宇称算符

             

预备知识 多元函数积分和宇称

   对多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(x_1, \dots, x_N)$. 定义宇称算符 $\Pi$ 如下

\begin{equation} \Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}
若函数内积定义为(星号表示复共轭)
\begin{equation} \left\langle f \middle| g \right\rangle = \int f^*( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) g( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \,\mathrm{d}^{N}{x} \end{equation}
容易证明宇称算符是一个厄米算符.对本征方程
\begin{equation} \Pi f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}
容易证明1宇称算符的本征值 $\lambda$ 只可能等于 $1$ 或 $-1$.我们说 $\lambda = 1$ 的函数具有偶宇称(even parity),$\lambda = -1$ 的函数具有奇宇称(odd parity).它们分别满足
\begin{equation} f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \pm f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{equation}
对于一元函数,具有奇宇称的就是奇函数(odd function),具有偶宇称的就是偶函数(even function)


1. ^ 分别令 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 为某对称的两点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$,使函数值不为零.本征方程要求 $f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$ 且 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1) = \lambda f(- \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)$,所以必有 $\lambda^2 = 1$,$\lambda = \pm 1$.

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