刚体定轴转动 转动惯量

             

预备知识 刚体,角动量定理

1. 刚体的绕轴转动

   若刚体绕固定轴转动,那么刚体的位置只需一个变量即可完全确定(一个自由度),我们令该变量为转角 $\theta$.$\theta$ 关于时间 $t$ 的导数就是刚体绕轴旋转的角速度 $\omega$.我们还可以定义角速度 $\omega$ 关于时间的导数(即 $\theta$ 关于时间的二阶导数)为角加速度(angular acceleration),记为 $\alpha$.

   我们可以把刚体的绕轴转动类比质点的直线运动,把 $\theta$,$\omega$ 和 $\alpha$ 分别类比为直线运动中的位置 $x$,速度 $v$ 和 加速度 $a$,因为后三个变量之间的数学关系是完全相同的.于是我们可以立即得到匀变速转动(即 $\alpha$ 为常数)的一些公式,如

\begin{gather} \theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2\\ \omega_1^2 - \omega_0^2 = 2\alpha \theta \end{gather}

   在以上三个标量的基础上,我们可以定义它们的矢量形式 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $,令它们的方向为转轴的方向,用右手定则 来判断.

   要判断刚体上任意一点的速度,使用式 5 即可(见图 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}

图
图 1:刚体绕轴旋转时任意一点的线速度

2. 角动量与转动惯量

   设刚体绕固定轴转动,令轴的方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $.假设轴光滑,则轴对刚体可施加 $x, y$ 两个方向的力矩,却不能施加 $z$ 方向的力矩.所以根据角动量定理(式 1 ),角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的 $z$ 分量 $L_z$ 守恒.我们下面来推导 $L_z$ 与角速度 $\omega$ 的关系.矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的关系见惯性张量

   对于刚体上的单个质点,$L_z = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $.首先把质点的位矢在水平方向和竖直方向分解,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _z + \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$.由于 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 一直沿水平方向,根据叉乘的几何定义,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _z \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 也是沿水平方向,只有 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 沿 $z$ 方向.另外,在圆周运动中,半径始终与速度垂直,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 始终与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 垂直.得出结论

\begin{equation} L_z = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert = m r_ \bot v = mr_ \bot ^2\omega \end{equation}
若把刚体分成无数小块,每小块的质量分别为 $m_i$,离轴的距离 $r_{\bot i} = \sqrt{x_i^2 + y_i^2} $,则刚体的角动量 $z$ 分量为
\begin{equation} L_z = \omega \sum_i m_i r_{ \bot i}^2 \end{equation}
用积分写成
\begin{equation} L_z = \omega \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}

   定义刚体绕固定轴旋转的转动惯量(moment of inertia)

\begin{equation} I = \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
(注意角动量的大小不仅取决于刚体的质量分布,还取决于转轴的位置和方向)则刚体沿轴方向的角动量分量为
\begin{equation} L_z = I \omega \end{equation}

   现在来看 “角动量定理” 的式 1 ,注意等号两边是矢量,所以各个分量必须相等,我们有

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{L_z}}{\mathrm{d}{t}} = \tau_z \end{equation}
式 8 代入式 9 ,并利用角加速度的定义得
\begin{equation} I\alpha = \tau_z \end{equation}
这就是刚体绕轴转动的动力学方程,其形式可类比质点做直线运动时的牛顿第二定律

例 1 物理摆

   如图 2 ,已知质量为 $M$ 的薄片绕某点的转动惯量为 $I$,转轴到刚体质心的长度为 $r_c$,转轴和质心的连线与竖直方向夹角为 $\theta$,求刚体的运动方程.

图
图 2:物理摆

   首先我们把刚体看做质点系,以转轴为原点计算刚体的合力矩为(由于这是一个平面问题,力矩必然垂直于该平面)

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} ) = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \\ &= Mg r_c \sin\theta \end{aligned} \end{equation}
这就说明,刚体所受力矩相当于质量为 $M$,长度为 $r_c$ 的单摆所受的力矩.代入式 10 得刚体摆的运动方程为
\begin{equation} I\ddot \theta = Mg r_c \sin\theta \end{equation}
可以验证当刚体的质量全部集中在质心时($I = Mr_c^2$)我们就得到了单摆的运动方程式 4

习题 1 陀螺进动的角速度

   在 “角动量定理” 的例 1 中,如果除 $r_0, m, g$ 外,还知道陀螺的转动惯量为 $I$ 和陀螺的角速度 $\omega$,试证明陀螺进动的角速度为

\begin{equation} \Omega = \frac{mgr_0}{I\omega} \end{equation}
注意进动角速度与陀螺倾角 $\theta$ 无关.

3. 垂直轴的角动量

   以上的讨论中,我们有意避免讨论垂直轴方向的角动量分量 $L_x, L_y$.一般情况下,我们不能保证他们是守恒的.在一些特殊情况下,例如刚体的形状和质量分布关于转轴呈轴对称,那么容易证明刚体(关于任意固定点)的总角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 只可能延转轴方向,即 $L_x = L_y = 0$ 守恒.

   在一些不对称的情况下,例如一个倾斜的细杆绕转轴旋转,转轴就需要对细杆施加一个不停旋转的力矩,细杆也会对轴施加一个反力矩,这类似于作用力和反作用力,详见 “刚体定轴转动 2 ”.

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