刚体定轴转动的力矩做功、动能、动能定理

                     

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  • 可以与刚体的动能、动能定理整合
  • 可以与刚体定轴转动、转动惯量整合
预备知识 动能 动能定理(单个质点),刚体定轴转动 转动惯量

1. 定轴转动的动能、动能定理

   先以定轴转动的平面圆盘为例,计算刚体定轴转动的动能.

图
图 1:定轴转动的圆盘

   假设该圆盘由若干小块组成,则系统的总动能为各质点的动能之和:

\begin{equation} E_k=\sum E_{k,i}=\sum \frac{1}{2} \Delta m v_i^2=\frac{1}{2} \sum \Delta m (\omega r_i)^2=\frac{1}{2} \omega^2 \sum \Delta m r_i^2 \end{equation}
当每一小块足够小时,可以用积分代替累加.
\begin{equation} E_k=\frac{1}{2} \omega^2 \int r_i^2 \,\mathrm{d}{m} \end{equation}
其中 $\int r_i^2 \,\mathrm{d}{m} $ 即被定义为转动惯量 I

   因此

\begin{equation} E_k=\frac{1}{2} I \omega^2 \end{equation}

  

未完成:直接用质点组计算刚体绕轴转动的动能,对比质点运动的能量.
未完成:为什么定轴转动时力矩对刚体做功等于 $\tau \theta$?功率等于 $\tau\omega$

例 1 物理摆的角速度

  

未完成:在上面两个例题中计算给定夹角 $\theta$ 的角速度,使用动能定理计算,说明刚体的势能就是质心的势能.


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