函数的极限

贡献者： addis; _Eden_

　　 回顾：函数是一个非空集合 $A$ 到另一个集合 $B$ 的对应法则。

　　 本文中，函数 $f$ 是指从 $\mathbb{R}$ 的某个非空子集 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射

1. 函数的极限

　　 补充：实际上有更宽泛的定义，只要 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 定义域的聚点，就可以定义在该点处的极限。

　　 同序列极限的性质类似，函数极限也具有唯一性：

　　 我们来看一个有趣的函数 $f(x)$，它的定义域为 $[0,1]$：

　　 虽然在定义域内有无穷多个点的函数值不为 $0$，但 $f(x)$ 的极限却处处为 $0$，我们之后还将看到，$f(x)$ 在无理点处处连续，但 $f(x)$ 处处不可导。

2. 函数的左右极限

　　 如果把去心邻域 $U_0(x_0,{\delta }_0)$ 分成两块单侧邻域——

　　 左空心邻域：$U_0^{+}(x_0,\delta )=U_0(x_0,\delta )\cap (x_0,+\mathrm{\infty })\{x\in \mathbb{R}:x_0<x<x_0+\delta \}.$

　　 右空心邻域：$U_0^{-}(x_0,\delta )=U_0(x_0,\delta )\cap (-\mathrm{\infty },x_0)\{x\in \mathbb{R}:x_0-\delta <x<x_0\}.$

　　 那么就可以定义函数的左右极限：

　　 设 $f(x)$ 在 $U_0^{+}(x_0,{\delta }_0)({\delta }_0>0)$ 上有定义。

　　 如果存在实数 $A$，使得对任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，当 $x\in U_0^{+}(x_0,\delta )$ 时，有 $|f(x)-A|<ϵ$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右极限存在，而称 $A$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的右极限，记为 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x_0^{+})=A$。

　　 类似地可以定义左极限存在和左极限。

3. 函数极限的各种情况

　　 称集合 $\{x:|x|>h\}(h>0)$ 为 $\mathrm{\infty }$ 的邻域，记为 $U(\mathrm{\infty },h)$（这时就没有必要定义去心邻域了）。

　　 同样的可以分成两块单侧邻域：

　　 设函数 $f(x)$ 在 $U^{+}(\mathrm{\infty },h_0)$ 上有定义。若存在实数 $A$，使得 $\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }X\in U^{+}(\mathrm{\infty },h_0)$，当 $x>X$ 时，有 $|f(x)-A|<ϵ$，则称当 $x$ 趋于 $+\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)$ 的极限存在，其极限为 $A$，记为 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to +\mathrm{\infty })$。

　　 类似地可以定义 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 和 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$。

　　 对于函数极限而言，自变量有以下几种变化情况：

　　 但由于它们之间有极大的相似之处，所以很容易进行记忆和想象。