单摆

             

预备知识 简谐振子,匀速圆周运动

   理想的单摆由一个质点和一个质量不计的细绳(或细杆)组成.绳的一头连接质点,另一头固定不动.我们来对单摆做受力分析.如图 1 ,令质点质量为 $m$,受重力大小为 $mg$,受绳的拉力大小为 $T$.将重力沿与绳平行的方向和垂直的方向正交分解,分力大小分别为 $mg\cos\theta$ 和 $mg\sin\theta$.由于绳的限制,质点只允许做圆周运动,所以绳的拉力与重力平行绳的分量必然提供质点的向心力.

\begin{equation} T - mg\cos\theta = ma_c \end{equation}
对于变速圆周运动,向心加速度仍然可以用 $a_c = v^2/L$ 求解,其中 $L$ 是绳长即圆的半径(证明见 “变速圆周运动”).在求单摆运动时,拉力 $T$ 的大小并不重要,我们更关心的是摆角 $\theta$ 随时间的变化.

图
图 1:单摆

   令质点向右运动时速度为正,角速度和速度的关系为 $\dot\theta = v/L$,对其两边求导得角加速度和加速度的关系

\begin{equation} \ddot\theta = a_\theta/L \end{equation}
其中 $a_\theta$ 是质点延垂直绳方向的加速度.现在沿垂直绳方向运用牛顿第二定律,并代入上式中的 $a_\theta$ 得
\begin{equation} -mg\sin\theta = ma_\theta = -m\ddot\theta L \end{equation}
两边消去质量可得摆角 $\theta$ 关于时间的二阶微分方程.
\begin{equation} L\ddot\theta = - g\sin\theta \end{equation}
解出该方程即可得到单摆做任意幅度摆动的规律.虽然我们还不知道方程的解,但观察方程可知单摆的运动规律只与摆长 $L$ 和重力加速度 $g$ 有关,而与质点的质量无关.所以改变同一单摆的质量不会改变它的运动规律.

1. 小幅度摆动

预备知识 小角正弦值极限

   遗憾的是,式 4 的解并不能用有限个基本初等函数表示,而是需要使用椭圆积分.我们先来考虑一种简单的情况,即单摆进行小的幅度摆动.当 $\theta \to 0$ 时,可以把式 4 中的 $\sin\theta$ 近似为 $\theta$.令质点从最低点到当前位置之间的弧长为 $s$,则有 $s = \theta L$ 和 $\ddot s = a_\theta = \ddot\theta L$,式 4 变为 $s$ 的微分方程

\begin{equation} \ddot s = - \frac gL s \end{equation}
观察该式可以发现其结构与简谐振子的微分方程(式 1 )非常相似.用同样的方法,可得通解为
\begin{equation} s = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{g/L} \right) \end{equation}
考虑到 $\theta \to 0$ 的情况下,圆弧可以近似为线段,所以可以认为此时质点在做一维简谐运动,用坐标 $x$ 代替弧长 $s$.

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