磁场的高斯定律

                     

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预备知识 电场的高斯定律

  1磁场的高斯定律(Gauss's law for magnetism)是麦克斯韦方程组中的一条方程,它描述了空间中磁场的散度为零这一性质,也就是说如果用磁感线的疏密表达磁场的强度,那么空间中任意一条磁感线都不会有起点和终点(这与电场不同,从一个正电荷出发可以有多条电场线延伸至远处)。

1. 磁场高斯定律

   磁场的高斯定律:对于任意磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 和任意闭合曲面,曲面上的磁通量为零。

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0~, \end{equation}
从电场线的角度看,这意味着如果统计穿过任意的闭合曲面的磁感线数量,那么从内部穿到外面和从外面穿到内部的磁感线是相等的。

   也就是说空间任意一点的磁场散度为零。适用高斯定理可以写成微分形式:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~. \end{equation}
上式表达的意思就是磁场的散度为零。如果将空间中某一点的磁场矢量看作是流体在该点的流速,那么磁场是无源无汇的。

   接下来我们试着验证一下这一结论是否和比奥萨法尔定律是一致的,也就是说我们能否直接从比奥萨伐尔定律所给出的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} (r)$ 的表达式推出磁场散度为零的共识。首先我们考虑静磁场下,电流是恒定的,因此电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不会在某一个点聚集或者散开,根据电流守恒方程 $\partial \rho/\partial t + \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} =0$ 因此有:

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 ~. \end{equation}
结合比奥萨伐尔:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{V'} ~. \end{equation}
利用矢量乘法的规则可得:
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\times \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3}\cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{j}} )- \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3})~. \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert ^3} = 0$:
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 ~. \end{equation}

   注意磁场高斯定律适用于经典电动力学的任何情况,而比奥萨法尔定律只适用于静态(电流密度不随时间发生变化)的情况。

   磁场的高斯定律实际上是电场的高斯定律在磁学中的对应,它反映了自然界没有孤立的磁单极(或者我们还没找到)。形象地看,任意一条磁感线都不会起始或终止于空间中的某一点,它要么是闭合的回路,要么从无穷远来延伸到无穷远去。正因为磁场的这条性质,我们可以将磁感应强度 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 写成某个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的旋度,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 称为矢量势(矢势)


1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面


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