安培环路定律

                     

贡献者: addis; 零穹; 水铭

预备知识 斯托克斯定理

  1静电学问题中,在空间中选取一环路(称为安培环路)并定义一个正方向,那么磁感应强度在该环路上的线积分等于穿过环路的总电流(电流的正方向由右手定则 判断)乘以真空中的磁导率 $\mu_0$.

\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \mu_0 I \end{equation}
这就是安培环路定律(Ampere's circuital law).在许多中文教材中,它常被写作 “安培环路定理”,但由于它是经典电动力学的基本假设之一,所以应该叫做定律,另外 law 的翻译也的确是定律而不是定理(theorem).

   微分形式:根据斯托克斯公式(式 1 ),可以把式 1 (积分形式)记为微分形式

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \end{equation}
微分形式和积分形式是完全等价的.

   静电学问题的要求:第一,电流密度的空间分布不随时间变化.这点可以从 “不存在瞬时作用” 理解,假设某时刻电流突然从 0 变为某个值,由于电磁场传播需要一定时间,环路上不可能瞬间出现磁场.第二,空间中不能有变化的电场,因为变化的电场也会产生涡旋磁场,改变环路积分的结果.安培环路定律可以由位移电流拓展为 “广义安培环路定律”,以支持非静电学的情况.

例 1 无限长直导线的磁场

   若导线的电流为 $I$,在其周围作一个半径为 $r$ 的安培环路,由对称性,环路上任意一点的磁感应强度大小相同且沿正方向.所以式 1 等于

\begin{equation} 2\pi r B = \mu_0 I \end{equation}
所以磁感应强度大小的分布为
\begin{equation} B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac Ir \end{equation}
这与使用比奥萨伐尔定律(例 1 )得出的结论一致.

例 2 无限长螺线管的磁场

   (图未完成) 圆柱形均匀缠绕的螺线管单位长度匝数为 $n$ 沿螺线管的轴线方向取一个长方形回路,根据对称性,垂直于轴线的方向不会有任何磁场.所以现在螺线管外面的部分可以任意伸缩,如果伸到无穷远,则磁场为零.所以环路积分完全由内部的平行边贡献

\begin{equation} BL = \mu_0 I_{tot} = \mu_0 nLI \end{equation}
所以外部磁场为零,内部磁场为匀强.
\begin{equation} B = \mu_0 nI \end{equation}
在实际情况中,如果螺线管比较细长,那我们仍然可以近似认为它的内部为匀强磁场.

1. 安培定理与比奥萨法尔定律

预备知识 比奥萨伐尔定律,旋度的逆运算

   在静电学条件下,若已知电流密度分布,比奥萨法尔定律可以让我们通过空间中的电流直接计算处任意位置的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,可以证明该磁场对任意曲面满足安培环路定律(式 1 式 2 ).反之可以证明,符合安培环路定律的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} '$ 不是唯一的,它可以等于比奥萨法尔定律算出的磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 叠加一个任意无旋磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $.而由磁场的高斯定律,$ \boldsymbol{\mathbf{h}} $ 只能是调和场.所以严格来说安培定理与比奥萨法尔定律并不完全等价,前者还要加上一个适当的边界条件(例如无穷远处磁场为零),才能使 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $ 恒为零.


1. ^ 参考 [19] 以及 Wikipedia 相关页面


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