质心的定义

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识 1　质点系，

1. 质心的定义

　　 质心（center of mass）通俗来讲可以理解为一个系统的质量中心，是系统中位置矢量关于质量的加权平均值}。本文主要通过几个例子引入质心的定义，至于为什么要这么定义，以及质心和物体受力平衡之间的联系则留到以后（例 5 给出了一个初步的思考）。

例 1　两个等质量质点的质心

图 1：两个等质量质点的质心

　　对于两个质量相等的质点，它们的质心理应定义在它们连线的中点处，无论它们的质量是多少。如果它们都在 $x$ 轴上，则质心的位置就是两质点 $x$ 坐标的中点

\begin{matrix} (1) & x_{c} = (x_{1} + x_{2}) / 2 . \end{matrix}

其中角标 c 表示 center of mass，有时候也会写做 CM。

　　在二维平面和三维空间中，质点的位置用位置矢量 $r$ 描述，将它们的位置矢量分别记为 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，则质心的位置为

\begin{matrix} (2) & r_{c} = (r_{1} + r_{2}) / 2, \end{matrix}

即两个位置矢量的平均值。根据几何矢量相加的平行四边形法则，质心就在两个质点连线的中点。

　　同时我们得到了一个有点反直觉的结论：质心未必在物体自己之内。

例 2　两个不同质量质点的质心

图 2：两个不同质量质点的质心

　　当两个质点质量不一样时（分别记为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ ），质心应该更靠近更重的质点。如果它们都在 $x$ 轴上，我们就用加权平均值

\begin{matrix} (3) & x_{c} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

　　当一个质量远大于另一个，如 $m_{1} ≫ m_{2}$ ，这时质心就趋近于 $x_{1}$ 了。反之，若 $m_{1} = m_{2}$ ，则式 3 化为式 1 。

　　二维平面和三维空间的情况下也类似有

\begin{matrix} (4) & r_{c} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \end{matrix}

当

m_{1} = m_{2}

就得到式 2 。

习题 1　

证明两质点的质心必定在其连线上，即 $r_{1} - r_{c}$ 和 $r_{2} - r_{c}$ 共线。
试证明式 4 中质心到两质点的距离与它们的质量成反比，即
$\begin{matrix} (5) & \frac{| r_{1} - r_{c} |}{| r_{2} - r_{c} |} = \frac{m_{2}}{m_{1}} . \end{matrix}$

2. 质点系的质心

　　我们可以把式 4 推广至具有 $N$ 个质点的系统的情况。若质点系中有 $N$ 个质点，令第 $i$ 个质点质量为 $m_{i}$ ，位置为 $r_{i}$ ，总质量为 $M = \sum_{i} m_{i}$ ，则该质点系的质心定义为

\begin{matrix} (6) & r_{c} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2} + m_{3} r_{3} + . . .}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + . . .} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} r_{i} . \end{matrix}

　　在直角坐标系中，我们可以将上式的矢量求和分解为对 $x, y, z$ 方向的分量分别求和（矢量相加等于每个分量分别相加）。令 $r_{i} = x_{i} \hat{x} + y_{i} \hat{y} + z_{i} \hat{z}$ ，即矢量 $r_{i}$ 的坐标为 $(x_{i}, y_{i}, z_{i})$ ，有

\begin{matrix} (7) & x_{c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} x_{i}, y_{c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} y_{i}, z_{c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} z_{i} . \end{matrix}

例 3　

　　空间直角坐标系中四个质点质量分别为 $1 kg$ ， $2 kg$ ， $3 kg$ ， $4 kg$ ，坐标分别为 $(0, 0, 0)$ ， $(1, 0, 0)$ ， $(0, 2, 0)$ ， $(0, 0, 3)$ （单位：米）。求该系统质心的位置。

　　解：系统总质量为 $10 kg$ ，直接使用式 7 得

\begin{matrix} (8) & x_{c} = \frac{1}{10 kg} (0 m \times 1 kg + 1 m \times 2 kg + 0 m \times 3 kg + 0 m \times 4 kg) = \frac{1}{5} m, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & y_{c} = \frac{1}{10 kg} (0 m \times 1 kg + 0 m \times 2 kg + 2 m \times 3 kg + 0 m \times 4 kg) = \frac{3}{5} m, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & z_{c} = \frac{1}{10 kg} (0 m \times 1 kg + 0 m \times 2 kg + 0 m \times 3 kg + 3 m \times 4 kg) = \frac{6}{5} m, \end{matrix}

所以质心的坐标为

(1 / 5, 3 / 5, 6 / 5)

（单位：米）。

3. 质心的分解

　　若我们把质点系划分为若干组，可以先计算每组的质心，再计算 “质心的质心” 就可以得到系统的总质心。我们举例说明

例 4　

　　令四个质点中的前两个为 $a$ 组，后两个为 $b$ 组，则它们的质心分别为

\begin{matrix} (11) & r_{a} = (m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2}) / M_{a}, r_{b} = (m_{3} r_{3} + m_{4} r_{4}) / M_{b} . \end{matrix}

其中

M_{a} = m_{1} + m_{2}

，

M_{b} = m_{3} + m_{4}

。再计算 “质心的质心” 得整个系统的质心为

\begin{matrix} (12) & r_{c} = \frac{M_{a} r_{a} + M_{b} r_{b}}{M_{a} + M_{b}} = \frac{m_{1} r_{1} + m_{2} r_{2} + m_{3} r_{3} + m_{4} r_{4}}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + m_{4}}, \end{matrix}

这个结果符合式 6 。

习题 2　

图 3：求质心

　　边长为 $2 L$ 的大正方形和边长为 $L$ 的小正方形拼接在一起，假设密度均匀，求拼接后物体的质心（提示：可以分别求出两正方形的质心再求 “质心的质心”）。

习题 3　

图 4：求质心

　　如图 4 所示，一个半径为 $R$ 的圆盘中间挖去一个半径为 $r$ 的圆盘，两圆心距离为 $d$ ，假设密度均匀，求该物体质心（提示：我们可以把该形状看成一个完整的圆盘和一个具有 “负质量” 的小圆盘叠加而成的，分别计算二者的质心再计算 “质心的质心”）。

4. 质心与重心

　　质心在物理中有什么用呢？一个基本的应用就是恒定重力场中质心就是物体的重心。

　　 重心的定义是：若重力场对物体关于某点的合力矩恒为 0，这个点就是它的重心。合力矩为零意味着，如果物体初始时以任意姿态静止，那么它将一直保持静止。虽然我们还没系统学习力矩，但可以用初中学过的 “力乘力臂” 进行计算（式 1 ）。

例 5　

　　轻杆¹两端有质量分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的小球，轻杆可以绕系统质心在竖直平面上自由转动。试证明重力对系统的力矩恒为 0。

图 5：轻杆与两小球

　　解：以逆时针为正，合力矩为

\begin{matrix} (13) & M = r_{1} m_{1} g \cos θ - r_{2} m_{2} g \cos θ = (r_{1} m_{1} - r_{2} m_{2}) g \cos θ . \end{matrix}

由式 5 ，括号中两项相等，所以无论

θ

取何值，合力矩都为 0。

　　然而在现实中，杆是有粗细和质量的，如果像图 5 那样只用一个尖端从下面支撑，那么会导致重心略高于支点，这样的平衡是不稳定的，导致杆总是向某一侧倾斜。这就好比用针尖平衡一个小球不能形成稳定平衡。反之如果在杆的重心处或其略上方穿孔并安装转轴，那么就能达到稳定平衡。

　　我们把一般性的证明留到 “重心” 中。

5. 连续质量分布

预备知识 2　面积分、体积分

　　对连续质量分布，令密度关于位置的函数为 $ρ (r)$ ，总质量为密度的体积分

\begin{matrix} (14) & M = \int ρ (r) d V . \end{matrix}

要计算质心，我们可以把整个物体划分为许多小块（微元），如果每一块都很小，我们可以假设第

i

块的位置为

r_{i}

，密度为常数

ρ (r_{i})

，体积为

Δ V_{i}

，所以质量为

Δ m_{i} = ρ (r_{i}) Δ V_{i}

。我们把每个小块都用

r_{i}

处的一个质量为

Δ m_{i}

的质点来代替，那么质心为

\begin{matrix} (15) & r_{c} = \frac{1}{M} \sum_{i} Δ m_{i} r_{i} = \frac{1}{M} \sum_{i} r_{i} ρ (r_{i}) Δ V_{i} . \end{matrix}

当所有的微元的体积都趋近于零时，我们就可以将该式用体积分表示为

\begin{matrix} (16) & r_{c} = \frac{1}{M} \int r ρ (r) d V . \end{matrix}

　　这个积分中的被积函数是矢量，结果也是矢量，该如何计算呢？答案就是像式 7 那样分别对矢量的每个分量积分，得到结果的每个分量（可见求和具有的性质，积分通常也有）。

\begin{matrix} (17) & {\begin{aligned} x_{c} & = \frac{1}{M} ∭ x ρ (r) d x d y d z \\ y_{c} & = \frac{1}{M} ∭ y ρ (r) d x d y d z \\ z_{c} & = \frac{1}{M} ∭ z ρ (r) d x d y d z \end{aligned} \end{matrix}

　　如果要计算的物体是一个厚度可以忽略不计的薄片，令 $σ (r)$ 为面密度（单位面积的质量），我们就可以用面积分代替体积分。

\begin{matrix} (18) & r_{c} = \frac{1}{M} \int r σ (r) d S, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (19) & {\begin{aligned} x_{c} & = \frac{1}{M} \iint x σ (r) d x d y \\ y_{c} & = \frac{1}{M} \iint y σ (r) d x d y \end{aligned} \end{matrix}

例 6　长方形的质心

　　在平面直角坐标系中，长方形均匀薄片的 4 个点分别为 $(0, 0)$ ， $(a, 0)$ ， $(a, b)$ ， $(b, 0)$ ，面密度 $σ$ 为常数，试计算其质心。

　　解：长方形的总质量为 $M = a b σ$ 。使用式 18 （分别对矢量的两个分量积分）得

\begin{matrix} (20) & x_{c} = \frac{1}{a b σ} \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} x σ d x d y = \frac{1}{a} \int_{0}^{a} x d x = \frac{a}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (21) & y_{c} = \frac{1}{a b σ} \int_{0}^{b} \int_{0}^{a} y σ d x d y = \frac{1}{b} \int_{0}^{b} y d y = \frac{b}{2}, \end{matrix}

可见质心的坐标为

(a / 2, b / 2)

，恰好在长方形的中心。

　　我们再补充两个例子用于练习积分的运算

例 7　三角形的质心

　　在平面直角坐标系中，三角形均匀薄片的 3 个点分别为 $(- a, 0)$ ， $(b, 0)$ ， $(0, c)$ 。试计算其质心。

　　解：令面密度 $σ$ 为常数，则总质量为 $M = (a + b) c σ / 2$ 。两条斜边的直线方程分别为

\begin{matrix} (22) & x = f_{1} (y) = a (y - c) / c, x = f_{2} (y) = b (c - y) / c . \end{matrix}

做面积分得（先积

x

再积

y

）

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} x_{c} & = \frac{2}{(a + b) c σ} \int_{0}^{c} \int_{f_{1} (y)}^{f_{2} (y)} x σ d x d y \\ = \frac{1}{(a + b) c} \int_{0}^{c} [f_{2}^{2} (y) - f_{1}^{2} (y)] d y = \frac{b - a}{3}, \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & \begin{aligned} y_{c} & = \frac{2}{(a + b) c σ} \int_{0}^{c} \int_{f_{1} (y)}^{f_{2} (y)} y σ d x d y \\ = \frac{2}{(a + b) c} \int_{0}^{c} [f_{2} (y) - f_{1} (y)] y d y = \frac{c}{3} . \end{aligned} \end{matrix}

不难发现，这就是初中所学的三角形的重心，即底边中线的三等分点，或三条中线的交点。

　　由于质点系的积分和求和具有同样的性质，在以下的证明中，我们只需对质点系加以证明，结论对于连续质量分布的物体也同样适用。

6. 质心的唯一性

　　质心的定义（式 6 ）看似取决于参考系（因为 $r_{i}$ 取决于参考系），那么不同参考系中计算出的质心是否是空间中的同一点呢？例如将例 6 中的长方形平移 $Δ s$ ，质心是否也会平移 $Δ s$ ？我们只需要证明，在 $A$ 坐标系中得到的质心 $r_{A c}$ 与 $B$ 坐标系中得到的质心 $r_{B c}$ 满足关系

\begin{matrix} (25) & r_{A c} = r_{A B} + r_{B c} . \end{matrix}

其中

r_{A B}

是

A

系原点指向

B

系原点的矢量。首先根据定义

\begin{matrix} (26) & r_{A c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} r_{A i}, r_{B c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} r_{B i} . \end{matrix}

由位矢的坐标系变换，

r_{A i} = r_{A B} + r_{B i}

，所以

\begin{matrix} (27) & r_{A c} = \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} (r_{A B} + r_{B i}) = r_{A B} + \frac{1}{M} \sum_{i} m_{i} r_{B i} = r_{A B} + r_{B c} . \end{matrix}

1. ^ 轻杆是指质量可忽略不计的杆

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质心的定义

1. 质心的定义

例 1 两个等质量质点的质心

例 2 两个不同质量质点的质心

习题 1

2. 质点系的质心

例 3

3. 质心的分解

例 4

习题 2

习题 3

4. 质心与重心

例 5

5. 连续质量分布

例 6 长方形的质心

例 7 三角形的质心

6. 质心的唯一性

例 1　两个等质量质点的质心

例 2　两个不同质量质点的质心

习题 1　

例 3　

例 4　

习题 2　

习题 3　

例 5　

例 6　长方形的质心

例 7　三角形的质心