贡献者： addis; 零穹
1在惯性系中，如果刚体所受的所有合外力与合外力矩都为零，则我们说它处于静力平衡（static equilibrium）。其中合外力（矩）是指所有施加在刚体上的力（矩）的矢量和。
定理 1 刚体的静力平衡
若一个刚体处于静力平衡，那么它将保持静止或者做以下两种运动的组合：1. 质心做匀速运动，2. 绕质心做定轴匀速转动。
至于定理中的哪种情况会发生，取决于初始时刚体的状态：若初始时刚体开始静止，那么受力平衡条件下它将保持静止，否则保持初始时的平动或/和转动。注意当合外力为零时，合外力矩与参考点（参考系）的选取无关（式 9 ）。在非惯性系中，若加入惯性力的修正，该结论仍然成立。
证明：
1. 合力：刚体合外力为零时刚体动量守恒，而动量等于 “质心的动量”
$ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M_c \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$，所以质心做匀速运动或不动。
2. 合力矩：刚体合外力矩为零时，其角动量守恒，而刚体的角动量等于质心的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$ 加上质心系中的角动量（式 8 ）。当质心匀速直线运动或不动时 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c$ 不变，所以质心系中刚体的角动量也不变，所以刚体绕质心做匀速转动或不转动。证毕。
例 1 轻杆三力平衡
如图，一个长度为 $L$ 质量不计的细杆，两端受力分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1, \boldsymbol{\mathbf{F}} _3$，中间受力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _2$。
未完成：图，选取不同受力点
未完成：吊桥例题，见 EP1 20201021，缆绳受力与重物位置的关系。
例 2
如图 1 ，一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上，线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$，线轴的大圆半径为 $R$，小圆半径为 $r$，求当角 $\alpha$ 满足什么条件时，线轴才能不滑落。
图 1：线轴的平衡
我们先来看线轴受哪几个力：重力 $mg$，绳的拉力 $T$，墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$。由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得
\begin{equation}
\begin{cases}
f \leqslant \mu N~, & \text{（摩擦系数）}\\
N - T\sin\alpha = 0~, & \text{（水平方向受力平衡）}\\
T\cos\alpha + f - mg = 0~, & \text{（竖直方向受力平衡）}\\
Tr - fR = 0~. & \text{（力矩平衡）}
\end{cases}
\end{equation}
其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩，虽然原则上我们可以取任意点计算力矩，但取在圆心计算最为简单。除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T, f, N$，用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去，可得关于 $\alpha$ 的不等式
\begin{equation}
\sin\alpha \geqslant \frac{r}{\mu R}~.
\end{equation}
一个有趣的地方在于，不等式中没有出现质量 $m$。事实上，我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利解出答案。
例 3 二人抬物
图 2：二人高低抬物
两个人分别通过一个受力点保持一个刚体的静力平衡，若已知质心的位置和两个受力点的位置（三者在同一竖直平面上），试分析谁出的力更大。分为两种情况讨论：1. 每个人只允许在竖直方向上出力，2. 允许任意方向的力。3. 在第二问中，什么条件下第一个人出的合力模长最小？
1. 令重心为坐标原点，两个受力点的坐标为 $(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$，如果两个受力点只有竖直方向的力（向上为正），那么受力平衡得
\begin{equation}
F_1 + F_2 = Mg~.
\end{equation}
以重物的质心为坐标原点，则重力力矩为零，力矩平衡条件为
\begin{equation}
F_1 x_1 + F_2 x_2 = 0~,
\end{equation}
解得
\begin{equation}
F_1 = \frac{Mg x_2}{x_2 - x_1} ~,\qquad F_2 = \frac{-Mg x_1}{x_2 - x_1}~.
\end{equation}
可见力 $ \left\lvert F_i \right\rvert $ 和 $ \left\lvert x_i \right\rvert $ 成反比，重心离谁的水平距离越近，谁的受力就越大。注意该解要求 $x_1 \ne x_2$，下同。
作为一个具体的例子，若二人搬的是均匀长方体，由图可知，若搬箱子底部，则 $F_1 > F_2$，若拉箱子顶部，则 $F_1 < F_2$。（图未完成）
2. 再来看一般情况，每个人施加的力除了竖直分量还有水平分量。令水平的力为 $F_1', F_2'$（向右为正），由水平方向和竖直方向的受力平衡和力矩平衡得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&F_1' + F_2' = 0\\
&F_1 + F_2 = Mg\\
&F_1 x_1 + F_2 x_2 - F_1' y_1 - F_2' y_2 = 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里四个未知的力只有三条约束方程，所以有一个
自由度。以 $F_1'$ 为参数，解得
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1 = \frac{Mg x_2 + F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1}~,\\
F_2 = \frac{-Mg x_1 - F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1}~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们发现，由于 $F_1'$ 可取任意实数，所以无论两个受力点在哪里，只要 $y_1 \ne y_2$ 总能通过调节 $F_1'$ 使 $ \left\lvert F_1 \right\rvert > \left\lvert F_2 \right\rvert $，即第一人的合力 $\sqrt{F_1^2 + F_1'^2}$ 大于第二人，或者即第一人的合力小于第二人。
3. 那么，$F_1'$ 为多少时，第一人的合力最小呢？合力模长的平方为 $F_1^2 + F_1'^2$，把式 7 代入并令
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{F_1'}} \left(F_1^2 + F_1'^2 \right) = 0~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
F_1' = -\frac{Mgx_2 (y_2 - y_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
F_1 = \frac{Mg x_2(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}~.
\end{equation}
最小合力模长为
\begin{equation}
\sqrt{F_1^2 + F_1'^2} = \frac{Mg x_2}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}~.
\end{equation}
也就是说当 $y_1 < y_2$ 时，第一个人为了减小自己的合力，需要提供一个向左的水平力。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面和 [1]。
[1] ^ 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程 力学 第二版
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
