匀加速直线运动

             

预备知识 速度 加速度(一维)

   质点做匀速直线运动时,我们延运动的直线建立坐标轴 $x$,则最一般的运动方程

\begin{equation} x(t) = x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac12 a_0 (t - t_0)^2 \end{equation}
其中 $x_0, v_0, a_0$ 分别是 $t_0$ 时刻的位置,速度和加速度.注意沿 $x$ 轴正方向的速度和加速度取正号,沿反方向取负号.

   匀加速直线运动速度变化为

\begin{equation} v(t) = v_0 + a_0 (t - t_0) \end{equation}
另外有一条不含时间的公式
\begin{equation} v_2^2 - v_1^2 = 2a_0 (x_2 - x_1) \end{equation}
其中 $v_1, v_2$ 分别是质点经过点 $x_1$ 和 $x_2$ 时的速度.

   注意只有初速度矢量和加速度矢量方向相同(包括初速度为零)时匀加速运动的轨迹才是直线,否则轨迹就是抛物线,见 “匀加速运动”.

未完成:把 “匀加速运动” 的自由落体移动过来
未完成:插入 ep1 的飞机丢导弹例题

1. 推导

   做匀速直线运动的质点在 $t_0$ 时的位置为 $x_0$,速度为 $v_0$,且加速度始终等于常数 $a_0$,求任意时刻的速度和加速度 $x(t)$.

   我们首先把 $a(t) = a_0$ 代入式 10

\begin{equation} v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a_0 \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
马上得到式 2 .再次积分(式 7
\begin{equation} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t [v_0 + a_0 (t' - t_0)] \,\mathrm{d}{t'} \end{equation}
式 1 .这个过程相当于直接使用式 11

   要得到式 3 ,由式 1 式 2 分别得

\begin{equation} x_2 - x_1 = v_1 (t_2 - t_1) + \frac12 a_0 (t_2 - t_1)^2 \end{equation}
\begin{equation} t_2 - t_1 = \frac{v_2 - v_1}{a_0} \end{equation}
代入消去 $t$ 得式 3 .直观来看,如果画速度—时间图,$x_2 - x_1$ 可以表示成梯形的面积,利用梯形公式可以得到该式.

   式 3 的另一种推导是,在学习牛顿第二定律和动能定理后,我们可以直接写出

\begin{equation} \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = F (x_2 - x_1) = ma (x_2 - x_1) \end{equation}
两边除以 $m/2$ 得到式 3

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