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刚体的绕轴转动 转动惯量

预备知识 刚体, 角动量定理

刚体的绕轴转动

   若刚体绕固定轴转动, 那么刚体的位置只需一个变量即可完全确定(一个自由度), 我们令该变量为转角 $\theta$. $\theta$ 关于时间 $t$ 的导数就是刚体绕轴旋转的角速度 $\omega$. 我们还可以定义角速度 $\omega$ 关于时间的导数(即 $\theta$ 关于时间的二阶导数)为角加速度, 记为 $\alpha$.

   我们可以把刚体的绕轴转动类比质点的直线运动, 把 $\theta$, $\omega$ 和 $\alpha$ 分别类比为直线运动中的位置 $x$, 速度 $v$ 和 加速度 $a$, 因为后三个变量之间的数学关系是完全相同的. 于是我们可以立即得到匀变速转动(即 $\alpha$ 为常数)的一些公式, 如

\begin{gather} \theta = \theta_0 + \omega t + \frac12 \alpha t^2\\ \omega_1^2 - \omega_0^2 = 2\alpha \theta \end{gather}

   在以上三个标量的基础上, 我们可以定义它们的矢量形式 $ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} $, $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $, 令它们的方向为转轴的方向, 用右手定则 来判断.

   要判断刚体上任意一点的速度, 使用式 5 即可(见图 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}

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图 1:刚体绕轴旋转时任意一点的线速度

角动量与转动惯量

   设刚体绕固定轴转动, 令轴的方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $. 假设轴光滑, 则轴对刚体可施加 $x, y$ 两个方向的力矩,却不能施加 $z$ 方向的力矩. 所以根据角动量定理, 角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 的 $z$ 分量 $L_z$ 守恒. 我们下面来推导 $L_z$ 与角速度 $\omega$ 的关系. 矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 与矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的关系见惯性张量

   对于单个质点,$L_z = ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $. 首先把质点的位矢在水平方向和竖直方向分解, $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _z + \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$. 由于 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 一直沿水平方向, 根据叉乘的几何定义, $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _z \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 也是沿水平方向, 只有 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 沿 $z$ 方向.另外, 在圆周运动中, 半径始终与速度垂直, 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 始终与 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 垂直.得出结论

\begin{equation} L_z = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} \right\rvert = m r_ \bot v = mr_ \bot ^2\omega \end{equation}
若把刚体分成无数小块, 每小块的质量分别为 $m_i$, 离轴的距离 $r_{\bot i} = \sqrt{x_i^2 + y_i^2} $, 则刚体的角动量 $z$ 分量为
\begin{equation} L_z = \omega \sum_i m_i r_{ \bot i}^2 \end{equation}
用积分写成
\begin{equation} L_z = \omega \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} = \omega \int r_ \bot ^2\rho \,\mathrm{d}{V} \end{equation}

   定义刚体绕固定轴旋转的转动惯量

\begin{equation} I = \int r_ \bot ^2 \,\mathrm{d}{m} \end{equation}
(注意角动量的大小不仅取决于刚体的质量分布, 还取决于转轴的位置和方向)则刚体沿轴方向的角动量为
\begin{equation} L_z = I\omega \end{equation}

   现在来看 “角动量定理” 的式 1 , 注意等号两边是矢量, 所以各个分量必须相等, 我们有

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{L_z}}{\mathrm{d}{t}} = \tau_z \end{equation}
式 8 代入式 9 , 并利用角加速度的定义得
\begin{equation} I\alpha = \tau_z \end{equation}
这就是刚体绕轴转动的动力学方程, 其形式可类比牛顿第二定律

例1 刚体摆

   如图 2 , 已知质量为 $M$ 的薄片绕某点的转动惯量为 $I$, 转轴到刚体质心的长度为 $r_c$, 转轴和质心的连线与竖直方向夹角为 $\theta$, 求刚体的运动方程.

图
图 2:刚体摆

   首先我们把刚体看做质点系, 以转轴为原点计算刚体的合力矩为(由于这是一个平面问题, 力矩必然垂直于该平面)

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times (m_i \boldsymbol{\mathbf{g}} ) = \left(\sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \right) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} = M \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{g}} \\ &= Mg r_c \sin\theta \end{aligned} \end{equation}
这就说明, 刚体所受力矩相当于质量为 $M$, 长度为 $r_c$ 的单摆所受的力矩. 代入式 10 得刚体摆的运动方程为
\begin{equation} I\ddot \theta = Mg r_c \sin\theta \end{equation}
可以验证当刚体的质量全部集中在质心时($I = Mr_c^2$)我们就得到了单摆的运动方程式 4

习题1 陀螺进动的角速度

   在 “角动量定理” 的例 2 中, 如果除 $r_0, m, g$ 外, 还知道陀螺的转动惯量为 $I$ 和陀螺的角速度 $\omega$, 试证明陀螺进动的角速度为

\begin{equation} \Omega = \frac{mgr_0}{I\omega} \end{equation}
注意进动角速度与陀螺倾角 $\theta$ 无关.

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