速度 加速度(一维)

             

预备知识 位移,复合函数求导

   速度和加速度都是矢量,但如果我们考虑质点的一维运动(沿直线运动),那么我们可以指定一个正方向并沿运动方向建立坐标轴.这样一来,我们就可以把一维情况下的位移、速度、加速度这些矢量用一个标量来表示,可以用标量的正负号区分矢量的方向,正号代表指向正方向,负号代表指向负方向,标量的绝对值就等于矢量的模长.所以以下我们用坐标 $x$ 来表示一维位移,实数 $v$ 和 $a$ 来表示一维速度和加速度.事实上,这些标量可以看作是对应矢量的坐标

   物理学中,速度(velocity)加速度(acceleration)通常指瞬时值.在一维运动中,瞬时速度(instantaneous velocity)被定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的位移 $\Delta x$ 除以这段时间,瞬时加速度(instantaneous acceleration)被定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的速度变化 $\Delta v$ 除以这段时间,而这些恰好是导数的定义.用极限和导数来表示,就是

\begin{equation} v(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{x(t)}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
\begin{equation} a(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{v(t)}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
根据高阶导数的定义,加速度就是位矢的二阶导数,即导数的导数
\begin{equation} a(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}{x(t)}}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}

   为什么经典力学中,我们通常之关心位移的一阶和二阶导数而不关心更高阶呢?因为牛顿第二定律中出现了加速度,把它和质点的受力紧紧关联起来,另一方面,和速度成正比的动量是重要的守恒量.

例 1 匀加速运动

   若已知某直线运动的位移—时间函数为

\begin{equation} x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_0 t^2 \end{equation}
试证明这是一个匀加速运动.

   对位移求导得到速度为

\begin{equation} v(t) = v_0 + a_0 t \end{equation}
再次求导(二阶导数)得到加速度为 $a(t) = a_0$ 是常数.可见这是一个匀加速运动.

   事实上,任何匀加速直线运动都可以表示为式 4 的形式,详见 “匀加速直线运动”.

例 2 简谐振动

   已知简谐振动(详见 “简谐振子”)的位移函数为 $x(t) = A \cos\left(\omega t\right) $,运用复合函数求导 得速度为 $v(t) = -A\omega \sin\left(\omega t\right) $,加速度为 $a(t) = -A\omega^2 \cos\left(\omega t\right) $.

1. 由速度或加速度求位移

预备知识 牛顿—莱布尼兹公式

   既然一维速度 $v(t)$ 是位置 $x(t)$ 的导数,那么 $x(t)$ 是 $v(t)$ 的原函数.由牛顿—莱布尼兹公式得速度在一段时间的定积分等于初末位置之差,即

\begin{equation} x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
所以若已知某时刻质点的位置 $x(t_0) = x_0$,和速度函数 $v(t)$,就可以求得任意时刻的位置.
\begin{equation} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t') \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
注意为了区分积分变量和积分上限,我们把积分变量改成 $t'$.这是一个常见的做法.

例 3 匀速直线运动

   若一维运动的质点速度始终为 $v_0$,由式 7

\begin{equation} \begin{aligned} x(t) &= x_0 + \int_{t_0}^t v_0 \,\mathrm{d}{t} \\ &= x_0 + v_0(t-t_0) \end{aligned} \end{equation}

   与式 6 式 7 同理,一维速度和加速度之间也有类似关系

\begin{equation} v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
\begin{equation} v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t') \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
式 10 带入式 7 再次定积分得(注意积分变量再次重命名)
\begin{equation} \begin{aligned} x(t) &= x_0 + \int_{t_0}^t \left[v_0 + \int_{t_0}^{t'} a(t'') \,\mathrm{d}{t''} \right] \,\mathrm{d}{t'} \\ &= x_0 + v_0 (t - t_0) + \int_{t_0}^t \left[\int_{t_0}^{t'} a(t'') \,\mathrm{d}{t''} \right] \,\mathrm{d}{t'} \\ \end{aligned} \end{equation}
这里做了两次积分,即二重积分

   简单的例子见 “匀加速直线运动”.

习题 1 

   你是否能看出,以 $t'$ 和 $t''$ 建立直角坐标系,式 4 的二重积分的区域是一个三角形?

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