平行轴定理与垂直轴定理

             

预备知识 转动惯量

1. 平行轴定理

   若我们已知刚体关于一个通过其质心的轴(称为质心轴)的转动惯量为 $I_0$,那么我们可以通过平行轴定理简单地求出刚体关于另一个与质心轴平行的轴的转动惯量 $I$,而无需重新算一次定积分.令两个轴之间的距离为 $R$,刚体质量为 $M$,则计算公式为

\begin{equation} I = I_0 + MR^2 \end{equation}

   要证明该式,我们把刚体看做质点系,令质心轴到质点 $m_i$ 的垂直矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _i$,平行轴到质心轴的垂直矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,则刚体关于平行轴的转动惯量为

\begin{equation} I = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{R}} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _i)^2 = R^2\sum_i m_i + \sum_i m_i r_i^2 + 2 \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\cdot \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \end{equation}
由于质心轴经过刚体的质心,上式最后一项中的求和为零(式 28 ),而右边第二项恰好是 $I_0$,右边第一项中 $\sum_i m_i = M$,立即可得式 1 .证毕.

2. 垂直轴定理

   若我们要求一个刚体薄片关于一条与其垂直的轴(称为垂直轴)的转动惯量 $I$,我们可以在薄片上取两个互相垂直且与垂直轴相交的轴并分别计算薄片关于这两条轴的转动惯量 $I_x$ 和 $I_y$.这样就有

\begin{equation} I = I_x + I_y \end{equation}

   要证明该式,我们建立空间直角坐标系,令垂直轴与 $z$ 轴重合,另外两条轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴重合.把刚体看做质点系,令质点 $m_i$ 的坐标为 $(x_i, y_i, 0)$

\begin{equation} I = \sum_i m_i (x_i^2 + y_i^2) = \sum_i m_i x_i^2 + \sum_i m_i y_i^2 = I_x + I_y \end{equation}
证毕.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利