基尔霍夫电路定律

贡献者： FFjet; addis

1. 定律阐述

证明

　　 考虑电路的某节点，跟这节点相连接有 $n$ 个支路。假设进入这节点的电流为正值，离开这节点的电流为负值，则这节点的总电流 $I$ 等于流过支路 $k$ 的电流 $I_k$ 的代数和：

　　 若 $q>0$，则说明有正电荷会累积于该节点，$q<0$ 表示负电荷会累积于节点。在讨论电路时，我们一般假设任意一点不存在净电荷，所以 $q$ 和 $I$ 都恒为零。

例 1　

图 1：列节点方程

　　 各支路电流往往是未知量，它们的方向事先并不知道。这时，可以先给每个支路电流假设一个方向，并按照这一方向列出方程。求解方程后，如果求得某支路电流的数值为正，则该电流的实际方向与假设方向相同，否则相反。这个假设的电流方向叫做电流的正方向。给每一支路电流假设一个正方向之后，就可用代数量描写每条支路的电流，代数量的绝对值反映电流的大小，代数量的正负则反映电流的实际方向。正方向一经选定，节点方程节点方程的形式（等号左右两边应写哪些电流）就完全确定。例如，为列出图 1 中节点 $A$ 的方程，可任意地选定与 $A$ 有关的三个支路电流的正方向如图箭头所示，从而写出如下的节点方程：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& I_1+I_3-I_2=0.\end{array}$$

　　 电路中有 $n$ 个节点的时候，一共有 $n-1$ 个节点方程是独立的。这 $n-1$ 个独立方程构成基尔霍夫第一方程组。将它们与基尔霍夫第二方程组联立后，可以根据已知电动势及电阻求得每一支路的电流。

证明

　　 根据电势差的定义（式 1 ）

例 2　

图 2：复杂电路中的一个回路

　　 据图 2 ，由基尔霍夫电压定律可知，

$$\begin{array}{}\text{(8)}& U_{ML}+U_{NM}+U_{ON}+U_{PO}+U_{LP}=0.\end{array}$$

设想有一个观察者从 $L$ 点出发沿图中圆形箭头所示的方向绕行回路一周回到 $L$ 点，他沿途看到电势有时升高有时降低，而且升、降的总量相等。由图看出，电势从 $L$ 到 $M$ 升高了数值 ${\mathcal{E}}_1$，从 $M$ 到 $N$ 降低了数值 $I_1{R}_1$，依次类推，于是式 8 可以表示为

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\mathcal{E}}_1-I_1{R}_1-{\mathcal{E}}_2-I_2{R}_2+I_3{R}_3=0.\end{array}$$

　　 由以上讨论不难看式 9 中每项前面的正、负号应由以下规则确定：任意选定一个绕行回路的方向（叫做绕行方向），当绕行方向从负极进入电源时（如 ${\mathcal{E}}_1$），其电动势前写 $+$ 号，否则写 $-$ 号（如 ${\mathcal{E}}_2$）；当绕行方向与电阻的电流正方向相同时（如 $R_1$ 和 $R_3$），该电阻的 $IR$ 项前写 $-$ 号，否则写 $+$ 号（如 $R_2$）。再次强调电流可正可负，正电流表示与正方向形同，负电流则相反，所以 $IR$ 也可正可负。

　　 一个电路可以包含许多回路，但它们的方程并非都是独立的。如下图电路所示：$A{R}_{2}B{R}_{1}A$、$A{R}_{3}B{R}_{2}A$ 及 $A{R}_{3}B{R}_{1}A$。

　　 前两个回路的方程显然独立，因为每个回路都包含一条另一回路所不包含的支路。但第三个回路的方程就不独立，它可由前两个方程推出。电路中所有独立的回路方程构成基尔霍夫第二方程组。为了列出独立的回路方程，可以选择这样的回路，其中每个至少包含一条其他回路所不包含的支路。一个完整电路的支路数 $b$、节点数 $n$ 和独立回路数 $m$ 之间的关系为

　　 如果全部电动势及电阻皆已知，则电路共有 $b$ 个未知的支路电流。另一方面，由前述可知，这个电路必有 $n-1$ 个独立的节点方程及 $m$ 个独立的回路方程，即共有 $m+n-1$ 个独立方程，恰与未知量个数 $b$ 相等，因此可唯一地解出各支路电流。当然，除支路电流外，电动势或电阻也可作为未知量，只要未知量个数为 $b$，同样可以求解。可见基尔霍夫方程组原则上可以解决一切线性直流电路的计算问题。

　　 当电动势是待求量而且连电源的极性也未知时，可以任意地给电动势选定一个正方向（即假设一对正、负极，电动势的正方向是指从假设的负极到正极的方向），并把电动势作为代数量列出基氏第二方程，方程中 $\mathcal{E}$ 前的 $+$、$-$ 号应根据绕行方向是否进入假设的负极来决定。求解后，如果 $\mathcal{E}>0$，则实际极性与假设极性相同，否则相反。

2. 定律应用

　　 首先，根据上节所述，可以总结出用基尔霍夫方程组解题的步骤如下：

1. 任意选定各支路电流的正方向；
2. 数出节点数 $n$，任取其中 $n-1$ 个写出 $n-1$ 个节点方程；
3. 数出支路数 $b$，选定 $m=b-n+1$ 个独立回路，任意指定每个回路的绕行方向，列出 $m$ 个回路方程；
4. 对所列的 $(n-1)+(b-n+1)=b$ 个方程联立求解；
5. 根据所得电流值的正负判断各电流的实际方向。

　　 下面来看几道具体的电路例题。

例 4　桥式电路

　　 已知图 4 中 $R_1=50\mathrm{\Omega }$，$R_2=40\mathrm{\Omega }$，$R_3=15\mathrm{\Omega }$，$R_4=26\mathrm{\Omega }$，$R_5=10\mathrm{\Omega }$，求 $A$、$B$ 之间的总电阻。

图 4：桥式电路

　　 设想在 $A$、$B$ 之间接入端电压为 $U$ 的无内阻电源使成完整的电路，用基尔霍夫方程组求出从 $A$ 流进的电流 $I$，则比值 $U/I$ 便是 $A$、$B$ 之间的总电阻。把惠斯通电桥中的 $I_{\mathrm{G}}$、$R_{\mathrm{G}}$ 分别改为 $I_5,R_5$，即可得出答案。求解可得 $I=U/32\mathrm{\Omega }$，即 $A$、$B$ 之间的总电阻为 $32\mathrm{\Omega }$。