高斯波包

贡献者： addis

预备知识 1　波包，高斯分布

图 1：高斯波包（式 1 ），蓝色为实部，红色为虚部，$x_0 = 0$，$A = 1$，$a = 1/20$，$k_0 = 5$。

　　¹高斯波包（Gaussian wave packet）是指轮廓为高斯分布的波包，在光学和量子力学中有重要应用。在光学中，它可以用作激光脉冲的的电场函数；在量子力学中，它常被作为波函数。

　　高斯波包用复函数表示为（$A$ 为复数）

\begin{equation} f(x) = A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x}~, \end{equation}

由于机械波和电磁波的能量密度（光强）都正比于振幅平方，所以我们经常会讨论分布函数 $f(x)^2$ 的性质。

　　 $f(x)^2$ 的方差为（对比式 1 ）

\begin{equation} \sigma^2= \frac{1}{4a}~. \end{equation}

　　 FWHMI（光强半高宽）为 $f(x)^2$

\begin{equation} \mathrm{FWHMI} = \sqrt{\frac{2\ln 2}{a}} = 2\sqrt{2\ln 2}\ \sigma \approx 2.35482\sigma~. \end{equation}

满足 $f^2(\text{FWHMI/2}) = f^2(0)/2$。

　　 $f(x)$ 的积分为（用于求电场矢势）

\begin{equation} \int A \mathrm{e} ^{-a x^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_0 x} \,\mathrm{d}{x} = - \mathrm{i} \frac{A}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) \operatorname{erfi} \left(\frac{k + 2 \mathrm{i} a x}{2 \sqrt{a}} \right) + C~. \end{equation}

$C$ 前面的部分在 $x = \pm \infty$ 处分别为 $\pm\frac{A}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(-\frac{k^2}{4a}\right) $。

频谱

预备知识 2　傅里叶变换（指数）

　　要求式 1 的傅里叶变换 $g(k)$，由例 1 以及傅里叶变换性质式 14 和式 15 得

\begin{equation} g(k) = A\sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left[-\frac{(k-k_0)^2}{4a}\right] ~. \end{equation}

$g(k)^2$ 的半高全宽 FWHMI 为 $2\sqrt{2\ln 2}\sqrt{a} = 2.3548200 \sqrt{a}$。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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