位置表象和动量表象

贡献者： addis

预备知识　薛定谔方程，傅里叶变换与矢量空间

　　本文使用原子单位制。量子力学常见的薛定谔方程使用的是位置表象（position representation）的波函数，即波函数是位置和时间的函数。先来看一维的情况：

\begin{matrix} (1) & - \frac{1}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ (x, t) + V (x, t) ψ (x, t) = i \frac{\partial}{\partial t} ψ (x, t), \end{matrix}

下面要讨论另一种等效的波函数和薛定谔方程叫动量表象（momentum representation）。在 “傅里叶变换与矢量空间” 中，我们提到可以把函数也就是这里的波函数

| ψ ⟩

看作某个无穷维空间中的矢量，在正交归一的狄拉克

δ

函数基底以及平面波基底上的展开系数（即坐标）。

　　在位置表象中，狄拉克 $δ$ 函数 $δ (x - x_{0})$ 是位置算符 $\hat{x}$ 的本征函数，而 $\exp (i k x) / \sqrt{2 π}$ 是动量算符 $\hat{p}$ 的本征函数。若使用 $δ (x - x_{0})$ 函数基底展开波函数 $ψ (x, t)$ ，系数同样为 $ψ (x, t)$ 。若使用 $\exp (i k x) / \sqrt{2 π}$ 基底展开态矢，坐标记为 $φ (k, t)$

\begin{matrix} (2) & ψ (x, t) = F^{- 1} [φ (k, t)] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (k, t) e^{i k x} d k, \end{matrix}

那么我们就使用了动量表象，

φ (k, t)

就是动量表象下的波函数。式中

F^{- 1}

表示反傅里叶变换。即动量表象的波函数是位置表象波函数的傅里叶变换

\begin{matrix} (3) & φ (k, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ (x, t) e^{- i k x} d x = F [ψ (x, t)] . \end{matrix}

　　可以证明，如果 $V (x, t)$ 可以表示为关于 $x$ 的幂级数，那么动量表象的薛定谔方程为

\begin{matrix} (4) & \frac{k^{2}}{2 m} φ (k, t) + V (i \frac{\partial}{\partial k}, t) φ (k, t) = i \frac{\partial}{\partial t} φ (k, t) . \end{matrix}

这和式 1 是等效的。

未完成：什么样的函数可以展开为幂级数？除了泰勒展开。例如方势垒可以吗？

　　从直接构造哈密顿算符的角度来理解，表象无关的薛定谔方程为

\begin{matrix} (5) & \hat{H} | ψ ⟩ = (\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (\hat{x}, t)) | ψ ⟩ = i \frac{\partial}{\partial t} | ψ ⟩ . \end{matrix}

而动量表象中

\hat{p} = p

，

\hat{x} = i \partial / \partial k

（未完成：为什么？），代入即可。

未完成：例子

　　式 4 中的势能项也可以记为卷积的形式，动量表象薛定谔方程变为一个积分—微分方程

\begin{matrix} (6) & \frac{k^{2}}{2 m} φ (k, t) + \int_{- \infty}^{+ \infty} V (k - k^{'}, t) φ (k^{'}, t) d k^{'} = i \frac{\partial}{\partial t} φ (k, t) . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (7) & V (k, t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} V (x, t) e^{- i k x} d x, \end{matrix}

是势能函数关于

x

的傅里叶变换。

　　类似地，动量表象得三维薛定谔方程为

\begin{matrix} (8) & \frac{k^{2}}{2 m} φ (k, t) + V (i \nabla_{k}) φ (k, t) = i \frac{\partial}{\partial t} φ (k, t) . \end{matrix}

或者

\begin{matrix} (9) & \frac{k^{2}}{2 m} φ (k, t) + \int V (k - k^{'}, t) φ (k^{'}, t) d^{3} k^{'} = i \frac{\partial}{\partial t} φ (k, t), \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (10) & V (k, t) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int V (r, t) e^{- i k \cdot r} d^{3} r \end{matrix}

是三维势能函数

V (r, t)

的三维傅里叶变换。

1. 证明

　　要证明位置表象和动量表象的一维薛定谔（式 1 和式 4 ）等效，式 2 代入式 1 得

\begin{matrix} (11) & \frac{1}{2 m} {(- i \frac{\partial}{\partial x})}^{2} F^{- 1} [φ (k, t)] + V (x, t) F^{- 1} [φ (k, t)] = i \frac{\partial}{\partial t} F^{- 1} [φ (k, t)] . \end{matrix}

对第一项使用式 22 （令

g_{1} (k) = k^{2} / 2 m

，

g_{2} (k) = φ (k, t)

），第二项使用式 21 （令

f_{1} (x) = V (x, t)

，

g_{2} (k) = φ (k, t)

，然后两边取反傅里叶变换），等式右边的时间偏导可以移到方括号内，得

\begin{matrix} (12) & F^{- 1} [\frac{k^{2}}{2 m} φ (k, t)] + F^{- 1} [V (i \frac{\partial}{\partial k}, t) φ (k, t)] = F^{- 1} [i \frac{\partial}{\partial t} φ (k, t)], \end{matrix}

两边取反傅里叶变换就得到式 4 。证毕。

　　事实上，对微分方程要求解的函数做傅里叶变换是解微分方程的常用技巧。

　　要证明式 6 ，可以在以上推导中不对式 11 的势能项做处理，最后变为

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} F [V (x, t) F^{- 1} [φ (k, t)]] \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} V (x, t) [\int_{- \infty}^{+ \infty} φ (k^{'}, t) \frac{e^{i k^{'} x}}{\sqrt{2 π}} d k^{'}] \frac{e^{- i k x}}{\sqrt{2 π}} d x \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (k^{'}, t) [\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} V (x, t) e^{- i (k - k^{'}) x} d x] d k^{'} \\ = \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (k^{'}, t) V (k - k^{'}) d k^{'} . \end{aligned} \end{matrix}

这就得到了式 6 ，证毕。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。