圆周运动的速度

                     

贡献者: addis

1. 几何法

预备知识 1 小角极限,速度的定义
图
图 1:匀速圆周运动的速度

   如图设一个点 $P$ 做半径为 $R$ 的圆周运动,角速度为 $\omega $(可以是时间的函数),那么在一段微小时间 $\Delta t$ 内,可以认为 $\omega$ 是常量,点 $P$ 转过的角度为 $\Delta \theta = \omega \Delta t$。这样,根据小角极限,当 $\Delta t \to 0$ 时,点 $P$ 在 $\Delta t$ 内走过的位移长度(线段的长度)趋近于弧的长度,即 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert \to R\omega \Delta t$。

   根据速度的定义

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\Delta t}~, \end{equation}
速度的大小为
\begin{equation} v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\omega R \Delta t}{\Delta t} = \omega R ~, \end{equation}
速度的方向显然与过 $A$ 点的圆的切线重合。

2. 求导法

   如图,在平面直角坐标系(单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $)中,令一个绕原点做逆时针匀速圆周运动的质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的夹角是时间的函数 $\theta(t)$,圆周运动的半径为 $R$。那么任意时刻 $t$ 将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 沿着 $x$ 与 $y$ 轴方向分解,有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = R\cos \theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~, \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是 $x$ 轴正方向的单位矢量,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 是 $y$ 轴正方向的单位矢量。由速度的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $,即
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( R\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) = - R\dot\theta \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\dot\theta \cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ &= \dot\theta R [ \cos\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ]~. \end{aligned} \end{equation}
定义瞬时角速度(简称角速度)等于 $\theta$ 关于时间的导数 $\omega = \dot \theta$,则速度大小为 $v = \omega R$,方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$,即圆的切线方向。

3. 三维空间的圆周运动

预备知识 2 矢量叉乘
图
图 2:角速度矢量与线速度矢量

   如图 2 ,在三维空间中,圆周运动所在的平面可以任意选取,我们可以将角速度拓展成一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $,其方向垂直于该平面并由右手定则确定。令坐标系的原点在圆周运动的轴上,用位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示点 $P$ 的位置,则圆周运动的半径为 $r_\bot = r \sin\theta$,其中 $\theta$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的夹角。所以圆周运动速度的大小为 $v = \omega r \sin\theta$。根据矢量叉乘的几何定义,有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~. \end{equation}


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