位置表象和动量表象

             

预备知识 薛定谔方程,傅里叶变换与矢量空间

   本文使用原子单位制.量子力学常见的薛定谔方程使用的是位置表象(position representation)的波函数,即波函数是位置和时间的函数.先来看一维的情况:

\begin{equation} -\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x, t) + V(x,t)\psi(x,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi(x,t) \end{equation}
下面要讨论另一种等效的波函数和薛定谔方程叫动量表象(momentum representation).在 “傅里叶变换与矢量空间” 中,我们提到可以把函数也就是这里的波函数 $ \left\lvert \psi \right\rangle $ 看作某个无穷维空间中的矢量,在正交归一的狄拉克 $\delta$ 函数基底以及平面波基底上的展开系数(即坐标).

   在位置表象中,狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta(x-x_0)$ 是位置算符 $\hat x$ 的本征函数,而 $ \exp\left( \mathrm{i} kx\right) /\sqrt{2\pi}$ 是动量算符 $\hat p$ 的本征函数.若使用 $\delta(x-x_0)$ 函数基底展开波函数 $\psi(x, t)$,系数同样为 $\psi(x, t)$.若使用 $ \exp\left( \mathrm{i} kx\right) /\sqrt{2\pi}$ 基底展开态矢,坐标记为 $\varphi(k, t)$

\begin{equation} \psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(k,t) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{k} = \mathcal{F}^{-1} \left[\varphi(k,t) \right] \end{equation}
那么我们就使用了动量表象,$\varphi(k, t)$ 就是动量表象下的波函数.式中 $\mathcal{F}^{-1}$ 表示反傅里叶变换.即动量表象的波函数是位置表象波函数的傅里叶变换
\begin{equation} \varphi(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} = \mathcal{F} \left[\psi(x, t) \right] \end{equation}

   可以证明,如果 $V(x,t)$ 可以表示为关于 $x$ 的幂级数,那么动量表象的薛定谔方程

\begin{equation} \frac{k^2}{2m}\varphi(k, t) + V \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} , t \right) \varphi(k, t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi(k,t) \end{equation}
这和式 1 是等效的.

   从直接构造哈密顿量的角度来理解,表象无关的薛定谔方程为

\begin{equation} \hat{H} \left\lvert \psi \right\rangle = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert \psi \right\rangle \end{equation}
\begin{equation} \hat{H} = \frac{ \hat{p} ^2}{2m} + V( \hat{x} ) \end{equation}
而动量表象中 $ \hat{p} = p$,$ \hat{x} = \mathrm{i} \partial/\partial k $(未完成:为什么?),代入即可.
未完成:例子

   式 4 中的势能项也可以记为卷积的形式,动量表象薛定谔方程变为一个积分—微分方程

\begin{equation} \frac{k^2}{2m}\varphi(k, t) + \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{V}(k-k', t) \varphi(k', t) \,\mathrm{d}{k'} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi(k,t) \end{equation}
其中
\begin{equation} \mathcal{V}(k, t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
是势能函数关于 $x$ 的傅里叶变换乘以常数.

   类似地,动量表象得三维薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2}{2m}\varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) + V \left( \mathrm{i} \boldsymbol\nabla _k \right) \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} ,t) \end{equation}
或者
\begin{equation} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2}{2m}\varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) + \int \mathcal{V}( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{k}} ', t) \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} ', t) \,\mathrm{d}^{3}{k'} = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} ,t) \end{equation}
其中
\begin{equation} \mathcal{V}( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) = \frac{1}{(2\pi)^{3}} \int V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \,\mathrm{d}^{3}{r} \end{equation}
是三维势能函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$ 的三维傅里叶变换乘以常数(连接未完成).

1. 证明

   要证明位置表象和动量表象的一维薛定谔(式 1 式 4 )等效,式 2 代入式 1

\begin{equation} \frac{1}{2m} \left(- \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{x}} \right) ^2 \mathcal{F}^{-1} \left[\varphi(k, t) \right] + V(x, t)\mathcal{F}^{-1} \left[\varphi(k, t) \right] = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \mathcal{F}^{-1} \left[\varphi(k, t) \right] \end{equation}
对第一项使用式 20 (令 $g_1(k) = k^2/2m$,$g_2(k) = \varphi(k, t)$),第二项使用式 19 (令 $f_1(x) = V(x, t)$,$g_2(k) = \varphi(k, t)$,然后两边取反傅里叶变换),等式右边的时间偏导可以移到方括号内,得
\begin{equation} \mathcal{F}^{-1} \left[\frac{k^2}{2m}\varphi(k,t) \right] + \mathcal{F}^{-1} \left[V \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} , t \right) \varphi(k,t) \right] = \mathcal{F}^{-1} \left[ \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi(k,t) \right] \end{equation}
两边取反傅里叶变换就得到式 4 .证毕.

   事实上,对微分方程要求解的函数做傅里叶变换是解微分方程的常用技巧.

   要证明式 7 ,可以在以上推导中不对式 12 的势能项做处理,最后变为

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad\mathcal{F}[V(x, t)\mathcal{F}^{-1} \left[\varphi(k, t) \right] ]\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}V(x, t) \left[\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(k', t) \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k'x}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{k'} \right] \frac{ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} kx}}{\sqrt{2\pi}} \,\mathrm{d}{x} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(k', t) \left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} V(x, t) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (k-k')x} \,\mathrm{d}{x} \right] \,\mathrm{d}{k'} \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(k', t) \mathcal{V}(k-k') \,\mathrm{d}{k'} \end{aligned} \end{equation}
证毕.

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