有限深不对称方势阱

贡献者：零穹; addis

本文存在未完成的内容。
需要讨论散射态，即 $E > V_1$ 的两种情况

预备知识　有限深方势阱

图 1：一维不对称势阱

　　本节我们来解下面的一维不对称势阱的离散谱（图 1 ）。

\begin{equation} V(x)=\left\{\begin{aligned} &V_1\quad(x<0)\\ &0\quad (0< x< L)\\ &V_2\quad(x>L) \end{aligned}\right. ,\qquad (V_1 < V_2)~. \end{equation}

对于离散谱，能量 $E$ 需小于无穷远处势能，故 $E< V_1$.

　　在 $x<0$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_1)\psi(x)=0~. \end{equation}

满足边界条件 $\psi(-\infty)\to 0$ 的波函数为

\begin{equation} \psi(x)=C_1 e^{\kappa_1 x},\quad \kappa_1=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_1-E)}~. \end{equation}

　　在 $x>L$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_2)\psi(x)=0~. \end{equation}

满足边界条件 $\psi(+\infty)\to 0$ 的波函数为

\begin{equation} \psi=C_2 e^{-\kappa_2 x},\quad \kappa_2=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_2-E)}~. \end{equation}

　　在阱内 $0 < x < L$，薛定谔方程为

\begin{equation} \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +E\psi(x)=0~. \end{equation}

$\psi$ 可取以下形式：

\begin{equation} \psi=C \sin\left(kx+\delta\right) ,\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}~. \end{equation}

　　根据势阱边上 $\psi'/\psi$ 的连续性条件，得

\begin{equation} k\cot\delta=\kappa_1=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_1-k^2},\quad k \cot\left(Lk+\delta\right) =-\kappa_2=-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_2-k^2}~, \end{equation}

或

\begin{equation} \sin\delta=\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}},\quad \sin\left(kL+\delta\right) =-\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}}~. \end{equation}

消去 $\delta$ 后，得下列超越方程：

\begin{equation} kL=n\pi-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}}-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}}~. \end{equation}

其中，$k=1,2,3,\cdots$，反正弦函数取值介于 $0$ 到 $\pi/2$ 之间。上式之根确定了能级 $E=k^2\hbar^2/2m$。对每一个 $n$ 一般来讲只有一个根；$n$ 值按能级的递增次序编号。其左右两边的图像大致如图 2 .

图 2：式 11 左右两式对应的函数图像（上层浅红色代表右式，下层浅橘色代表左式），其中 $\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_1}}=0.5,\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_2}}=0.1,n=1$

　　由于反正弦函数宗量不能超过 1，$k$ 值显然只能介于 $0$ 到 $\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 之间。式 10 左边随 $k$ 单调增加，右边却随 $k$ 单调减小。因此式 10 有根的必要条件为 $k=\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 时，式 10 右边小于左边。特别是，由 $n=1$ 所得的下列不等式

\begin{equation} L\frac{\sqrt{2mV_1}}{\hbar}\geq\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{\frac{V_1}{V_2}}~. \end{equation}

给出了阱中至少存在一个能级的条件。由此可见，给定了不相等的 $V_1$ 和 $V_2$ 后，总可以找到一个很窄的阱宽 $L$，使得该阱中不能存在离散能级，图 2 中可看出在 $0< L<0.5$ 处式 11 无解。对 $V_1=V_2$ 而言，式 11 总能得到满足。

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