高斯波包

                     

贡献者: addis

预备知识 波包,高斯分布
图
图 1:高斯波包(式 1 ),蓝色为实部,红色为虚部,$x_0 = 0$,$A = 1$,$a = 1/20$,$k_0 = 5$。

  1高斯波包(Gaussian wave packet)是指轮廓为高斯分布的波包,在光学和量子力学中有重要应用。在光学中,它可以用作激光脉冲的的电场函数;在量子力学中,它常被作为波函数。

   高斯波包用复函数表示为($A$ 为复数)

\begin{equation} f(x) = A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}~, \end{equation}
由于机械波和电磁波的能量密度(光强)都正比于振幅平方,所以我们经常会讨论分布函数 $f(x)^2$ 的性质。

   $f(x)^2$ 的方差

\begin{equation} \sigma^2= \frac{1}{4a}~. \end{equation}

   FWHMI(光强半高宽)为 $f(x)^2$

\begin{equation} \mathrm{FWHMI} = \sqrt{\frac{2\ln 2}{a}} = 2\sqrt{2\ln 2}\ \sigma \approx 2.35482\sigma~. \end{equation}
满足 $f^2(\text{FWHMI/2}) = f^2(0)/2$。

   $f(x)$ 的积分为(用于求电场矢势)

\begin{equation} \int A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x} \,\mathrm{d}{x} = - \mathrm{i} \frac{A}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) \operatorname{erfi} \left(\frac{k + 2 \mathrm{i} a x}{2 \sqrt{a}} \right) + C~. \end{equation}
$C$ 前面的部分在 $x = \pm \infty$ 处分别为 $\pm\frac{A}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) $。

频谱

预备知识 傅里叶变换(指数)

   要求式 1 的傅里叶变换 $g(k)$,由例 1 以及傅里叶变换性质式 13 式 14

\begin{equation} g(k) = A\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-\frac{(k-k_0)^2}{4a}\right] ~. \end{equation}
$g(k)^2$ 的半高全宽 FWHMI 为 $2\sqrt{2\ln 2}\sqrt{a} = 2.3548200 \sqrt{a}$。

1. cos2 波包

   $\cos^2$ 波包也叫 $\sin^2$ 波包,比起高斯波包,它的优点是存在明确的范围。它的函数形式为

\begin{equation} f(x) = \left\{\begin{aligned} &A\cos^2 \left(\frac{\pi x}{L} \right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} && ( \left\lvert x \right\rvert < L/2)\\ &0 && (\text{otherwise})~. \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $L$ 是波包的总长度。它的 FWHMI 为
\begin{equation} \text{FWHMI} = \frac{2}{\pi} \operatorname {acos}(2^{-1/4}) L \approx 0.3640567 L~. \end{equation}
满足 $f^2(\text{FWHMI/2}) = f^2(0)/2$。

   积分为(令 $a = \pi/L$)

\begin{equation} \begin{aligned} \int A\cos^2 \left(a x \right) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0x} \,\mathrm{d}{x} &= - \mathrm{i} \frac{A}{4} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \left(\frac{2}{k} +\frac{ \mathrm{e} ^{2 \mathrm{i} ax}}{2a+k} -\frac{ \mathrm{e} ^{-2 \mathrm{i} ax}}{2a-k} \right) + C\\ &= \frac{A}{4} \left(\frac{2 \sin\left(k x\right) }{k} +\frac{\sin[(2 a+k)x]}{2 a+k} +\frac{\sin[(2 a-k)x]}{2 a-k} \right) \\ &+ \mathrm{i} \frac{A}{4} \left(-\frac{2 \cos\left(k x\right) }{k} -\frac{\cos[(2 a+k)x]}{2 a+k} +\frac{\cos[(2 a-k)x]}{2 a-k} \right) + C~. \end{aligned} \end{equation}
$C$ 前面的部分在 $x = \pm\infty$ 处分别为 $-2 \mathrm{i} A\frac{a^2}{k(4 a^2 -k^2)} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} {\pi k}/{(2a)}}$。

   傅里叶变换:

\begin{equation} \tilde f(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k x} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{2} \pi ^{3/2} A L}{4 \pi ^2-L^2 (k-k_0)^2} \operatorname{sinc} [L(k-k_0)/2]~. \end{equation}
零点的位置为
\begin{equation} k = k_0 \pm 2n\pi/L \qquad (n=2,3,\dots)~. \end{equation}
标准差约为 $2.92544/L$,方差 $13.15947/L^2$,FWHMI $9.05144/L$。

   画图对比如下(代码见文末):

图
图 2:高斯波包和 cos2 波包的对比

2. 附:Matlab 代码

代码 1:cos2_spec.m
% properties of cos2 wave packet spectra

A = 0.9; L = 1.12;
g = @(k) (sqrt(2)*pi^1.5*A*L)./(4*pi^2-L^2*k.^2) .* sinc(L*k/2);

k = linspace(-40, 40, 1000);
figure; plot(k, g(k));
grid on;
xlabel k;
hold on;
scatter((2:6)*2*pi/L, 0, 'k');
scatter((-6:-2)*2*pi/L, 0, 'k');
axis([-40, 40, -0.02, 0.21]);

A = 1/sqrt(integral(@(k)g(k).^2, -inf, inf));
integral(@(k)g(k).^2.*abs(k).*A^2, -inf, inf)
代码 2:sin2_gaussian_compare.m
% plot Gaussian vs cos2 profile

% gaussian
FWHMI = 1;
a = iFWHMIexp(FWHMI);
x = linspace(-2*FWHMI, 2*FWHMI, 1000);
field_gauss = exp(-a.*x.^2);

% cos2
field_cos2  = zeros(size(x));
dur_cos2 = FWHMI / FWHMIsin2;
mark = abs(x) < dur_cos2/2;
field_cos2(mark) = cos((pi/2)*x(mark)/(dur_cos2/2)).^2;

% plot field profile
figure;
subplot(2, 1, 1); hold on;
axis([min(x), max(x), 0, 1.1]);
plot_vert(-FWHMI/2, 'c--');
plot_vert(FWHMI/2, 'c--');
plot_hori(sqrt(1/2), 'c--');
plot(x, field_gauss, 'r');
plot(x, field_cos2, 'b--');
legend({'', '', '', 'Gaussian', 'cos2'});
% xlabel('t [FWHM]');
ylabel('field');
title('Gaussian vs cos2 profile (lines show FWHMI)');

% plot intensity profile
subplot(2, 1, 2); hold on;
axis([min(x), max(x), 0, 1.1]);
plot_vert(-FWHMI/2, 'c--');
plot_vert(FWHMI/2, 'c--');
plot_hori(1/2, 'c--');
plot(x, field_gauss.^2, 'r');
plot(x, field_cos2.^2, 'b--');
xlabel('t [FWHM]');
ylabel('intensity');


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利