{x} f_{x} + \hat{y} f_{y} + \hat{z} f_{z}) \\ = | \begin{array}{c} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ f_{x} & f_{y} & f_{z} \end{array} | \\ = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \hat{x} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \hat{y} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{z}, \end{aligned} \end{matrix}

可以类比两个矢量的叉乘。

　　另见拉普拉斯算符。

1. ^ 一些情况下也可以是复数
2. ^ 一些情况下也可以是 $N = 1, 2, \dots$ 维

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