宇称算符
贡献者： addis
对多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(x_1, \dots, x_N)$。 定义宇称算符 $\Pi$ 如下
\begin{equation}
\Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
若函数内积
定义为（星号表示复共轭）
\begin{equation}
\left\langle f \middle| g \right\rangle = \int f^*( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}^{N}{x} ~,
\end{equation}
容易证明宇称算符是一个厄米算符。对本征方程
\begin{equation}
\Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )~,
\end{equation}
容易证明
1宇称算符的本征值 $\lambda$ 只可能等于 $1$ 或 $-1$。我们说 $\lambda = 1$ 的函数具有
偶宇称（even parity），$\lambda = -1$ 的函数具有
奇宇称（odd parity）。它们分别满足
\begin{equation}
f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \pm f( \boldsymbol{\mathbf{x}} )~.
\end{equation}
对于一元函数，具有奇宇称的就是
奇函数（odd function），具有偶宇称的就是
偶函数（even function）。
1. ^ 分别令 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为某对称的两点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$，使函数值不为零。本征方程要求 $f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$ 且 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$，所以必有 $\lambda^2 = 1$，$\lambda = \pm 1$。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。