洛伦兹力

             

预备知识 矢量的叉乘,磁场

   磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 中,电荷为 $q$,以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动的点电荷受到的洛伦兹力通过叉乘定义

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
即洛伦兹力与速度和磁场的方向垂直,大小等于 $qvB$ 乘以速度与磁场夹角的正弦值.可见当速度与磁场垂直时洛伦兹力最大,平行时没有洛伦兹力.

1. 磁场对电荷不做功

   由于任意时刻,磁场力的方向垂直于运动方向,所以静磁场不对电荷做功(类比向心力不对圆周运动做功),证明如下.洛伦兹力的瞬时功率为

\begin{equation} P = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = q\, \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
由矢量混合积的运算
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \end{equation}
因为矢量叉乘本身等于 0.

2. 广义洛伦兹力

预备知识 极限

   广义上的洛伦兹力 是指电磁场给电荷施加的所有作用力,即电场力加洛伦兹力.麦克斯韦方程组只描述了由电荷的分布及运动情况如何计算电磁场.而广义洛伦兹力则解释了已知电磁场分布如何计算电荷的受力.对于点电荷

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = q ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
对于连续的电荷分布
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \rho( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} $ 是受力密度,用极限的方法定义为无穷小体积的受力除以该体积
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} = \lim_{V \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{V} \end{equation}

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