刚体的静力平衡

             

预备知识 角动量定理

  1在惯性系中,如果刚体所受的所有合外力与合外力矩都为零,则我们说它处于静力平衡(static equilibrium).其中合外力(矩)是指所有施加在刚体上的力(矩)的矢量和.

定理 1 刚体的静力平衡

   若一个刚体处于静力平衡,那么它将保持静止或者做以下两种运动的组合:1. 质心做匀速运动,2. 绕质心做定轴匀速转动.

   至于定理中的哪种情况会发生,取决于初始时刚体的状态:若初始时刚体开始静止,那么受力平衡条件下它将保持静止,否则保持初始时的平动或/和转动.注意当合外力为零时,合外力矩与参考点(参考系)的选取无关(式 9 ).在非惯性系中,若加入惯性力的修正,该结论仍然成立.

   证明

   1. 合力:刚体合外力为零时刚体动量守恒,而动量等于 “质心的动量” $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M_c \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$,所以质心做匀速运动或不动.

   2. 合力矩:刚体合外力矩为零时,其角动量守恒,而刚体的角动量等于质心的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$ 加上质心系中的角动量(式 8 ).当质心匀速直线运动或不动时 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c$ 不变,所以质心系中刚体的角动量也不变,所以刚体绕质心做匀速转动或不转动.证毕.

例 1 轻杆三力平衡

   如图,一个长度为 $L$ 质量不计的细杆,两端受力分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1, \boldsymbol{\mathbf{F}} _3$,中间受力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _2$.

未完成:图,选取不同受力点

  

未完成:吊桥例题,见 EP1 20201021,缆绳受力与重物位置的关系.

例 2 

   如图 1 ,一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上,线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$,线轴的大圆半径为 $R$,小圆半径为 $r$,求当角 $\alpha$ 满足什么条件时,线轴才能不滑落.

图
图 1:线轴的平衡

   我们先来看线轴受哪几个力:重力 $mg$,绳的拉力 $T$,墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$.由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得

\begin{equation} \begin{cases} f \leqslant \mu N & \text{(摩擦系数)}\\ N - T\sin\alpha = 0 & \text{(水平方向受力平衡)}\\ T\cos\alpha + f - mg = 0 & \text{(竖直方向受力平衡)}\\ Tr - fR = 0 & \text{(力矩平衡)} \end{cases} \end{equation}
其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩,虽然原则上我们可以取任意点计算力矩,但取在圆心计算最为简单.除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T, f, N$,用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去,可得关于 $\alpha$ 的不等式
\begin{equation} \sin\alpha \geqslant \frac{r}{\mu R} \end{equation}

   一个有趣的地方在于,不等式中没有出现质量 $m$.事实上,我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利解出答案.

例 3 二人抬物

图
图 2:二人高低抬物

   两个人分别通过一个受力点保持一个刚体的静力平衡,若已知质心的位置和两个受力点的位置(三者在同一竖直平面上),试分析谁出的力更大.分为两种情况讨论:1. 每个人只允许在竖直方向上出力,2. 允许任意方向的力.3. 在第二问中,什么条件下第一个人出的合力模长最小?

   1. 令重心为坐标原点,两个受力点的坐标为 $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,如果两个受力点只有竖直方向的力(向上为正),那么受力平衡得

\begin{equation} F_1 + F_2 = Mg \end{equation}
以重物的质心为坐标原点,则重力力矩为零,力矩平衡条件为
\begin{equation} F_1 x_1 + F_2 x_2 = 0 \end{equation}
解得
\begin{equation} F_1 = \frac{Mg x_2}{x_2 - x_1} \qquad F_2 = \frac{-Mg x_1}{x_2 - x_1} \end{equation}
可见力 $ \left\lvert F_i \right\rvert $ 和 $ \left\lvert x_i \right\rvert $ 成反比,重心离谁的水平距离越近,谁的受力就越大.注意该解要求 $x_1 \ne x_2$,下同.

   作为一个具体的例子,若二人搬的是均匀长方体,由图可知,若搬箱子底部,则 $F_1 > F_2$,若拉箱子顶部,则 $F_1 < F_2$.(图未完成)

   2. 再来看一般情况,每个人施加的力除了竖直分量还有水平分量.令水平的力为 $F_1', F_2'$(向右为正),由水平方向和竖直方向的受力平衡和力矩平衡得

\begin{equation} \begin{aligned} &F_1' + F_2' = 0\\ &F_1 + F_2 = Mg\\ &F_1 x_1 + F_2 x_2 - F_1' y_1 - F_2' y_2 = 0 \end{aligned} \end{equation}
这里四个未知的力只有三条约束方程,所以有一个自由度.以 $F_1'$ 为参数,解得
\begin{equation} \begin{aligned} F_1 = \frac{Mg x_2 + F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1}\\ F_2 = \frac{-Mg x_1 - F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1} \end{aligned} \end{equation}
我们发现,由于 $F_1'$ 可取任意实数,所以无论两个受力点在哪里,只要 $y_1 \ne y_2$ 总能通过调节 $F_1'$ 使 $ \left\lvert F_1 \right\rvert > \left\lvert F_2 \right\rvert $,即第一人的合力 $\sqrt{F_1^2 + F_1'^2}$ 大于第二人,或者即第一人的合力小于第二人.

   3. 那么,$F_1'$ 为多少时,第一人的合力最小呢?合力模长的平方为 $F_1^2 + F_1'^2$,把式 7 代入并令

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{F_1'}} \left(F_1^2 + F_1'^2 \right) = 0 \end{equation}
\begin{equation} F_1' = -\frac{Mgx_2 (y_2 - y_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2} \end{equation}
\begin{equation} F_1 = \frac{Mg x_2(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2} \end{equation}
最小合力模长为
\begin{equation} \sqrt{F_1^2 + F_1'^2} = \frac{Mg x_2}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}} \end{equation}
也就是说当 $y_1 < y_2$ 时,第一个人为了减小自己的合力,需要提供一个向左的水平力.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面[14]

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