高阶导数

             

  • 未完成:说明越高阶可导越光滑,无穷阶可导简称为 “光滑”,或 “解析”
预备知识 求导法则

   一个一元函数 $y=f(x)$ 可导,如果导函数 $y'=f'(x)$ 仍可导,则称 $y'=f'(x)$ 的导数为函数 $y=f(x)$ 的二阶导数,记为

\begin{equation} y'',\quad f''(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^2y} }{ \,\mathrm{d}{x^2} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^2f} }{ \,\mathrm{d}{x^2} },\quad y''(x) \end{equation}
\begin{equation} y''=(y')',\quad\frac{ \,\mathrm{d}{^2y} }{ \,\mathrm{d}{x^2} }=\frac{ \,\mathrm{d}{} }{ \,\mathrm{d}{x} } \left(\frac{ \,\mathrm{d}{x} }{ \,\mathrm{d}{y} } \right) \end{equation}

   由导数中的定义式 2 ,可得二阶导数的计算公式

\begin{equation} f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x} \end{equation}

   若把 $y=f(x)$ 的导数 $y'=f'(x)$ 称为 $y=f(x)$ 的一阶导数,那么,一阶导数的导数就称为二阶导数.若二阶导数 $y''=f''(x)$ 仍然可导,我们就把二阶导数的数 $y''=f''(x)$ 的导数称为三阶导数,记为

\begin{equation} y''',\quad f'''(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^3y} }{ \,\mathrm{d}{x^3} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^3f} }{ \,\mathrm{d}{x^3} },\quad y'''(x) \end{equation}

   一般地,如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数是可导的,我们就把 $n-1$ 阶导数的导数称为果 $y=f(x)$ 的n 阶导数,记为

\begin{equation} y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^ny} }{ \,\mathrm{d}{x^n} },\quad \frac{ \,\mathrm{d}{^nf} }{ \,\mathrm{d}{x^n} },\quad y^{(n)}(x) \end{equation}

   二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.利用求导公式和求导法则就可以求出高阶导数.

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