贡献者: addis
预备知识 概率密度函数
,狄拉克 delta 函数
,平面简谐波
,量子力学与矩阵
“量子力学” 中我们已经简单介绍了量子力学的基本假设。这里我们来进行更详细的说明,注意我们仍然只讨论做一维直线运动的单个微观粒子。首先来做一个阶段性总结
- 粒子的状态由波函数描述。
- 波函数按照薛定谔方程随时间变化。
- 某时刻若对粒子测量一个物理量,则先找到该物理量的本征函数(也叫本征态或本征矢) 以及对应的本征值,把粒子在该时刻的波函数 表示成这些本征函数的线性叠加 ,测得第 个本征值的概率就是系数 的模长平方。
- 测量完后,粒子的波函数坍缩为第 个本征函数。
1. 位置、动量算符(一维)
首先要注意的是在讨论量子力学的一维问题时,我们不能完全假设粒子(质点)在三维空间中延某条直线运动。如果假设粒子延 轴运动,那么在 和 方向的动量和坐标就可以同时确定,而这是违反不确定性原理的。所以一种理解方法是只关心 方向的运动而对 方向的运动不做任何假设,另一种理解方法是抽象地认为空间中只存在一个维度。
之前提到,位置的本征函数是一些无穷窄的函数,叫做狄拉克 函数,对应的位置本征值则是这些 函数所在的位置。动量的本征函数是一些平面波,对应的动量本征值就是平面波的空间频率乘以一个常数。然而我们并没有说明某个物理量的本征波函数是怎么得到的,以下将进一步介绍。
在量子力学中,每个可测量的物理量都可以对应一个算符(operator),算符可以想象为对波函数的一种操作,算符作用在波函数上可以得到一个新的波函数。例如某时刻波函数为 ,求导算符 作用在 上就得到一个新的波函数 。又例如坐标 也可以作为一个算符,我们定义将其作用在任意波函数 上,就是将其相乘,即 。又例如任意函数 也可以是一个算符,我们定义将其作用在 上得 。
在书写习惯上,我们将某物理量 的算符用 表示,如位置的算符用 表示,动量的算符用 表示。当我们熟练以后,为了书写简洁往往将 “” 符号省略。
要得到某个物理量的本征函数,我们需要解本征方程,注意本征方程中的波函数不含时间
其中 是本征值, 是本征函数,二者都是未知的。如果本征值是离散的(如束缚态的能量),我们就可以用整数角标来 来区分不同的本征值和本征函数,将它们分别记为 和 ,如果本征值是连续的(如位置,动量),我们可以把角标 替换为一个实数参数,比如记为 。用 区分不同本征值,将对应的波函数记为 。注意本征函数不含时间变量 。另外,用于物理量的算符,其本征值必定是实数。我们把这类算符叫做
厄米算符(Hermitian operator)1,以后会具体介绍。
我们姑且认为2,量子力学的基本假设规定3一维情况下位置的算符 是 ,动量的算符 是(偏)微分算符 。其中 是虚数单位, 是一个常数,叫做约化普朗克常数,即普朗克常数 除以 。
事实上,同一个算符在不同的表象(representation)下具有不同的形式,这可以类比同一个矢量用不同的基底可以得到不同的坐标,同一个线性算符也表示为不同的矩阵。这里使用的是最常见的位置表象,另外有动量表象,现在先不用担心。
可以证明位于坐标 处的狄拉克 函数是 的广义上的本征函数,且本征值为 。位于原点处的 函数记为 ,那么 处的 函数就是 。将本征函数和本征值代入本征方程,得
我们可以从函数图像上对该式做一个定性说明:由于 通常只在 处一个无穷窄的区间不为零,所以将 函数乘以 ,就相当于在这个不为零的无穷窄区间乘以 。
动量的本征方程为
代入即可证明本征函数为
4 ,对应的动量本征值为 。 是
一维简谐波的复数形式,再次提醒量子力学中习惯把简谐波或平面简谐波叫做平面波,即使讨论的是一维问题。量子力学中的平面波总是指 而不是 或 。
利用波长和波数的关系(式 2 )
,以及 ,我们就可以得到著名的德布罗意公式
所以德布罗意公式描述的是动量本征值和本征函数(平面波)的波长之间的关系,即动量和波长成反比。所以平面波的波长 也叫
德布罗意波长。
2. 连续本征值的测量
我们之前在讨论测量理论是都是假设本征值是离散的,但在上文我们看到位置和动量的本征值都是连续的,那么如何从离散拓展到连续呢?首先,把本征值 对应的本征波函数记为 ,那么某时刻任何波函数 仍然可以表示为本征波函数的线性组合,但要把求和变为定积分,积分范围是 所有可能取值的区间
这时线性组合的系数由离散的 变为 的函数 。
现在,测量结果的概率就很自然地从离散的概率 变为概率密度函数 了。也就是说,测量值落在某个区间 的概率为
例如任何波函数分解成无穷多个不同的位置本征函数 的线性组合得
根据 函数的性质得 ,所以在 区间发现粒子的概率为
又例如把波函数分解成平面波
这十分类似傅里叶变换(
式 2 ),其中 是平面波的归一化系数。容易证明
如果测量粒子的动量,结果落在 的概率为
事实上,若使用原子单位,则
式 9 式 10 将和傅里叶变换完全一样,见
例 3 。
3. 动能、势能、哈密顿算符(一维)
量子力学的基本假设规定,其他所有可观测量的算符都可以通过位置和动量算符拼凑而成,其形式与经典力学中对应物理量的形式相同。例如,经典力学中的动能为 ,那么量子力学中的动能算符就是
要理解算符运算并不难,这里的 也可以记为 ,即两个动量算符相乘。两个算符相乘的定义是,将右边的算符先作用在波函数上,再将左边的算符作用在波函数上。所以 作用在波函数 上,就是
由于常数可以提到求导算符的外面,这就相当于关于 求二阶偏导,然后在乘以 。
所以动能算符为
有了动能的算符,我们就可以列出动能的本征方程并解出其本征函数和本征值 (角标 代表 kinetic)
巧的是,解出动能的本征函数与动量的本征函数相同,也是 ,但对应的本征值不同,是 。这事实上并不是巧合,因为 正比于 ,当第一个 作用在动量的本征函数上,得到的是标量 乘以该本征函数,再经第二个 作用,同样相当于乘以一个 :
两边除以 ,就验证了动能的本征方程,并得到本征值。需要注意的是,同一个动能本征值 对应两个互为相反数的波数 ,即存在两个线性无关的本征态(分别是向左和向右的平面波),且这两个本征态的任意线性组合都是同一个能量本征值的本征函数。我们把这种一个本征值对应多个本征函数的情况叫做
简并,如果最多由 个本征函数,就有
重简并。所以一维情况下,动能具有二重简并。
再看势能算符,经典力学中一维势能函数记为 是位置 的函数。那么量子力学中为了变成算符就把 替换为位置算符 即可。这和式 12 中把动量替换成算符是一个道理。例如当 可以泰勒展开为 时,势能算符就是 。但在位置表象下 就是 ,所以势能算符仍然是 。把势能算符作用在波函数上,就是把它和波函数相乘。
有了动能和势能算符,我们就可以把它们相加得到(一维)能量算符,也就是哈密顿算符
哈密顿算符的本征方程,也就是能量的本征方程,就叫
定态薛定谔方程(time independent Schrodinger equation,缩写 TISE)
该方程的解取决于 的形式,我们留到 “
定态薛定谔方程(单粒子一维)” 详细讨论。
1. ^ 数学上也叫自伴算符(self-adjoint operator)
2. ^ 事实上各算符的定义是完全从经典力学的对应概念导出的,具体请参考量子力学中的基本算符。
3. ^ 严格来说这并不是基本假设的一部分,但初学时这么认为并没有大碍。
4. ^ 也可以通过解微分方程得到。
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