贡献者： addis; ACertainUser
1. 质心的定义
质心（center of mass）通俗来讲可以理解为一个系统的质量中心，是系统中位置矢量关于质量的加权平均值}。本文主要通过几个例子引入质心的定义，至于为什么要这么定义，以及质心和物体受力平衡之间的联系则留到以后（例 5 给出了一个初步的思考）。
例 1 两个等质量质点的质心
图 1：两个等质量质点的质心
对于两个质量相等的质点，它们的质心理应定义在它们连线的中点处，无论它们的质量是多少。如果它们都在 $x$ 轴上，则质心的位置就是两质点 $x$ 坐标的中点
\begin{equation}
x_c = (x_1 + x_2)/2~.
\end{equation}
其中角标 c 表示 center of mass，有时候也会写做 CM。
在二维平面和三维空间中，质点的位置用位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 描述，将它们的位置矢量分别记为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$，则质心的位置为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)/2~,
\end{equation}
即两个位置矢量的平均值。根据几何矢量相加的平行四边形法则，质心就在两个质点连线的中点。
同时我们得到了一个有点反直觉的结论：质心未必在物体自己之内。
例 2 两个不同质量质点的质心
图 2：两个不同质量质点的质心
当两个质点质量不一样时（分别记为 $m_1$ 和 $m_2$），质心应该更靠近更重的质点。如果它们都在 $x$ 轴上，我们就用加权平均值
\begin{equation}
x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}~.
\end{equation}
当一个质量远大于另一个，如 $m_1 \gg m_2$，这时质心就趋近于 $x_1$ 了。反之，若 $m_1 = m_2$，则式 3 化为式 1 。
二维平面和三维空间的情况下也类似有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2}{m_1 + m_2}~,
\end{equation}
当 $m_1 = m_2$ 就得到
式 2 。
习题 1
- 证明两质点的质心必定在其连线上，即 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c$ 共线。
- 试证明式 4 中质心到两质点的距离与它们的质量成反比，即
\begin{equation}
\frac{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \right\rvert }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \right\rvert } = \frac{m_2}{m_1}~.
\end{equation}
2. 质点系的质心
我们可以把式 4 推广至具有 $N$ 个质点的系统的情况。若质点系中有 $N$ 个质点，令第 $i$ 个质点质量为 $m_i$，位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，总质量为 $M = \sum\limits_i m_i$，则该质点系的质心定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 + m_3 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 +... }{m_1 + m_2 +m_3+...}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i~.
\end{equation}
在直角坐标系中，我们可以将上式的矢量求和分解为对 $x, y, z$ 方向的分量分别求和（矢量相加等于每个分量分别相加）。令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = x_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，即矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 的坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$，有
\begin{equation}
x_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i x_i ~,\qquad
y_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i y_i ~,\qquad
z_c = \frac{1}{M}\sum_i m_i z_i~.
\end{equation}
例 3
空间直角坐标系中四个质点质量分别为 $1 \,\mathrm{kg} $，$2 \,\mathrm{kg} $，$3 \,\mathrm{kg} $，$4 \,\mathrm{kg} $，坐标分别为 $(0, 0, 0)$，$(1, 0, 0)$，$(0, 2, 0)$，$(0, 0, 3)$（单位：米）。求该系统质心的位置。
解：系统总质量为 $10 \,\mathrm{kg} $，直接使用式 7 得
\begin{equation}
x_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 1 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac15 \,\mathrm{m} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
y_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 2 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac35 \,\mathrm{m} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
z_c = \frac{1}{10 \,\mathrm{kg} } (0 \,\mathrm{m} \times 1 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 2 \,\mathrm{kg} + 0 \,\mathrm{m} \times 3 \,\mathrm{kg} + 3 \,\mathrm{m} \times 4 \,\mathrm{kg} ) = \frac65 \,\mathrm{m} ~,
\end{equation}
所以质心的坐标为 $(1/5, 3/5, 6/5)$（单位：米）。
3. 质心的分解
若我们把质点系划分为若干组，可以先计算每组的质心，再计算 “质心的质心” 就可以得到系统的总质心。我们举例说明
例 4
令四个质点中的前两个为 $a$ 组，后两个为 $b$ 组，则它们的质心分别为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _a = (m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)/M_a~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{r}} _b = (m_3 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 + m_4 \boldsymbol{\mathbf{r}} _4)/M_b~.
\end{equation}
其中 $M_a = m_1 + m_2$，$M_b = m_3 + m_4$。再计算 “质心的质心” 得整个系统的质心为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{M_a \boldsymbol{\mathbf{r}} _a + M_b \boldsymbol{\mathbf{r}} _b}{M_a + M_b} = \frac{m_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + m_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 + m_3 \boldsymbol{\mathbf{r}} _3 + m_4 \boldsymbol{\mathbf{r}} _4}{m_1 + m_2 + m_3 + m_4}~,
\end{equation}
这个结果符合
式 6 。
习题 2
图 3：求质心
边长为 $2L$ 的大正方形和边长为 $L$ 的小正方形拼接在一起，假设密度均匀，求拼接后物体的质心（提示：可以分别求出两正方形的质心再求 “质心的质心”）。
习题 3
图 4：求质心
如图 4 所示，一个半径为 $R$ 的圆盘中间挖去一个半径为 $r$ 的圆盘，两圆心距离为 $d$，假设密度均匀，求该物体质心（提示：我们可以把该形状看成一个完整的圆盘和一个具有 “负质量” 的小圆盘叠加而成的，分别计算二者的质心再计算 “质心的质心”）。
4. 质心与重心
质心在物理中有什么用呢？一个基本的应用就是恒定重力场中质心就是物体的重心。
重心的定义是：若重力场对物体关于某点的合力矩恒为 0，这个点就是它的重心。合力矩为零意味着，如果物体初始时以任意姿态静止，那么它将一直保持静止。虽然我们还没系统学习力矩，但可以用初中学过的 “力乘力臂” 进行计算（式 1 ）。
例 5
轻杆1两端有质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$ 的小球，轻杆可以绕系统质心在竖直平面上自由转动。试证明重力对系统的力矩恒为 0。
图 5：轻杆与两小球
解：以逆时针为正，合力矩为
\begin{equation}
M = r_1 m_1 g \cos\theta - r_2 m_2 g \cos\theta = (r_1 m_1 - r_2 m_2) g \cos\theta~.
\end{equation}
由
式 5 ，括号中两项相等，所以无论 $\theta$ 取何值，合力矩都为 0。
然而在现实中，杆是有粗细和质量的，如果像图 5 那样只用一个尖端从下面支撑，那么会导致重心略高于支点，这样的平衡是不稳定的，导致杆总是向某一侧倾斜。这就好比用针尖平衡一个小球不能形成稳定平衡。反之如果在杆的重心处或其略上方穿孔并安装转轴，那么就能达到稳定平衡。
我们把一般性的证明留到 “重心” 中。
5. 连续质量分布
对连续质量分布，令密度关于位置的函数为 $\rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，总质量为密度的体积分
\begin{equation}
M = \int \rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
要计算质心，我们可以把整个物体划分为许多小块（微元），如果每一块都很小，我们可以假设第 $i$ 块的位置为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$，密度为常数 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)$，体积为 $\Delta V_i$，所以质量为 $\Delta m_i = \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \Delta V_i$。我们把每个小块都用 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 处的一个质量为 $\Delta m_i$ 的质点来代替，那么质心为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M} \sum_i \Delta m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i = \frac{1}{M} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \Delta V_i~.
\end{equation}
当所有的微元的体积都趋近于零时，我们就可以将该式用
体积分表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M}\int \boldsymbol{\mathbf{r}} \rho ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~.
\end{equation}
这个积分中的被积函数是矢量，结果也是矢量，该如何计算呢？答案就是像式 7 那样分别对矢量的每个分量积分，得到结果的每个分量（可见求和具有的性质，积分通常也有）。
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_c &= \frac{1}{M}\iiint x \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\
y_c &= \frac{1}{M}\iiint y \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} \\
z_c &= \frac{1}{M}\iiint z \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z}
\end{aligned}\right. ~
\end{equation}
如果要计算的物体是一个厚度可以忽略不计的薄片，令 $\sigma( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为面密度（单位面积的质量），我们就可以用面积分代替体积分。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _c = \frac{1}{M}\int \boldsymbol{\mathbf{r}} \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{S} ~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x_c &= \frac{1}{M}\iint x \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\
y_c &= \frac{1}{M}\iint y \sigma ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
\end{aligned}\right. ~\end{equation}
例 6 长方形的质心
在平面直角坐标系中，长方形均匀薄片的 4 个点分别为 $(0, 0)$，$(a, 0)$，$(a, b)$，$(b, 0)$，面密度 $\sigma$ 为常数，试计算其质心。
解：长方形的总质量为 $M = ab \sigma$。使用式 18 （分别对矢量的两个分量积分）得
\begin{equation}
x_c = \frac{1}{ab \sigma} \int_0^b \int_0^a x \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
= \frac{1}{a} \int_0^a x \,\mathrm{d}{x} = \frac{a}{2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
y_c = \frac{1}{ab \sigma} \int_0^b \int_0^a y \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}
= \frac{1}{b} \int_0^b y \,\mathrm{d}{y} = \frac{b}{2}~,
\end{equation}
可见质心的坐标为 $(a/2, b/2)$，恰好在长方形的中心。
我们再补充两个例子用于练习积分的运算
例 7 三角形的质心
在平面直角坐标系中，三角形均匀薄片的 3 个点分别为 $(-a, 0)$，$(b, 0)$，$(0, c)$。试计算其质心。
解：令面密度 $\sigma$ 为常数，则总质量为 $M = (a+b)c \sigma / 2$。两条斜边的直线方程分别为
\begin{equation}
x = f_1(y) = a(y-c)/c~,
\qquad
x = f_2(y) = b(c-y)/c~.
\end{equation}
做面积分得（先积 $x$ 再积 $y$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_c &= \frac{2}{(a+b)c \sigma} \int_0^c \int_{f_1(y)}^{f_2(y)} x \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\
&= \frac{1}{(a+b)c} \int_0^c [f_2^2(y) - f_1^2(y)] \,\mathrm{d}{y} = \frac{b - a}{3}~,
\end{aligned} \end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
y_c &= \frac{2}{(a+b)c \sigma} \int_0^c \int_{f_1(y)}^{f_2(y)} y \sigma \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \\
&= \frac{2}{(a+b)c} \int_0^c [f_2(y) - f_1(y)] y \,\mathrm{d}{y} = \frac{c}{3}~.
\end{aligned} \end{equation}
不难发现，这就是初中所学的三角形的重心，即底边中线的三等分点，或三条中线的交点。
由于质点系的积分和求和具有同样的性质，在以下的证明中，我们只需对质点系加以证明，结论对于连续质量分布的物体也同样适用。
6. 质心的唯一性
质心的定义（式 6 ）看似取决于参考系（因为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$ 取决于参考系），那么不同参考系中计算出的质心是否是空间中的同一点呢？例如将例 6 中的长方形平移 $\Delta s$，质心是否也会平移 $\Delta s$？我们只需要证明，在 $A$ 坐标系中得到的质心 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac}$ 与 $B$ 坐标系中得到的质心 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc}$ 满足关系
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc}~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB}$ 是 $A$ 系原点指向 $B$ 系原点的矢量。首先根据定义
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}~, \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc} = \frac{1}{M}\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi} ~.
\end{equation}
由位矢的坐标系变换，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi}$，所以
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ac} = \frac{1}{M}\sum_i m_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi}) = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \frac{1}{M} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bi} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{AB} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Bc}~.
\end{equation}
1. ^ 轻杆是指质量可忽略不计的杆
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