位置表象和动量表象
贡献者: addis
本文使用原子单位制。量子力学常见的薛定谔方程使用的是位置表象(position representation)的波函数,即波函数是位置和时间的函数。先来看一维的情况:
下面要讨论另一种等效的波函数和薛定谔方程叫
动量表象(momentum representation)。在 “
傅里叶变换与矢量空间” 中,我们提到可以把函数也就是这里的波函数 看作某个无穷维空间中的矢量,在正交归一的
狄拉克 函数基底以及
平面波基底上的展开系数(即
坐标)。
在位置表象中,狄拉克 函数 是位置算符 的本征函数,而 是动量算符 的本征函数。若使用 函数基底展开波函数 ,系数同样为 。若使用 基底展开态矢,坐标记为
那么我们就使用了动量表象, 就是动量表象下的波函数。式中 表示反
傅里叶变换。即
动量表象的波函数是位置表象波函数的傅里叶变换
可以证明,如果 可以表示为关于 的幂级数,那么动量表象的薛定谔方程为
这和
式 1 是等效的。
未完成:什么样的函数可以展开为幂级数?除了泰勒展开。例如方势垒可以吗?
从直接构造哈密顿算符的角度来理解,表象无关的薛定谔方程为
而动量表象中 ,(未完成:为什么?),代入即可。
未完成:例子
式 4 中的势能项也可以记为卷积的形式,动量表象薛定谔方程变为一个积分—微分方程
其中
是势能函数关于 的傅里叶变换。
类似地,动量表象得三维薛定谔方程为
或者
其中
是三维势能函数 的三维傅里叶变换。
1. 证明
要证明位置表象和动量表象的一维薛定谔(式 1 和式 4 )等效,式 2 代入式 1 得
对第一项使用
式 22 (令 ,),第二项使用
式 21 (令 ,,然后两边取反傅里叶变换),等式右边的时间偏导可以移到方括号内,得
两边取反傅里叶变换就得到
式 4 。证毕。
事实上,对微分方程要求解的函数做傅里叶变换是解微分方程的常用技巧。
要证明式 6 ,可以在以上推导中不对式 11 的势能项做处理,最后变为
这就得到了
式 6 ,证毕。
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