刚体

             

预备知识 质心,自由度

   当我们要考虑一个物体的质量分布带来的力学效应时,就不能再将其简化为一个质点.许多情况下我们考虑的物体在某过程中形变较小可忽略不计,这时我们就可以忽略它运动过程中的的任何形变,从而大大简化问题.我们把这种模型叫做刚体.在分析刚体时,我们通常把刚体看做是质点系.要这么做,我们可以把刚体划分为无限多个体积无限小的微元,再把每个微元近似为一个质量相同的质点即可.

1. 刚体的自由度

   在没有任何约束的情况下,三维空间中每个质点有 3 个自由度,即用三个完全独立的变量才能完全确定位置,所以 $N$ 个质点组成的质点系共有 $3N$ 个自由度.然而完全确定一个刚体的位置只需要 6 个变量,这是因为刚体模型通过假设 “任意两个质点之间距离不变”,给质点系的位置施加了 $3N - 6$ 个约束条件.如何得出 6 个自由度呢?我们可以假设第一个质点有 3 个自由度,第二个质点由于要与第一个质点保持距离不变,只有 $3 - 1 = 2$ 个自由度,而第三个质点要与前两个质点保持距离不变,只有 $3 - 2 = 1$ 个自由度.有了前三个质点后(假设它们不共线),剩下所有质点的位置都可以由与这三个质点的距离确定,所以任何刚体都有 $3 + 2 + 1 = 6$ 个自由度.

   我们也可以这么划分 6 个自由度:令其中 3 个决定刚体上某点的位置,2 个决定该点到刚体上另一点的矢量的方向(球坐标中的两个角度),最后一个决定刚体绕该矢量旋转的角度.

   若刚体只能绕固定点旋转,那么刚体就只有 3 个转动自由度.若在此基础上,刚体只能绕固定轴旋转,那它就只剩一个自由度了(转过的角度).

2. 刚体的运动

   如果已知刚体的受力(可以关于时间变化),如何计算刚体的运动呢?我们可以分别计算刚体所受的所有外力的矢量和,称为合外力,以及所有外力关于刚体质心质心的矢量和,称为合外力矩.然后通过质点系的动量定理,角动量定理角动量定理以及刚体的刚体的转动惯量或者惯性张量就可以得到刚体在每个时刻的姿态.

   如果刚体在旋转过程中转轴始终保持在同一个方向,那么计算过程将十分简单,因为不需要使用惯性张量,具体过程见 “刚体的平面运动方程”.但如果刚体转动时转轴可能发生改变,那么就必须使用惯性张量和参考系变换,使计算更为复杂,详见 “刚体的运动方程”.

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