磁场的高斯定律

                     

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预备知识 电场的高斯定律

  1磁场的高斯定律(Gauss's law for magnetism)是麦克斯韦方程组中的一条方程.

   磁场的高斯定律:对于任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和任意闭合曲面,曲面上的磁通量为零.

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0 \end{equation}

   也就是说空间任意一点的磁场散度为零.适用高斯定理可以写成微分形式:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \end{equation}

   接下来我们试着验证一下这一结论是否和我们之前的理论是一致的,也就是说我们能否直接从比奥萨伐尔定律所给出的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} (r)$ 推出,首先我们考虑静磁场下,电流是恒定的,因此电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不会在某一个点聚集或者散开,因此有:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 \end{equation}
结合比奥萨伐尔:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
利用矢量乘法的规则可得:
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\times \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3}\cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{j}} )- \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3}) \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} = 0$:
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \end{equation}

   注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况,而后者只适用于静态的情况.

   磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应,它反映了自然界没有孤立的磁单极(或者我们还没找到).形象地看,任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点,它要么是闭合的回路,要么从无穷远来延伸到无穷远去.正因为磁场的这条性质,我们可以将磁感应强度 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 写成某个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 称为矢量势(矢势)


1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面


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