角动量定理 角动量守恒

             

预备知识 动量定理 动量守恒,系统角动量

   角动量定理可以表示为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \end{equation}
即系统总角动量(矢量)$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 对时间的变化率等于所有外力矩的矢量和(合外力矩)$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $.角动量定理可以类比动量定理,其中角动量与系统动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 对应,合外力矩与合外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 对应.注意一般情况下,$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向不一定相同,只有在例如刚体绕固定轴转动的特殊情况时,二者才相同.式 1 的证明见下文.

   作为一个简单的情况,我们来看刚体的绕轴转动.此时刚体的转动惯量以及合外力矩的方向都固定的转轴平行1,于是我们可以规定一个正方向,把 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} , \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 用实数表示:当实数为正,则矢量指向正方向,反之则指向反方向.

   然而一般情况下,$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 的方向都可以随时间改变,且二者方向未必相同.这可以类比对质点的曲线运动(如圆周运动)使用动量定理:加速度不仅取决于速度大小的变化,还取决于速度方向的变化;动量和力的方向也未必相同.

例 1 陀螺的进动

  

图
图 1:陀螺的进动

   如图 1 (左),陀螺旋转时,若它的轴与竖直方向有一定倾角,轴会绕一个竖直轴缓慢旋转,这种现象被称为进动(precession).为了便于分析,我们先假设陀螺进动的角速度比陀螺自转的角速度要慢得多.这样,我们就可以认为陀螺的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与陀螺的轴平行.

   陀螺在进动过程中,角动量大小不变,但方向不断变化,所以角动量变化率 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{t}} } $ 不为零.令 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的起点为原点,$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 末端在圆形轨迹上运动.$ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }/\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{t}} } $ 的方向始终沿着该圆形轨迹的切线方向.根据角动量定理,陀螺所受的力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 也具有同样的大小和方向.

   那么这个力矩是如何产生的呢?我们对陀螺进行受力分析如图 1 (右),要计算陀螺所受力矩,我们取轴的底端为原点,假设陀螺的轴没有质量,则地面对陀螺的支持力 $N$ 产生的力矩为零,而重力产生的力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 \boldsymbol\times (m \boldsymbol{\mathbf{g}} )$,其大小为 $mgr_0\sin\theta$,方向垂直纸面向里,恰好符合陀螺进动的要求.

   比较违反直觉的地方在于,陀螺受到的重力是延使陀螺倾倒的方向施加的,然而陀螺不但丝毫不会倾倒(如果不计摩擦),反而其重心会向着与重力垂直的方向移动.要具体计算陀螺进动的快慢,我们还需要知道角动量和陀螺自转的角速度的关系,见习题 1

1. 角动量守恒

   当式 1 中系统受合外力矩为零时,角动量变化率为零,即系统总角动量不随时间变化.这时我们说该系统角动量守恒(conservation of angular momentum)

例 2 面团碰撞

   在没有引力的太空中,两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$.他们的质心在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴上相向运动然后相撞并融为一体,求碰撞后的角动量.

   解:根据角动量的质心系分解(式 8 ),在惯性系 $S$ 中他们的角动量仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$.把两个面团看成一个系统,总角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _1 + \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$.由于不受任何外力(矩),根据角动量守恒,相撞后总角动量仍然为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $.

习题 1 面团碰撞 2

   在没有引力的太空中,质量为 $m_1, m_2$ 的两个面团在各自质心系中的角动量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _2$.他们的质心分别在某惯性系 $S$ 的 $x$ 轴和 $y = 1$ 直线上运动,$x$ 方向速度分别为 $v_1, v_2$.若它们相撞并融为一体,求碰撞后的角动量.

2. 角动量分量守恒

   在一些情况下,我们不能完全保证合外力矩为零,而只能得出合外力矩在某个方向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $ 的投影(即分量)为零

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} \equiv 0 \end{equation}
式 1 两边同时点成 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $,得
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{L}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{e}} ) = 0 \end{equation}
这就说明 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} $ 方向得投影不随时间变化,即角动量分量守恒.

   角动量分量守恒最常见的例子是刚体绕固定轴的无摩擦转动:若不施加额外的力矩,轴只可能给刚体施加垂直轴方向的力矩,所以刚体在平行轴方向的角动量分量守恒.

例 3 单车轮与转椅实验

   小明开始时坐在静止的无摩擦转椅上,两手握住一个单车轮的轴的两端,单车轮在水平面上转动.这时小明将单车轮上下翻转(仍保持转动),问小明与转椅会如何转动?

   假设开始时车轮的角动量向上,那么翻转后车轮的角动量向下,即角动量增量向下.由于角动量守恒,小明的身体和转椅的角动量必须有一个向上的增量,所以转椅最后的旋转方向与轮子开始时的旋转方向相同.

习题 2 

   若陀螺上有两个相同的转盘逆向旋转,陀螺是否能保持平衡?

3. 证明角动量定理

   证明可类比系统的动量定理.我们已经知道单个质点的角动量,而任何物体都可以划分成若干足够小的微元,每个微元可以看成一个质点.令第 $i$ 个质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i$,力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i$,单个质点的角动量定理

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in}$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out}$ 为质点 $i$ 受到的系统内所有其他质点的力矩和来自系统外的所有力矩.将该式对所有 $i$ 求和,得到总角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 变化率
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} =\sum_i \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} _i}}{\mathrm{d}{t}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{out} \end{equation}
现在我们只需证明质点系的合内力矩为零即可
\begin{equation} \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i^{in} = \sum_i \left( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \sum_j^{j\ne i} \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i} \right) = \sum_{i,j}^{i\ne j} \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{j\to i}$ 是质点 $j$ 对质点 $i$ 的力.现在只考虑任意两个质点 $k$ 和 $l$,在求和中的贡献为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} \equiv \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{l\to k}+ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _{k\to l} \end{equation}
即 $k$ 对 $l$ 的力矩加 $l$ 对 $k$ 的力矩(两质点的和内力矩).所以若能证明任意两质点的和内力矩为零,则质点系的合内力矩为零.

   我们先来看几何证明.如图 2 ,根据定义,力矩的大小等于力的模长乘以力臂的长度,而一对相互作用力的大小相同,又由于二者共线,力臂也重合,所以两个力矩大小相等.但是两个力矩的方向一个是顺时针(指向纸内),一个是逆时针(指向纸外),所以两力矩互相抵消,相加为零.

图
图 2:两质点的相互作用力对总力矩贡献为零

   再在看代数的方法:我们先沿着两质点的连线写出相互作用力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{l\to k} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)$,$ \boldsymbol{\mathbf{F}} _{k\to l} = \alpha( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)$,其中 $\alpha$ 是一个常数.直接计算两力矩和得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _k \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _k - \boldsymbol{\mathbf{r}} _l)\alpha + \boldsymbol{\mathbf{r}} _l \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _l - \boldsymbol{\mathbf{r}} _k)\alpha = 0 \end{equation}
证毕.


1. ^ 这可以类比质点做直线运动的动量定理,动量和力都沿同一方向.

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