质心 质心系

             

预备知识 体积分,质点系

1. 质心的定义

   质心(center of mass)通俗来讲可以理解为质量的中心,是系统中各个质点的位置矢量关于质量的加权平均值.我们先看几个例子.

2. 两个等质量质点的质心

   对于两个质量相等的质点,它们的质心显然在它们连线的中点处,无论它们的质量是多少.如果它们都在 $x$ 轴上,则质心的位置就是两质点 $x$ 坐标的中点

\begin{equation} x_c = (x_1 + x_2)/2 \end{equation}
其中角标 c 表示 center of mass,有时候也会写做 CM.

   在二维和三维空间的情况下,质点的位置用位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 描述,将它们的位置矢量分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$,则质心的位置为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)/2 \end{equation}
即两个位置矢量的平均值.

3. 两个不同质量质点的质心

   当两个质点质量不一样时(分别记为 $m_1$ 和 $m_2$),质心会更靠近更重的质点.如果它们都在 $x$ 轴上,我们就用加权平均值

\begin{equation} x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \end{equation}
注意 $m_1 = m_2$ 就得到了式 1 .另一个极端是当一个质量远大于另一个,如 $m_1 \gg m_2$,这时质心就趋近于 $x_1$ 了.

   二维和三维空间的情况下也类似有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{m_1 + m_2} \end{equation}
当 $m_1 = m_2$ 就得到式 2

习题 1 

   证明两质点的质心必定在其连线上,即 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 共线.

习题 2 

   试证明式 4 中质心到两质点的距离与它们的质量成反比,即

\begin{equation} \frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \right\rvert } = \frac{m_2}{m_1} \end{equation}

4. 质点系的质心

   若质点系中有 $N$ 个质点,令第 $i$ 个质点质量为 $m_i$,位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,总质量为 $M = \sum\limits_i m_i$,则该质点系的质心定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}

   在直角坐标系中,我们可以将上式的矢量求和分解为对 $x, y, z$ 方向的分量分别求和(因为矢量相加等于两个分量分别相加).令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = x_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,即矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$,有

\begin{equation} x_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i x_i \qquad y_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i y_i \qquad z_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i z_i \end{equation}

例 1 

   空间直角坐标系中四个质点质量分别为 $1 \,\mathrm{kg} $,$2 \,\mathrm{kg} $,$3 \,\mathrm{kg} $,$4 \,\mathrm{kg} $,坐标分别为 $(0, 0, 0)$,$(1, 0, 0)$,$(0, 2, 0)$,$(0, 0, 3)$(单位:米).求该系统质心的位置.

   解:系统总质量为 $10 \,\mathrm{kg} $,直接使用式 7

\begin{equation} x_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 1 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac15 \,\mathrm{m} \end{equation}
\begin{equation} y_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 2 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac35 \,\mathrm{m} \end{equation}
\begin{equation} z_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 3 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac65 \,\mathrm{m} \end{equation}
所以质心的坐标为 $(1/5, 3/5, 6/5)$(单位:米).

5. 质心的分解

   若我们把质点系划分为若干组,可以先计算每组的质心,再计算 “质心的质心” 就可以得到系统的总质心.我们举例说明

例 2 

   令四个质点中的前两个为 $a$ 组,后两个为 $b$ 组,则它们的质心分别为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _a = (m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)/M_a \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _b = (m_3 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 + m_4 \boldsymbol{\mathbf{r}} _4)/M_b \end{equation}
其中 $M_a = m_1 + m_2$,$M_b = m_3 + m_4$.再计算 “质心的质心” 得整个系统的质心为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{M_a \boldsymbol{\mathbf{r}} _a + M_b \boldsymbol{\mathbf{r}} _b}{M_a + M_b} = \frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 + m_3 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 + m_4 \boldsymbol{\mathbf{r}} _4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4} \end{equation}
这个结果符合式 6

习题 3 

图
图 1:求质心

   边长为 $2L$ 的大正方形和边长为 $L$ 的小正方形拼接在一起,假设密度均匀,求拼接后物体的质心(提示:可以分别求出两正方形的质心在求 “质心的质心”).

习题 4 

图
图 2:求质心

   如图 2 所示,一个半径为 $R$ 的圆盘中间挖去一个半径为 $r$ 的圆盘,两圆心距离为 $d$,假设密度均匀,求该物体质心(提示:我们可以把该形状看成一个完整的圆盘和一个具有 “负质量” 的小圆盘叠加而成的,分别计算二者的质心再计算 “质心的质心”).

6. 质心与重心

   质心在物理中有什么用呢?一个基本的应用就是质心就是物体的重心.我们只讨论恒定重力场中物体的重心.其定义是:若重力场对物体关于某点的合力矩恒为 0,这个点就是它的重心.“合力矩为零” 意味着,如果物体初始时以任意姿态静止,那么它将一直保持静止.虽然我们还没系统学习力矩,但可以用初中学过的 “力乘力臂” 进行计算(式 1 ).

例 3 

   轻杆1两端有质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的小球,轻杆可以绕系统质心在竖直平面上自由转动.试证明重力对系统的力矩恒为 0.

图
图 3:轻杆与两小球

   解:以逆时针为正,合力矩为

\begin{equation} M = r_1 m_1 g \cos\theta - r_2 m_2 g \cos\theta = (r_1 m_1 - r_2 m_2) g \cos\theta \end{equation}
式 5 ,括号中两项相等,所以无论 $\theta$ 去何值,合力矩都为 0.

   我们把一般性的证明留到 “重心” 中.

7. 连续质量分布

   对连续质量分布,令密度关于位置的函数为 $\rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,总质量为密度的体积分

\begin{equation} M = \int \rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
要计算质心,我们可以把整个物体划分为许多小块(微元),如果每一块都很小,我们可以假设第 $i$ 块的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,密度为常数 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$,体积为 $\Delta V_i$,所以质量为 $\Delta m_i = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \Delta V_i$.我们把每个小块都用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 处的一个质量为 $\Delta m_i$ 的质点来代替,那么质心为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M} \sum_i \Delta m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \frac{1}{M} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \Delta V_i \end{equation}
当所有的微元的体积都趋近于零时,我们就可以将该式用体积分表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M}\int \boldsymbol{\mathbf{r}} \rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} \end{equation}

   这个积分中的被积函数是矢量,结果也是矢量,该如何计算呢?答案就是像式 7 那样分别对矢量的每个分量积分,得到结果的每个分量(可见求和具有的性质,积分通常也有).

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_c &= \frac{1}{M}\iiint x \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\ y_c &= \frac{1}{M}\iiint y \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\ z_c &= \frac{1}{M}\iiint z \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \end{aligned}\right. \end{equation}

   如果要计算的物体是一个厚度可以忽略不计的薄片,令 $\sigma( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为面密度(单位面积的质量),我们就可以用面积分代替体积分.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M}\int \boldsymbol{\mathbf{r}} \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{S} \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_c &= \frac{1}{M}\iint x \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\ y_c &= \frac{1}{M}\iint y \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \end{aligned}\right. \end{equation}

例 4 长方形的质心

   在平面直角坐标系中,长方形均匀薄片的 4 个点分别为 $(0, 0)$,$(a, 0)$,$(a, b)$,$(b, 0)$,面密度 $\sigma$ 为常数,试计算其质心.

   解:长方形的总质量为 $M = ab \sigma$.使用式 18 (分别对矢量的两个分量积分)得

\begin{equation} x_c = \frac{1}{ab \sigma} \int_0^b \int_0^a x \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} = \frac{1}{a} \int_0^a x \,\mathrm{d}{x} = \frac{a}{2} \end{equation}
\begin{equation} y_c = \frac{1}{ab \sigma} \int_0^b \int_0^a y \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} = \frac{1}{b} \int_0^b y \,\mathrm{d}{y} = \frac{b}{2} \end{equation}
可见质心的坐标为 $(a/2, b/2)$,恰好在长方形的中心.

   我们再补充两个例子用于练习积分的运算

例 5 三角形的质心

   在平面直角坐标系中,三角形均匀薄片的 3 个点分别为 $(-a, 0)$,$(b, 0)$,$(0, c)$.试计算其质心.

   解:令面密度 $\sigma$ 为常数,则总质量为 $M = (a+b)c \sigma / 2$.两条斜边的直线方程分别为

\begin{equation} x = f_1(y) = a(y-c)/c \qquad x = f_2(y) = b(c-y)/c \end{equation}
做面积分得(先积 $x$ 再积 $y$)
\begin{equation} \begin{aligned} x_c &= \frac{2}{(a+b)c \sigma} \int_0^c \int_{f_1(y)}^{f_2(y)} x \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\ &= \frac{1}{(a+b)c} \int_0^c [f_2^2(y) - f_1^2(y)] \,\mathrm{d}{y} = \frac{b - a}{3} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} y_c &= \frac{2}{(a+b)c \sigma} \int_0^c \int_{f_1(y)}^{f_2(y)} y \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\ &= \frac{2}{(a+b)c} \int_0^c [f_2(y) - f_1(y)] y \,\mathrm{d}{y} = \frac{c}{3} \end{aligned} \end{equation}
不难发现,这就是初中所学的三角形的重心,即底边中线的三等分点,或三条中线的交点.

   由于质点系的积分和求和具有同样的性质,在以下的证明中,我们只需对质点系加以证明,结论对于连续质量分布的物体也同样适用.

8. 质心的唯一性

   既然质心的定义取决于参考系(因为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 取决于参考系),那么不同参考系中计算出的质心是否是空间中的同一点呢?例如将例 4 中的长方形平移 $\Delta s$,质心是否也会平移 $\Delta s$?我们只需要证明,在 $A$ 坐标系中得到的质心 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac}$ 与 $B$ 坐标系中得到的质心 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc}$ 满足关系

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB}$ 是 $A$ 系原点指向 $B$ 系原点的矢量.首先根据定义
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi} \end{equation}
由位矢的坐标系变换,$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi}$,所以
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \frac{1}{M}\sum_i m_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi}) = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \frac{1}{M} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc} \end{equation}

9. 质心参考系

   定义质点系的质心参考系(或质心系)为原点固定在质心上且没有转动的参考系(平动参考系).根据质心的唯一性(式 25 ),在质心系中计算质心(式 6 )仍然落在原点,即

\begin{equation} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci}$ 是质心系中质点 $i$ 的位矢.

   注意质心系并不一定是惯性系,只有当合外力为零质心做匀速直线运动时,质心系才是惯性系.在非惯性系中,每个质点受惯性力.

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10. 质心系中总动量

   把式 28 两边对时间求导,得

\begin{equation} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _{ci} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
注意到等式左边是质心系中质点系的总动量,所以我们得到质心系的一个重要特点,质心系中总动量为零


1. ^ 轻杆是指质量可忽略不计的杆

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