矢量算符

             

预备知识 叉乘,偏微分算符

1. 标量函数与矢量函数

   我们先区分两种函数,第一种是普通的多元函数 $f(x, y, z)$,也叫标量函数,即自变量 $x, y, z$ 是实数,函数值也是实数1.另一种是矢量函数,一般用粗体加以区分(手写的时候在上方加箭头),如 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$,即函数值是一个 3 维矢量2.矢量函数也可以记为三个分量的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) = f_x(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + f_y(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + f_z(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

2. 矢量算符

   定义三维的矢量算符(vector operator)为(也叫 nabla 或 del 算符)

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \end{equation}
$ \boldsymbol{\nabla} $ 作用在标量函数 $f(x, y, z)$ 上的结果称为函数的梯度,是一个矢量函数
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} f(x, y, z) = \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
这可以类比矢量与标量的乘法.

   $ \boldsymbol{\nabla} $ 与矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$ 的作用通常有两种定义,第一是 “点乘”,结果称为函数的散度(divergence),是一个标量函数

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\cdot \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \end{aligned} \end{equation}
可以类比两个矢量的点乘(内积)

   另一种情况是 “叉乘”,结果称为函数的旋度(curl),是一个矢量函数

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\times \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\ &= \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\f_x & f_y & f_z\end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
可以类比两个矢量的叉乘

   另见拉普拉斯算符


1. ^ 一些情况下也可以是复数
2. ^ 一些情况下也可以是 $N = 1, 2, \dots$ 维

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