量子力学的算符和本征问题

                     

贡献者: addis

预备知识 概率密度函数,狄拉克 delta 函数,平面简谐波,量子力学与矩阵

   “量子力学” 中我们已经简单介绍了量子力学的基本假设。这里我们来进行更详细的说明,注意我们仍然只讨论做一维直线运动的单个微观粒子。首先来做一个阶段性总结

1. 位置、动量算符(一维)

   首先要注意的是在讨论量子力学的一维问题时,我们不能完全假设粒子(质点)在三维空间中延某条直线运动。如果假设粒子延 x 轴运动,那么在 yz 方向的动量和坐标就可以同时确定,而这是违反不确定性原理的。所以一种理解方法是只关心 x 方向的运动而对 y,z 方向的运动不做任何假设,另一种理解方法是抽象地认为空间中只存在一个维度。

   之前提到,位置的本征函数是一些无穷窄的函数,叫做狄拉克 δ 函数,对应的位置本征值则是这些 δ 函数所在的位置。动量的本征函数是一些平面波,对应的动量本征值就是平面波的空间频率乘以一个常数。然而我们并没有说明某个物理量的本征波函数是怎么得到的,以下将进一步介绍。

   在量子力学中,每个可测量的物理量都可以对应一个算符(operator),算符可以想象为对波函数的一种操作,算符作用在波函数上可以得到一个新的波函数。例如某时刻波函数为 sinx,求导算符 d/dx 作用在 sinx 上就得到一个新的波函数 cosx。又例如坐标 x 也可以作为一个算符,我们定义将其作用在任意波函数 Ψ(x,t) 上,就是将其相乘,即 xΨ(x,t)。又例如任意函数 f(x) 也可以是一个算符,我们定义将其作用在 Ψ(x,t) 上得 f(x)Ψ(x,t)

   在书写习惯上,我们将某物理量 Q 的算符用 Q^ 表示,如位置的算符用 x^ 表示,动量的算符用 p^ 表示。当我们熟练以后,为了书写简洁往往将 “x^” 符号省略。

   要得到某个物理量的本征函数,我们需要解本征方程,注意本征方程中的波函数不含时间

(1)Q^ψ(x)=λψ(x) .
其中 λ 是本征值,ψ(x) 是本征函数,二者都是未知的。如果本征值是离散的(如束缚态的能量),我们就可以用整数角标来 i 来区分不同的本征值和本征函数,将它们分别记为 λiψi(x),如果本征值是连续的(如位置,动量),我们可以把角标 i 替换为一个实数参数,比如记为 α。用 λ(α) 区分不同本征值,将对应的波函数记为 ψα(x)。注意本征函数不含时间变量 t。另外,用于物理量的算符,其本征值必定是实数。我们把这类算符叫做厄米算符(Hermitian operator)1,以后会具体介绍。

   我们姑且认为2,量子力学的基本假设规定3一维情况下位置的算符 x^x动量的算符 p^ 是(偏)微分算符 i/x。其中 i 是虚数单位, 是一个常数,叫做约化普朗克常数,即普朗克常数 h 除以 2π

   事实上,同一个算符在不同的表象(representation)下具有不同的形式,这可以类比同一个矢量用不同的基底可以得到不同的坐标,同一个线性算符也表示为不同的矩阵。这里使用的是最常见的位置表象,另外有动量表象,现在先不用担心。

   可以证明位于坐标 x0 处的狄拉克 δ 函数x^ 的广义上的本征函数,且本征值为 x0。位于原点处的 δ 函数记为 δ(x),那么 x0 处的 δ 函数就是 δ(xx0)。将本征函数和本征值代入本征方程,得

(2)xδ(xx0)=x0δ(xx0) .
我们可以从函数图像上对该式做一个定性说明:由于 δ(xx0) 通常只在 x0 处一个无穷窄的区间不为零,所以将 δ 函数乘以 x,就相当于在这个不为零的无穷窄区间乘以 x0

   动量的本征方程为

(3)p^ψ(x)=ixψ(x)=pψ(x) .
代入即可证明本征函数为4 ψp(x)=exp(ikx),对应的动量本征值为 p(k)=kexp(ikx)一维简谐波的复数形式,再次提醒量子力学中习惯把简谐波或平面简谐波叫做平面波,即使讨论的是一维问题。量子力学中的平面波总是指 exp(ikx) 而不是 sin(kx)cos(kx)

   利用波长和波数的关系(式 2 λ=2π/k,以及 =h/2π,我们就可以得到著名的德布罗意公式

(4)λ=hp .
所以德布罗意公式描述的是动量本征值和本征函数(平面波)的波长之间的关系,即动量和波长成反比。所以平面波的波长 λ 也叫德布罗意波长

2. 连续本征值的测量

   我们之前在讨论测量理论是都是假设本征值是离散的,但在上文我们看到位置和动量的本征值都是连续的,那么如何从离散拓展到连续呢?首先,把本征值 λ 对应的本征波函数记为 ψλ(x),那么某时刻任何波函数 ψ(x) 仍然可以表示为本征波函数的线性组合,但要把求和变为定积分,积分范围是 λ 所有可能取值的区间

(5)ψ(x)=C(λ)ψλ(x)dλ ,
这时线性组合的系数由离散的 Ci 变为 λ 的函数 C(λ)

   现在,测量结果的概率就很自然地从离散的概率 |Ci| 变为概率密度函数 |C(λ)|2 了。也就是说,测量值落在某个区间 λ[a,b] 的概率为

(6)Pab=ab|C(λ)|2dλ .
例如任何波函数分解成无穷多个不同的位置本征函数 δ(xx0) 的线性组合得
(7)ψ(x)=+C(x0)δ(xx0)dx0 .
根据 δ 函数的性质得 C(x)=ψ(x),所以在 x[a,b] 区间发现粒子的概率为
(8)Pab=ab|C(x)|2dx=ab|ψ(x)|2dx ,

   又例如把波函数分解成平面波

(9)ψ(x)=+C(p)eipx/2πdp .
这十分类似傅里叶变换(式 2 ),其中 1/2π 是平面波的归一化系数。容易证明
(10)C(p)=+ψ(x)eipx/2πdx .
如果测量粒子的动量,结果落在 p[a,b] 的概率为
(11)Pab=ab|C(p)|2dp .
事实上,若使用原子单位,则式 9 式 10 将和傅里叶变换完全一样,见例 3

3. 动能、势能、哈密顿算符(一维)

   量子力学的基本假设规定,其他所有可观测量的算符都可以通过位置和动量算符拼凑而成,其形式与经典力学中对应物理量的形式相同。例如,经典力学中的动能为 p2/(2m),那么量子力学中的动能算符就是

(12)T^=p^22m .

   要理解算符运算并不难,这里的 p^2 也可以记为 p^p^,即两个动量算符相乘。两个算符相乘的定义是,将右边的算符先作用在波函数上,再将左边的算符作用在波函数上。所以 p^2 作用在波函数 ψ(x) 上,就是

(13)p^2ψ=ix(ixψ) .
由于常数可以提到求导算符的外面,这就相当于关于 x 求二阶偏导,然后在乘以 (i)2=2
(14)p^2ψ(x)=22x2ψ(x) ,
所以动能算符为
(15)T^=p^22m=22m2x2 .

   有了动能的算符,我们就可以列出动能的本征方程并解出其本征函数和本征值 Ek(角标 k 代表 kinetic)

(16)T^ψ(x)=22m2x2ψ(x)=Ekψ(x) .
巧的是,解出动能的本征函数与动量的本征函数相同,也是 exp(ikx),但对应的本征值不同,是 Ek=2k2/(2m)。这事实上并不是巧合,因为 T^ 正比于 p^2,当第一个 p^ 作用在动量的本征函数上,得到的是标量 p 乘以该本征函数,再经第二个 p^ 作用,同样相当于乘以一个 p
(17)ix(ixeikx)=ix(keikx)=k(ixeikx)=2k2eikx=p2eikx .
两边除以 2m,就验证了动能的本征方程,并得到本征值。需要注意的是,同一个动能本征值 Ek 对应两个互为相反数的波数 k,即存在两个线性无关的本征态(分别是向左和向右的平面波),且这两个本征态的任意线性组合都是同一个能量本征值的本征函数。我们把这种一个本征值对应多个本征函数的情况叫做简并,如果最多由 N 个本征函数,就有 N 重简并。所以一维情况下,动能具有二重简并。

   再看势能算符,经典力学中一维势能函数记为 V(x) 是位置 x 的函数。那么量子力学中为了变成算符就把 x 替换为位置算符 x^ 即可。这和式 12 中把动量替换成算符是一个道理。例如当 V(x) 可以泰勒展开为 ncnxn 时,势能算符就是 ncnx^n。但在位置表象下 x^ 就是 x,所以势能算符仍然是 V(x)。把势能算符作用在波函数上,就是把它和波函数相乘。

   有了动能和势能算符,我们就可以把它们相加得到(一维)能量算符,也就是哈密顿算符

(18)H^=T^+V^=22m2x2+V(x) .
哈密顿算符的本征方程,也就是能量的本征方程,就叫定态薛定谔方程(time independent Schrodinger equation,缩写 TISE)
(19)22m2x2ψ(x)+V(x)ψ(x)=Eψ(x) .
该方程的解取决于 V(x) 的形式,我们留到 “定态薛定谔方程(单粒子一维)” 详细讨论。


1. ^ 数学上也叫自伴算符(self-adjoint operator)
2. ^ 事实上各算符的定义是完全从经典力学的对应概念导出的,具体请参考量子力学中的基本算符
3. ^ 严格来说这并不是基本假设的一部分,但初学时这么认为并没有大碍。
4. ^ 也可以通过解微分方程得到。


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