单摆

贡献者： addis

预备知识 1　简谐振子，匀速圆周运动

　　理想的单摆由一个质点和一个质量不计的细绳（或细杆）组成。绳的一头连接质点，另一头固定不动。我们来对单摆做受力分析。如图 1 ，令质点质量为 $m$，受重力大小为 $mg$，受绳的拉力大小为 $T$。将重力沿与绳平行的方向和垂直的方向正交分解，分力大小分别为 $mg\cos\theta$ 和 $mg\sin\theta$。由于绳的限制，质点只允许做圆周运动，所以绳的拉力与重力平行绳的分量必然提供质点的向心力。

\begin{equation} T - mg\cos\theta = ma_c~. \end{equation}

对于变速圆周运动，向心加速度仍然可以用 $a_c = v^2/L$ 求解，其中 $L$ 是绳长即圆的半径（证明见 “变速圆周运动”）。在求单摆运动时，拉力 $T$ 的大小并不重要，我们更关心的是摆角 $\theta$ 随时间的变化。

图 1：单摆

　　令质点向右运动时速度为正，角速度和速度的关系为 $\dot\theta = v/L$，对其两边求导得角加速度和加速度的关系

\begin{equation} \ddot\theta = a_\theta/L~, \end{equation}

其中 $a_\theta$ 是质点延垂直绳方向的加速度。现在沿垂直绳方向运用牛顿第二定律，并代入上式中的 $a_\theta$ 得

\begin{equation} -mg\sin\theta = ma_\theta = m\ddot\theta L~, \end{equation}

两边消去质量可得摆角 $\theta$ 关于时间的二阶微分方程。

\begin{equation} L\ddot\theta = - g\sin\theta~. \end{equation}

解出该方程即可得到单摆做任意幅度摆动的规律。虽然我们还不知道方程的解，但观察方程可知单摆的运动规律只与摆长 $L$ 和重力加速度 $g$ 有关，而与质点的质量无关。所以改变同一单摆的质量不会改变它的运动规律。

　　遗憾的是，式 4 的解并不能用有限个基本初等函数表示，而是需要使用椭圆积分，有兴趣的读者可参考 “单摆（大摆角）”。我们一般考虑的是一种简单的近似，即单摆进行小的幅度摆动。

1. 小幅度摆动

预备知识 2　小角值极限

　　当 $\theta \to 0$ 时，可以把式 4 中的 $\sin\theta$ 近似为 $\theta$。令质点从最低点到当前位置之间的弧长为 $s$，则有 $s = \theta L$ 和 $\ddot s = a_\theta = \ddot\theta L$，式 4 变为 $s$ 的微分方程

\begin{equation} \ddot s = - \frac gL s~, \end{equation}

观察该式可以发现其结构与简谐振子的微分方程（式 1 ）非常相似。用同样的方法，可得通解为

\begin{equation} s = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \qquad \left(\omega = \sqrt{g/L} \right) ~. \end{equation}

考虑到 $\theta \to 0$ 的情况下，圆弧可以近似为线段，所以可以认为此时质点在做一维简谐运动，用坐标 $x$ 代替弧长 $s$。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。