有限深不对称方势阱

贡献者：零穹; addis

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需要讨论散射态，即 $E > V_{1}$ 的两种情况

预备知识　有限深方势阱

图 1：一维不对称势阱

　　本节我们来解下面的一维不对称势阱的离散谱（图 1 ）。

\begin{matrix} (1) & V (x) = {\begin{aligned} V_{1} (x < 0) \\ 0 (0 < x < L) \\ V_{2} (x > L) \end{aligned}, (V_{1} < V_{2}) . \end{matrix}

对于离散谱，能量

E

需小于无穷远处势能，故

E < V_{1}

　　在 $x < 0$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{matrix} (2) & \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + (E - V_{1}) ψ (x) = 0 . \end{matrix}

满足边界条件

ψ (- \infty) \to 0

的波函数为

\begin{matrix} (3) & ψ (x) = C_{1} e^{κ_{1} x}, κ_{1} = \frac{1}{ℏ} \sqrt{2 m (V_{1} - E)} . \end{matrix}

　　在 $x > L$ 区域内的其薛定谔方程为

\begin{matrix} (4) & \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + (E - V_{2}) ψ (x) = 0 . \end{matrix}

满足边界条件

ψ (+ \infty) \to 0

的波函数为

\begin{matrix} (5) & ψ = C_{2} e^{- κ_{2} x}, κ_{2} = \frac{1}{ℏ} \sqrt{2 m (V_{2} - E)} . \end{matrix}

　　在阱内 $0 < x < L$ ，薛定谔方程为

\begin{matrix} (6) & \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ (x)}{d x^{2}} + E ψ (x) = 0 . \end{matrix}

ψ

可取以下形式：

\begin{matrix} (7) & ψ = C \sin (k x + δ), k = \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ} . \end{matrix}

　　根据势阱边上 $ψ^{'} / ψ$ 的连续性条件，得

\begin{matrix} (8) & k \cot δ = κ_{1} = \sqrt{\frac{2 m}{ℏ^{2}} V_{1} - k^{2}}, k \cot (L k + δ) = - κ_{2} = - \sqrt{\frac{2 m}{ℏ^{2}} V_{2} - k^{2}}, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (9) & \sin δ = \frac{k ℏ}{\sqrt{2 m V_{1}}}, \sin (k L + δ) = - \frac{k ℏ}{\sqrt{2 m V_{2}}} . \end{matrix}

消去

δ

后，得下列超越方程：

\begin{matrix} (10) & k L = n π - \arcsin \frac{k ℏ}{\sqrt{2 m V_{1}}} - \arcsin \frac{k ℏ}{\sqrt{2 m V_{2}}} . \end{matrix}

其中，

k = 1, 2, 3, \dots

，反正弦函数取值介于

0

到

π / 2

之间。上式之根确定了能级

E = k^{2} ℏ^{2} / 2 m

。对每一个

n

一般来讲只有一个根；

n

值按能级的递增次序编号。其左右两边的图像大致如图 2 .

图 2：式 11 左右两式对应的函数图像（上层浅红色代表右式，下层浅橘色代表左式），其中

\frac{ℏ}{\sqrt{2 m V_{1}}} = 0.5, \frac{ℏ}{\sqrt{2 m V_{2}}} = 0.1, n = 1

　　由于反正弦函数宗量不能超过 1， $k$ 值显然只能介于 $0$ 到 $\sqrt{2 m V_{1}} / ℏ$ 之间。式 10 左边随 $k$ 单调增加，右边却随 $k$ 单调减小。因此式 10 有根的必要条件为 $k = \sqrt{2 m V_{1}} / ℏ$ 时，式 10 右边小于左边。特别是，由 $n = 1$ 所得的下列不等式

\begin{matrix} (11) & L \frac{\sqrt{2 m V_{1}}}{ℏ} \geq \frac{π}{2} - \arcsin \sqrt{\frac{V_{1}}{V_{2}}} . \end{matrix}

给出了阱中至少存在一个能级的条件。由此可见，给定了不相等的

V_{1}

和

V_{2}

后，总可以找到一个很窄的阱宽

L

，使得该阱中不能存在离散能级，图 2 中可看出在

0 < L < 0.5

处式 11 无解。对

V_{1} = V_{2}

而言，式 11 总能得到满足。

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