宇称算符

贡献者： addis

预备知识　多元函数积分和宇称

　　对多元函数 $f (x) = f (x_{1}, \dots, x_{N})$ 。定义宇称算符 $Π$ 如下

\begin{matrix} (1) & Π f (x) = f (- x) . \end{matrix}

若函数内积定义为（星号表示复共轭）

\begin{matrix} (2) & ⟨ f | g ⟩ = \int f^{*} (x) g (x) d^{N} x, \end{matrix}

容易证明宇称算符是一个厄米算符。对本征方程

\begin{matrix} (3) & Π f (x) = λ f (x), \end{matrix}

容易证明¹宇称算符的本征值

λ

只可能等于

1

或

- 1

。我们说

λ = 1

的函数具有偶宇称（even parity），

λ = - 1

的函数具有奇宇称（odd parity）。它们分别满足

\begin{matrix} (4) & f (- x) = \pm f (x) . \end{matrix}

对于一元函数，具有奇宇称的就是奇函数（odd function），具有偶宇称的就是偶函数（even function）。

1. ^ 分别令 $x$ 为某对称的两点 $x_{1}$ 和 $- x_{1}$ ，使函数值不为零。本征方程要求 $f (- x_{1}) = λ f (x_{1})$ 且 $f (x_{1}) = λ f (- x_{1})$ ，所以必有 $λ^{2} = 1$ ， $λ = \pm 1$ 。

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