高斯波包

贡献者： addis

本词条处于草稿阶段．

预备知识　波包，高斯分布

图 1：高斯波包（式 1 ），蓝色为实部，红色为虚部，$x_0 = 0$，$A_0 = 1$，$a = 1/20$，$k_0 = 5$．

　　¹高斯波包（Gaussian wave packet）是指轮廓为高斯分布的波包，在光学和量子力学中有重要应用．高斯波包用复函数表示为（$A_0$ 为复数）

\begin{equation} f(x) = A_0 \mathrm{e} ^{-a(x-x_0)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x} \end{equation}

　　 FWHMI（光强半高宽）是多少？即 $f(x)^2$ 大于峰值一半时的宽度．令

\begin{equation} \mathrm{e} ^{-2a\Delta x^2} = 1/2 \end{equation}

得

\begin{equation} \mathrm{FWHMI} = 2\Delta x = \sqrt{\frac{2\ln 2}{a}} \end{equation}

1. 频谱

预备知识　傅里叶变换（指数）

　　（未完成：哪里有介绍频谱的概念？）

　　要求式 1 的傅里叶变换 $g(k)$，由例 1 以及傅里叶变换性质式 13 和式 14 得

\begin{equation} g(k) = A_0\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-\frac{(k-k_0)^2}{4a}\right] \end{equation}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面．

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