毕奥—萨伐尔定律

贡献者： addis; 零穹; ACertainUser

预备知识　电流产生磁场，电流密度，矢量叉乘，线积分

1. 闭合回路的磁场

　　若已知空间中的电流分布，毕奥—萨伐尔定律（Biot–Savart law）给出了这些电流产生的磁场。我们先讨论一种较为简单的情况，即一根粗细可忽略的闭合导线中的恒定电流产生的磁场¹。假设导线中电流为 $I$ ，空间中任意位置 $r$ 的磁场可以用线积分表示为

\begin{matrix} (1) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times \hat{R}}{R^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} . \end{matrix}

其中积分路径是导线所在的环路，延某个指定的正方向进行。如果电流也是沿正方向，那么

I

大于零，否则小于零。

r^{'}

是导线上某点的位置，矢量

d r^{'}

代表导线上的一小段的长度和方向。

R = r - r^{'}

，

\hat{R} = R / R

表示

R

的单位矢量，

R = | R |

是模长。如果有多个这样的闭合导线，可以分别计算它们的磁场并叠加即可。

　　使用这个公式需要注意两点。第一，电流及其分布不随时间变化。这点可以从 “不存在瞬时作用” 理解，假设某时刻电流突然从 0 变为某个值，由于电磁场传播需要一定时间，环路上不可能瞬间出现磁场。第二，磁场不仅可以由电流产生，变化的电场也会产生磁场。

　　毕奥—萨伐尔定律精确符合麦克斯韦方程组，不存在近似。

电流密度形式

　　更一般地，若电流分布以电流密度 $j (r)$ 来描述，那么

\begin{matrix} (2) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times \hat{R}}{R^{2}} d V^{'} = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} d V^{'}, \end{matrix}

其中

\int \dots d V^{'}

表示对

r^{'}

在整个三维空间积分（或者包含所有电流的有限空间）。

旋度形式

　　式 1 和式 2 的另一种等价形式为

\begin{matrix} (3) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \times \oint \frac{I}{| r - r^{'} |} d r^{'}, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \times \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

推导见下文，这在一些情况下反而计算更方便。另外，这也可以用来推导已知电流分布产生的磁矢势。

矢量积分的计算方法

　　毕奥—萨伐尔定律的积分中含有矢量微元的叉乘，看起来和普通的矢量积分不同，但是在常见的简单问题中，可以从叉乘的几何意义上直接转换为标量的积分（例 1 和例 2 ）。如果是更一般的问题，则可以把叉乘分解成 3 个分量，然后变为 6 个标量积分

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} d r^{'} \times R & = | \begin{array}{c} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ d x^{'} & d y^{'} & d z^{'} \\ x - x^{'} & y - y^{'} & z - z^{'} \end{array} | \\ = \hat{x} [(z - z^{'}) d y^{'} - (y - y^{'}) d z^{'}] + \hat{y} [\dots] + \hat{z} [\dots], \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} B (r) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times \hat{R}}{R^{2}} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \oint \frac{d r^{'} \times R}{R^{3}} \\ = \hat{x} \frac{μ_{0} I}{4 π} [\oint \frac{1}{R^{3}} (z - z^{'}) d y^{'} - \oint \frac{1}{R^{3}} (y - y^{'}) d z^{'}] + \hat{y} [\dots] + \hat{z} [\dots] . \end{aligned} \end{matrix}

例 1　无限长直导线的磁场

图 1：无限长直导线的磁场

　　如图 1 ，令导线与 $x$ 轴重合，并使原点到场点的距离最近，有 $x = r \tan θ$ ，微分得 $| d r^{'} | = d x = r \sec^{2} θ d θ$ ，另有 $\hat{x} \times \hat{R} = \hat{z} \sin (θ + π / 2) = \hat{z} \cos θ$ ， $R = r / \cos θ$ 。代入式 1 得

\begin{matrix} (7) & B = \frac{μ_{0}}{4 π} I \hat{z} \int_{- π / 2}^{π / 2} \frac{(r \sec^{2} θ d θ) \cos θ}{r^{2} / \cos θ^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I}{r} \hat{z} \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos θ d θ = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I}{r} \hat{z} . \end{matrix}

可见磁场大小与距离

r

成反比，总是垂直于导线，且方向符合右手定则。

例 2　环形电流轴线的磁场

图 2：环形电流轴线上的磁场

　　如图 2 ，电流环半径为 $r$ ，以电流环圆心为原点，垂直与环面的轴线为 $x$ 轴，在轴线上任取一点 $P$ ，其与 $O$ 点距离 $r_{0}$ ，令 $P$ 点与电流元 $I d l$ 的连线与环面夹角为 $α$ , 则电流元 $I d l$ 在 $P$ 点的磁场为

\begin{matrix} (8) & d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d l \times \hat{R}}{R^{2}} . \end{matrix}

　　从几何关系知道， $d B$ 在 $x$ 轴与 $R$ 所在直线组成的平面内，且与 $x$ 轴夹角为 $α$ ，将 $d B$ 分解为平行于 $x$ 轴的分量 $d B_{∥}$ 和垂直于 $x$ 轴的分量 $d B_{⊥}$ . 由对称性可知，电流环上与电流元 $I d l$ 关于圆心 $O$ 中心对称的电流元 $I d l^{'}$ 在 $P$ 点的磁场垂直分量必定与 $d B_{⊥}$ 等大反向。于是，所有电流元在 $P$ 点的磁场垂直分量的矢量和为零。那么，由式 2

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} B & = \oint d B_{∥} = \oint d B \cos α \hat{x} = \oint \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d l}{R^{2}} \cos α \hat{x} \\ = \frac{μ_{0} I r}{2 R^{2}} \cos α = \frac{μ_{0} I r^{2}}{2 R^{3}} \hat{x} \\ = \frac{μ_{0} I r^{2}}{2 (r_{0}^{2} + r^{2})^{\frac{3}{2}}} \hat{x} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 详细说明

　　毕奥—萨伐尔定律是电磁学的基本假设之一²，所以以下并不是推导，而是解释公式的意义。

　　一个粗细忽略不计的电流回路中有电流 $I$ ，如何确定该回路在空间中任意一点所产生的磁场呢？由于磁场与电场一样可以叠加，我们可以把回路划分成极小的线段，分别计算每个小线段在某点 $r$ 产生的磁场，然后求和。当这些小线段的长度趋近于零，求和就变成了线积分。

图 3：

r^{'}

处的一小段电流

I d r^{'}

在

r

处产生磁场

d B

　　那如何计算一小段（电流元）产生的磁场呢？令该电流元位置为 $r^{'}$ ，长度为 $d r$ ，为了标明正方向可以记为矢量微元 $d r$ 。现在我们要求空间中任意一点 $r$ （把这点叫做场点）的磁场，设电流元的位置为 $r$ （把这点叫做原点），且设

\begin{matrix} (10) & R = r - r^{'}, \end{matrix}

令

d r

与

R

的夹角为

θ

。

　　首先，磁场大小正比于 $I$ ，这是合理的，因为如果把两小段电流元重叠放在一起，那么根据叠加原理，任何地方的磁场都会增加一倍。其次，与点电荷的电场（库仑定律）类似，场强与距离的平方成反比。最后，由于电流有特定的方向，磁场不再具有球对称性，而是以导线为轴的中心对称。磁场大小正比于 $| d r \times \hat{R} | = \sin θ d r$ （磁场方向垂直于 $d r$ 和 $R$ 所在平面，符合右手定则，见 “叉乘”）。这说明，在 $I, r^{'}$ 和长度 $R$ 不变时，该电流源在垂直它的方向（ $θ = π / 2$ ）产生最大场强，在共线方向（ $θ = 0$ ）场强为零。

　　要注意的是，虽然我们是对单独一个 $I d r$ 分析，但稳定的单个电流元在现实中并不存在。因为线电流必须组成环路，否则在两个端点处就会分别积累大量的异号电荷（见电流的连续性），从而产生变化的电场及磁场，而在静态电磁场问题中，我们要求净电荷和电流的分布不随时间改变。所以在利用毕奥—萨伐尔定律时，必须要以对整个闭合回路积分（无穷长直导线或者螺线管等理想化问题除外）若给所有的小电流源编号为 $I d r_{i}$ ，令第 $i$ 个电流源的起点为 $r_{i}^{'}$ ， $R_{i} = r - r_{i}^{'}$ 。把所有电场矢量相加，变为

\begin{matrix} (11) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \sum_{i} \frac{I d r_{i} \times {\hat{R}}_{i}}{R_{i}^{2}} . \end{matrix}

当电流元无穷短，数量无穷多的时候，上式写为积分的形式，且由于第

i

个电流元的终点就是第

i + 1

个电流元的起点，

d l_{i} = r_{i + 1}^{'} - r_{i}^{'} = d r^{'}

，矢量积分写为

\begin{matrix} (12) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times \hat{R}}{R^{2}} . \end{matrix}

注意

R

是场点

r

和源点

r^{'}

的函数，积分时把

r

视为常数而对

r^{'}

积分。为了使公式更明确，在另一些电磁学教材中把上式直接记为

\begin{matrix} (13) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint \frac{I d r^{'} \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} . \end{matrix}

电流密度的形式

　　这里使用一个简单的例子把毕奥—萨伐尔定律拓展到任意电流密度分布 $j$ 的情况（注意不是推导）。事实上这才是更一般的毕奥—萨伐尔定律，前者可以看成是一种特殊情况。

　　假设电流的空间分布是连续变化的而不能看成一条截面不计曲线，我们需要用电流密度 $j$ 来表示空间的电流分布。现在考虑一个粗细不能忽略的环路， $r^{'}$ 处的截面积为 $A$ （取截面时应垂直于电流），通过截面的电流为 $I = A j$ ，所以电流元变为 $I d l = J A d l = j \cdot d V$ （根据定义， $d r$ 与 $j$ 的正方向相同）， $d V$ 是电流元的体积。于是毕奥—萨伐尔定律的环路积分变为体积分

\begin{matrix} (14) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times \hat{R}}{R^{2}} d V^{'}, \end{matrix}

注意积分内的电流密度是关于源点的函数而不是场点的函数。理论上，体积分应该在导线内部进行，然而导线外部电流密度为零，故积分可以对全空间进行。类比式 13 ，更明确的写法是

\begin{matrix} (15) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} d V^{'}, \end{matrix}

积分时

r

视为常数。

3. 旋度形式的证明

　　这里证明式 4 和式 2 等效，式 3 的证明同理（留做习题）。由梯度的定义易得

\begin{matrix} (16) & \frac{r - r^{'}}{{| r - r^{'} |}^{3}} = - \nabla \frac{1}{| r - r^{'} |}, \end{matrix}

注意这里的

\nabla

算符只对

r

作用。将其代入式 2 得

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} B (r) & = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{{| r - r^{'} |}^{3}} d V^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \nabla \frac{1}{| r - r^{'} |} \times j (r^{'}) d V^{'} \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \times \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{aligned} \end{matrix}

最后一步使用了式 5 ，当

A

为常数时

\begin{matrix} (18) & (\nabla f) \times A = \nabla \times (f A) . \end{matrix}

证毕。

1. ^ 在电动力学中，我们提到不存在瞬间作用，电磁场的传播需要时间。而且变化的磁场也会产生变化的电场，这将使计算变得十分复杂，我们将在 “推迟势” 中介绍。
2. ^ 也可以把麦克斯韦方程组中关于磁场旋度的式子看成基本假设，毕奥—萨伐尔是在静电学条件下的推论。

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