函数的极限

             

贡献者: _Eden_

预备知识 函数,序列的极限,函数的极限(简明微积分)

   回顾:函数是一个非空集合 $A$ 到另一个集合 $B$ 的对应法则

   本词条中,函数 $f$ 是指从 $\mathbb R$ 的某个非空子集 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射

1. 函数的极限

图
图 1:请添加图片描述

定义 1 邻域和去心邻域

   定义邻域:$U(x_0,\delta)=\{x\in \mathbb{R}:|x-x_0| < \delta\}$.

   去心邻域:$U_0(x_0,\delta)= U(x_0,\delta) \backslash \{x_0\}=\{x\in \mathbb{R}:0 < |x-x_0| < \delta\}$.

定义 2 极限

   设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 内有定义.

   若存在实数 $A$,使得对任意 $\epsilon > 0$,存在 $\delta > 0$,使得当 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 时,有 $|f(x)-A| < \epsilon$,则称当 $x$ 趋于 $x_0$,函数 $f(x)$ 以 $A$ 为极限,记为 $\large \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 或 $f(x)\rightarrow A\ (x\rightarrow x_0)$.

   PS:实际上有更宽泛的定义,只要 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 定义域的聚点,就可以定义在该点处的极限.

   同序列极限的性质类似,函数极限也具有唯一性:

定理 1 

   若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在,证明在 $x_0$ 处极限唯一.

习题 1 

  1. $f(x)=\left\{\begin{aligned} 0\ \ &(x < 1)\\ 1\ \ &(x\ge 1) \end{aligned}\right.$,判断 $f(x)$ 在 $x_0=1$ 处极限是否存在.
  2. $f(x)=\left\{\begin{aligned} 0\ \ &(x < 1)\\ 1\ \ &(x= 1)\\2\ \ &(x > 1) \end{aligned}\right.$,判断 $f(x)$ 在 $x_0=1$ 处极限是否存在.
  3. $f(x)=x\cdot \sin\left(1/x\right) $,判断 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限是否存在.
  4. $f(x)= \sin\left(1/x\right) $,判断 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限是否存在.
  5. $f(x)=e^x$,证明 $\lim\limits_{x\rightarrow a}=e^a,\forall a\in\mathbb{R}$.
图
图 2:黎曼函数

   我们来看一个有趣的函数 $f(x)$,它的定义域为 $[0,1]$:

\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{aligned} &1/q, &x=\frac{p}{q}\ (p,q\in \mathbb{N},\frac{p}{q}\text{为既约真分数})\\ &0,&\text{x=0 或 x=1 或 x}\notin \mathbb{Q} \end{aligned} \right. \end{equation}
我们称它为黎曼(Riemann)函数

   虽然在定义域内有无穷多个点的函数值不为 $0$,但 $f(x)$ 的极限却处处为 $0$,我们之后还将看到,$f(x)$ 在无理点处处连续,但 $f(x)$ 处处不可导.

习题 2 

  1. 证明:若函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上有定义,且满足 $\large\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$,那么对任意极限为 $a$ 的序列 $\{x_n\}$,序列 $\{f(x_n)\}$ 的极限也为 $f(a)$. 上述命题反过来也成立.
  2. 对于任意给定的序列 $\{a_n\}(0 < a_n < 1)$,构造定义域为 $[0,1]$ 的函数 $f(x)$,满足 $\forall x\in \{a_n\},f(x)\neq 0;\ \forall x \in [0,1]\backslash \{a_n\},f(x)=0$,且 $f(x)$ 在定义域上极限处处为 $0$.

2. 函数的左右极限

图
图 3:请添加图片描述

   如果把去心邻域 $U_0(x_0,\delta_0)$ 分成两块单侧邻域——

   左空心邻域:$U_0^+(x_0,\delta)=U_0(x_0,\delta)\cap (x_0,+\infty) \{x\in \mathbb{R} :x_0 < x < x_0+\delta\}$

   右空心邻域:$U_0^-(x_0,\delta)=U_0(x_0,\delta)\cap (-\infty,x_0) \{x\in \mathbb{R} :x_0-\delta < x < x_0\}$

   那么就可以定义函数的左右极限:

   设 $f(x)$ 在 $U^+_0(x_0,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上有定义.

   如果存在实数 $A$,使得对任意 $\epsilon > 0$,存在 $\delta > 0$,当 $x\in U_0^+(x_0,\delta)$ 时,有 $|f(x)-A| < \epsilon$,则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右极限存在,而称 $A$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右极限,记为 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$ 或 $f(x_0^+)=A$.

   类似地可以定义左极限存在左极限

习题 3 

  1. $f(x)=\left\{\begin{aligned} 0\ \ &(x < 1)\\ 1\ \ &(x= 1)\\2\ \ &(x > 1) \end{aligned}\right.$,判断 $f(x)$ 在 $x_0=1$ 处的左极限与右极限.
  2. $f(x)=[x]$(取整函数),判断 $f(x)$ 在 $x_0=1$ 处的左极限与右极限.
  3. 设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 上有定义,证明:$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A$ 当且仅当 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$.

3. 函数极限的各种情况

   称集合 $\{x:|x| > h\}(h > 0)$ 为 $\infty$ 的邻域,记为 $U(\infty,h)$(这时就没有必要定义去心邻域了).

   同样的可以分成两块单侧邻域

\begin{equation} \begin{aligned} &U^+(\infty,h)=U(\infty,h)\cup (0,\infty)=\{x:x > h\}\\ &U^-(\infty,h)=U(\infty,h)\cup (-\infty,0)=\{x:x < -h\} \end{aligned} \end{equation}
这样就可以函数在自变量趋向于无穷大时的极限:

   设函数 $f(x)$ 在 $U^+(\infty,h_0)$ 上有定义.若存在实数 $A$,使得 $\forall \epsilon > 0, \exists X\in U^+(\infty,h_0)$,当 $x > X$ 时,有 $|f(x)-A| < \epsilon$,则称当 $x$ 趋于 $+\infty$ 时 $f(x)$ 的极限存在,其极限为 $A$,记为 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A$ 或 $f(x)\rightarrow A(x\rightarrow +\infty)$.

   类似地可以定义 $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=A$ 和 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=A$.

习题 4 

  1. 设函数 $f(x)$ 在 $U(\infty,h_0)$ 上有定义,证明:$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=A$ 当且仅当 $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A$.
  2. 设序列 $\{a_n\}$ 收敛于 $A$,定义函数 $f(x)=a_{|[x]+1|}$,证明:$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} f(x)=A$.

定义 3 广义极限

   如果自变量趋向于一个值时,函数趋向于无穷大,则可以定义广义极限:

   设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上有定义,若 $\forall M > 0,\exists \delta>0$,使得当 $x\in U_0(x,\delta)$ 时,有 $f(x) > M$,则称当 $x$ 趋于 $x_0$,$f(x)$ 趋于 $+\infty$,或称当 $x$ 趋于 $x_0$ 时,$f(x)$ 的广义极限为 $+\infty$.记为 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty$ 或 $f(x)\rightarrow +\infty(x\rightarrow x_0)$.此时也称 $f(x)$ 为当 $x$ 趋于 $x_0$ 时的正无穷大量

   同样地可以定义负无穷大量无穷大量

   对于函数极限而言,自变量有以下几种变化情况:

\begin{equation} x\rightarrow x_0;\ x\rightarrow x_0^+;\ x\rightarrow x_0^{-};\ x\rightarrow \infty;\ x\rightarrow +\infty;\ x\rightarrow -\infty \end{equation}
对于这六种情况可以定义各自的广义极限
\begin{equation} f(x)\rightarrow A;\ f(x)\rightarrow +\infty;\ f(x)\rightarrow -\infty;\ f(x)\rightarrow \infty \end{equation}
因此一共有 $24$ 种可能的函数极限的情形.

   但由于它们之间有极大的相似之处,所以很容易进行记忆和想象.

习题 5 

  1. $f(x)=x^2\sin x$,判断它是不是当 $x\rightarrow \infty$ 时的无穷大量.
  2. $f(x)=1/(x-1)\ (x\neq 1)$,求 $f(1^-),f(1^+),\lim\limits_{x\rightarrow 1}f(x),\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)$.

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