有限深不对称方势阱

             

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  • 需要讨论散射态,即 $E > V_1$ 的两种情况
预备知识 有限深方势阱
图
图 1:一维不对称势阱

   本节我们来解下面的一维不对称势阱的离散谱(图 1 ).

\begin{equation} V(x)=\left\{\begin{aligned} &V_1\quad(x < 0)\\ &0\quad (0 < x < L)\\ &V_2\quad(x > L) \end{aligned}\right. ,\qquad (V_1 < V_2) \end{equation}
对于离散谱,能量 $E$ 需小于无穷远处势能,故 $E < V_1$.

   在 $x < 0$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_1)\psi(x)=0 \end{equation}
满足边界条件 $\psi(-\infty)\to 0$ 的波函数为
\begin{equation} \psi(x)=C_1 e^{\kappa_1 x},\quad \kappa_1=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_1-E)} \end{equation}

   在 $x > L$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_2)\psi(x)=0 \end{equation}
满足边界条件 $\psi(+\infty)\to 0$ 的波函数为
\begin{equation} \psi=C_2 e^{-\kappa_2 x},\quad \kappa_2=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_2-E)} \end{equation}

   在阱内 $0 < x < L$,薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +E\psi(x)=0 \end{equation}
$\psi$ 可取以下形式:
\begin{equation} \psi=C \sin\left(kx+\delta\right) ,\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \end{equation}

   根据势阱边上 $\psi'/\psi$ 的连续性条件,得

\begin{equation} k\cot\delta=\kappa_1=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_1-k^2},\quad k \cot\left(Lk+\delta\right) =-\kappa_2=-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_2-k^2} \end{equation}
\begin{equation} \sin\delta=\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}},\quad \sin\left(kL+\delta\right) =-\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}} \end{equation}
消去 $\delta$ 后,得下列超越方程:
\begin{equation} kL=n\pi-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}}-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}} \end{equation}
其中,$k=1,2,3,\cdots$,反正弦函数取值介于 $0$ 到 $\pi/2$ 之间.上式之根确定了能级 $E=k^2\hbar^2/2m$.对每一个 $n$ 一般来讲只有一个根;$n$ 值按能级的递增次序编号.其左右两边的图像大致如图 2 .

图
图 2:式 11 左右两式对应的函数图像(上层浅红色代表右式,下层浅橘色代表左式),其中 $\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_1}}=0.5,\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_2}}=0.1,n=1$

   由于反正弦函数宗量不能超过 1,$k$ 值显然只能介于 $0$ 到 $\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 之间.式 10 左边随 $k$ 单调增加,右边却随 $k$ 单调减小.因此式 10 有根的必要条件为 $k=\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 时,式 10 右边小于左边.特别是,由 $n=1$ 所得的下列不等式

\begin{equation} L\frac{\sqrt{2mV_1}}{\hbar}\geq\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{\frac{V_1}{V_2}} \end{equation}
给出了阱中至少存在一个能级的条件.由此可见,给定了不相等的 $V_1$ 和 $V_2$ 后,总可以找到一个很窄的阱宽 $L$,使得该阱中不能存在离散能级,图 2 中可看出在 $0 < L < 0.5$ 处式 11 无解.对 $V_1=V_2$ 而言,式 11 总能得到满足.

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