位置表象和动量表象

                     

贡献者: addis

预备知识 薛定谔方程,傅里叶变换与矢量空间

   本文使用原子单位制。量子力学常见的薛定谔方程使用的是位置表象(position representation)的波函数,即波函数是位置和时间的函数。先来看一维的情况:

(1)12m2x2ψ(x,t)+V(x,t)ψ(x,t)=itψ(x,t) ,
下面要讨论另一种等效的波函数和薛定谔方程叫动量表象(momentum representation)。在 “傅里叶变换与矢量空间” 中,我们提到可以把函数也就是这里的波函数 |ψ 看作某个无穷维空间中的矢量,在正交归一的狄拉克 δ 函数基底以及平面波基底上的展开系数(即坐标)。

   在位置表象中,狄拉克 δ 函数 δ(xx0) 是位置算符 x^ 的本征函数,而 exp(ikx)/2π 是动量算符 p^ 的本征函数。若使用 δ(xx0) 函数基底展开波函数 ψ(x,t),系数同样为 ψ(x,t)。若使用 exp(ikx)/2π 基底展开态矢,坐标记为 φ(k,t)

(2)ψ(x,t)=F1[φ(k,t)]=12π+φ(k,t)eikxdk ,
那么我们就使用了动量表象,φ(k,t) 就是动量表象下的波函数。式中 F1 表示反傅里叶变换。即动量表象的波函数是位置表象波函数的傅里叶变换
(3)φ(k,t)=12π+ψ(x,t)eikxdx=F[ψ(x,t)] .

   可以证明,如果 V(x,t) 可以表示为关于 x幂级数,那么动量表象的薛定谔方程

(4)k22mφ(k,t)+V(ik,t)φ(k,t)=itφ(k,t) .
这和式 1 是等效的。
未完成:什么样的函数可以展开为幂级数?除了泰勒展开。例如方势垒可以吗?

   从直接构造哈密顿算符的角度来理解,表象无关的薛定谔方程为

(5)H^|ψ=(p^22m+V(x^,t))|ψ=it|ψ .
而动量表象中 p^=px^=i/k(未完成:为什么?),代入即可。
未完成:例子

   式 4 中的势能项也可以记为卷积的形式,动量表象薛定谔方程变为一个积分—微分方程

(6)k22mφ(k,t)++V(kk,t)φ(k,t)dk=itφ(k,t) .
其中
(7)V(k,t)=12π+V(x,t)eikxdx ,
是势能函数关于 x 的傅里叶变换。

   类似地,动量表象得三维薛定谔方程为

(8)k22mφ(k,t)+V(ik)φ(k,t)=itφ(k,t) .
或者
(9)k22mφ(k,t)+V(kk,t)φ(k,t)d3k=itφ(k,t) ,
其中
(10)V(k,t)=1(2π)3V(r,t)eikrd3r 
是三维势能函数 V(r,t) 的三维傅里叶变换。

1. 证明

   要证明位置表象和动量表象的一维薛定谔(式 1 式 4 )等效,式 2 代入式 1

(11)12m(ix)2F1[φ(k,t)]+V(x,t)F1[φ(k,t)]=itF1[φ(k,t)] .
对第一项使用式 22 (令 g1(k)=k2/2mg2(k)=φ(k,t)),第二项使用式 21 (令 f1(x)=V(x,t)g2(k)=φ(k,t),然后两边取反傅里叶变换),等式右边的时间偏导可以移到方括号内,得
(12)F1[k22mφ(k,t)]+F1[V(ik,t)φ(k,t)]=F1[itφ(k,t)] ,
两边取反傅里叶变换就得到式 4 。证毕。

   事实上,对微分方程要求解的函数做傅里叶变换是解微分方程的常用技巧。

   要证明式 6 ,可以在以上推导中不对式 11 的势能项做处理,最后变为

(13)F[V(x,t)F1[φ(k,t)]]=+V(x,t)[+φ(k,t)eikx2πdk]eikx2πdx=+φ(k,t)[12π+V(x,t)ei(kk)xdx]dk=+φ(k,t)V(kk)dk .
这就得到了式 6 ,证毕。


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