贡献者： addis
速度和加速度都是矢量，但如果我们考虑质点的一维运动（沿直线运动），那么我们可以指定一个正方向并沿运动方向建立坐标轴。这样一来，我们就可以把一维情况下的位移、速度、加速度这些矢量用一个标量来表示，可以用标量的正负号区分矢量的方向，正号代表指向正方向，负号代表指向负方向，标量的绝对值就等于矢量的模长。所以以下我们用坐标 $x$ 来表示一维位移，实数 $v$ 和 $a$ 来表示一维速度和加速度。事实上，这些标量可以看作是对应矢量的坐标。
物理学中，速度（velocity）和加速度（acceleration）通常指瞬时值。在一维运动中，瞬时速度（instantaneous velocity）被定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的位移 $\Delta x$ 除以这段时间，瞬时加速度（instantaneous acceleration）被定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的速度变化 $\Delta v$ 除以这段时间，而这些恰好是导数的定义。用极限和导数来表示，就是
\begin{equation}
v(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{x(t)}}{\mathrm{d}{t}} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
a(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{v(t)}}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
根据
高阶导数的定义，加速度就是位矢的二阶导数，即导数的导数
\begin{equation}
a(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}{x(t)}}{\mathrm{d}{t}^{2}} ~.
\end{equation}
为什么经典力学中，我们通常之关心位移的一阶和二阶导数而不关心更高阶呢？因为牛顿第二定律中出现了加速度，把它和质点的受力紧紧关联起来，另一方面，和速度成正比的动量是重要的守恒量。
例 1 匀加速运动
若已知某直线运动的位移—时间函数为
\begin{equation}
x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_0 t^2~,
\end{equation}
试证明这是一个匀加速运动。
对位移求导得到速度为
\begin{equation}
v(t) = v_0 + a_0 t~,
\end{equation}
再次求导（二阶导数）得到加速度为 $a(t) = a_0$ 是常数。可见这是一个匀加速运动。
事实上，任何匀加速直线运动都可以表示为式 4 的形式，详见 “匀加速直线运动”。
例 2 简谐振动
已知简谐振动（详见 “简谐振子”）的位移函数为 $x(t) = A \cos\left(\omega t\right) $，运用复合函数求导 得速度为 $v(t) = -A\omega \sin\left(\omega t\right) $，加速度为 $a(t) = -A\omega^2 \cos\left(\omega t\right) $。
1. 由速度或加速度求位移
既然一维速度 $v(t)$ 是位置 $x(t)$ 的导数，那么 $x(t)$ 是 $v(t)$ 的原函数。由牛顿—莱布尼兹公式得速度在一段时间的定积分等于初末位置之差，即
\begin{equation}
x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
所以若已知某时刻质点的位置 $x(t_0) = x_0$，和速度函数 $v(t)$，就可以求得任意时刻的位置。
\begin{equation}
x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t') \,\mathrm{d}{t'} ~.
\end{equation}
注意为了区分积分变量和积分上限，我们把积分变量改成 $t'$。这是一个常见的做法。
例 3 匀速直线运动
若一维运动的质点速度始终为 $v_0$，由式 7 得
\begin{equation}
\begin{aligned}
x(t) &= x_0 + \int_{t_0}^t v_0 \,\mathrm{d}{t} \\
&= x_0 + v_0(t-t_0)~.
\end{aligned}
\end{equation}
与式 6 和式 7 同理，一维速度和加速度之间也有类似关系
\begin{equation}
v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t') \,\mathrm{d}{t'} ~.
\end{equation}
把
式 10 带入
式 7 再次定积分得（注意积分变量再次重命名）
\begin{equation}
\begin{aligned}
x(t) &= x_0 + \int_{t_0}^t \left[v_0 + \int_{t_0}^{t'} a(t'') \,\mathrm{d}{t''} \right] \,\mathrm{d}{t'} \\
&= x_0 + v_0 (t - t_0) + \int_{t_0}^t \left[\int_{t_0}^{t'} a(t'') \,\mathrm{d}{t''} \right] \,\mathrm{d}{t'} ~,\\
\end{aligned}
\end{equation}
这里做了两次积分，即
二重积分。
简单的例子见 “匀加速直线运动”。
习题 1
你是否能看出，以 $t'$ 和 $t''$ 建立直角坐标系，式 4 的二重积分的区域是一个三角形？
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