匀加速直线运动

贡献者： addis

预备知识　速度加速度（一维）

　　质点做匀速直线运动时，我们延运动的直线建立坐标轴 $x$ ，则最一般的运动方程

\begin{matrix} (1) & x (t) = x_{0} + v_{0} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} a_{0} (t - t_{0})^{2} . \end{matrix}

其中

x_{0}, v_{0}, a_{0}

分别是

t_{0}

时刻的位置，速度和加速度。注意沿

x

轴正方向的速度和加速度取正号，沿反方向取负号。

　　匀加速直线运动速度变化为

\begin{matrix} (2) & v (t) = v_{0} + a_{0} (t - t_{0}), \end{matrix}

另外有一条不含时间的公式

\begin{matrix} (3) & v_{2}^{2} - v_{1}^{2} = 2 a_{0} (x_{2} - x_{1}), \end{matrix}

其中

v_{1}, v_{2}

分别是质点经过点

x_{1}

和

x_{2}

时的速度。

　　注意只有初速度矢量和加速度矢量方向相同（包括初速度为零）时匀加速运动的轨迹才是直线，否则轨迹就是抛物线，见 “匀加速运动”。

未完成：把 “匀加速运动” 的自由落体移动过来

未完成：插入 ep1 的飞机丢导弹例题

1. 推导

　　做匀速直线运动的质点在 $t_{0}$ 时的位置为 $x_{0}$ ，速度为 $v_{0}$ ，且加速度始终等于常数 $a_{0}$ ，求任意时刻的速度和加速度 $x (t)$ 。

　　我们首先把 $a (t) = a_{0}$ 代入式 10

\begin{matrix} (4) & v (t) = v_{0} + \int_{t_{0}}^{t} a_{0} d t^{'}, \end{matrix}

马上得到式 2 。再次积分（式 7 ）

\begin{matrix} (5) & x (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} [v_{0} + a_{0} (t^{'} - t_{0})] d t^{'}, \end{matrix}

得式 1 。这个过程相当于直接使用式 11 。

　　要得到式 3 ，由式 1 和式 2 分别得

\begin{matrix} (6) & x_{2} - x_{1} = v_{1} (t_{2} - t_{1}) + \frac{1}{2} a_{0} (t_{2} - t_{1})^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & t_{2} - t_{1} = \frac{v_{2} - v_{1}}{a_{0}} \end{matrix}

代入消去

t

得式 3 。直观来看，如果画速度—时间图，

x_{2} - x_{1}

可以表示成梯形的面积，利用梯形公式可以得到该式。

　　式 3 的另一种推导是，在学习牛顿第二定律和动能定理后，我们可以直接写出

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = F (x_{2} - x_{1}) = m a (x_{2} - x_{1}), \end{matrix}

两边除以

m / 2

得到式 3 。

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