矢量分析总结

贡献者： addis; JierPeter

待整合

1. 矢量分析公式列表

　　令 $a, b, c, d$ 为 $R^{3}$ 中的可微矢量场， $ϕ$ 为 $R^{3}$ 中的可微标量场， $\nabla$ 为矢量微分算子 $\hat{x} \partial / \partial x + \hat{y} \partial / \partial y + \hat{z} \partial / \partial z$ 。

\begin{matrix} (1) & a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b) . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & (a \times b) \cdot (c \times d) = (a \cdot c) (b \cdot d) - (a \cdot d) (b \cdot c) . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \nabla \times (\nabla ϕ) = 0 . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \nabla \cdot (\nabla \times a) = 0 . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \nabla \times (\nabla \times a) = \nabla (\nabla \cdot a) - (\nabla \cdot \nabla) a . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \nabla \cdot (ϕ a) = (\nabla ϕ) \cdot a + ϕ \nabla \cdot a . \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & \nabla \times (ϕ a) = (\nabla ϕ) \times a + ϕ \nabla \times a . \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \nabla (a \cdot b) = (a \cdot \nabla) b + b \times (\nabla \times a) + (b \cdot \nabla) a + a \times (\nabla \times b) . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & \nabla \cdot (a \times b) = b \cdot (\nabla \times a) - a \cdot (\nabla \times b) . \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \nabla \times (a \times b) = (b \cdot \nabla) a - (a \cdot \nabla) b + a (\nabla \cdot b) - b (\nabla \cdot a) . \end{matrix}

2. 标量场和矢量场

　　 场（field）是指实线性空间 $V$ ¹

标量场

\begin{matrix} (12) & Φ = Φ (x, y, z) . \end{matrix}

Φ

的数值是空间位置的函数等值面

\begin{matrix} (13) & Φ = C . \end{matrix}

例如气压场、温度场。

矢量场（详见??）

\begin{matrix} (14) & A = A (x, y, z), \end{matrix}

A

的大小、方向是空间位置的函数。例如速度场

v

、电场

E

。

　　场线：有方向的曲线，其上每一点切线方向都与 $A$ 的方向一致。

　　场管：由一束场线围城的管状区域。

3. 标量场的梯度

方向微商

\begin{matrix} (15) & \frac{\partial Φ}{\partial l} = lim_{Δ l \to 0} \frac{Δ Φ}{Δ l}, \end{matrix}

标量场

Φ

在 P 点沿

Δ l

方向的方向微商。

标量场 $Φ$ 的梯度

　　沿方向微商最大的方向（即 $Δ n$ 方向）。

\begin{matrix} (16) & \nabla Φ = \frac{\partial Φ}{\partial n}, \end{matrix}

Δ Φ

方向总于

Φ

的等值面垂直。

　　标量场的梯度是矢量场

　　电势 $U$ 是标量场，其负梯度 $E$ 是矢量场。

4. 矢量场的通量和散度、高斯定理

定义

　　通量

\begin{matrix} (17) & Φ_{A} = \iint_{(S)} A d S = \iint_{(S)} A \cos θ d S . \end{matrix}

流速场、流量、电通量、磁通量。

散度

\begin{matrix} (18) & d i v A = \nabla \cdot A = lim_{Δ V \to 0} \frac{Φ}{Δ V}, \end{matrix}

矢量场的散度是标量场。

坐标表示

\begin{matrix} (19) & \nabla \cdot A = \frac{\partial A_{x}}{\partial x} + \frac{\partial A_{y}}{\partial y} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}, \end{matrix}

\begin{matrix} (20) & \oint A = ∭_{V} \nabla \cdot A d V . \end{matrix}

矢量场通过任意闭合曲面 S 的通量等于它向包围体积 V 内的散度积分。

5. 矢量场的环量和旋度、Stokes 定理

定义

　　环量 $Γ$

\begin{matrix} (21) & Γ = \oint_{L} A \cdot d l, \end{matrix}

矢量场

A

沿闭合回路线积分。

　　 $δ S$ 为闭线 L 包围面积， $n$ 为右旋单位法向量。

　　旋度 $\nabla \times A$

\begin{matrix} (22) & r o t A = \nabla \times A = lim_{Δ S \to 0} \frac{\oint_{L} A d l}{Δ S}, \end{matrix}

矢量场的旋度仍是矢量场。

坐标表示

\begin{matrix} (23) & \nabla \times A = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \end{matrix} |, \end{matrix}

\begin{matrix} (24) & \nabla = i \frac{\partial}{\partial x} + j \frac{\partial}{\partial} y + k \frac{\partial}{\partial z} . \end{matrix}

stokes 定理

\begin{matrix} (25) & \oint_{L} A d l = \iint_{S} (\nabla \times A) \cdot d S . \end{matrix}

矢量场在任意闭合回路 L 上的环量等于它为边界的曲面 S 上旋度的积分。

6. 矢量场的分类

有散场和无散场

　　散度为 0，即无源，为无散场；散度不为 0，即有源，为有散场。由

\begin{matrix} (26) & \nabla \cdot \nabla \times A = 0 \end{matrix}

知，任何矢量场的旋度永远是无散场。

　　任何无散场 $B$ 可表达成某矢量场的旋度

\begin{matrix} (27) & B = \nabla \times A, \nabla \cdot B = 0 . \end{matrix}

有旋场和无旋场

　　旋度为 0，为无旋场;反之为有旋场。

\begin{matrix} (28) & \nabla \times \nabla Φ = 0, \end{matrix}

任何标量场的梯度永远是无旋场。

　　任何无旋场 $A$ 可表示为某个标量场 $Φ$ 的梯度

\begin{matrix} (29) & A = \nabla Φ, \nabla \times A = 0 . \end{matrix}

谐和场

　　谐和场为某一矢量 $A$ 在某空间内既无散又无旋，由于其无旋，所以可以由势场表示：

\begin{matrix} (30) & A = \nabla Φ, \nabla \times A = 0 . \end{matrix}

同样由于其为无散场，所以有：

\begin{matrix} (31) & B = \nabla \times A, \nabla \cdot B = 0 . \end{matrix}

故可以导出 Laplace 方程：

\begin{matrix} (32) & \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2}, \end{matrix}

谐和场的势函数满足 Laplace 方程。

1. ^ 或者更一般地，流形 $M$ 。实线性空间是流形的特例。

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矢量分析总结

1. 矢量分析公式列表

2. 标量场和矢量场

标量场

矢量场（详见??）

3. 标量场的梯度

方向微商

标量场 Φ 的梯度

4. 矢量场的通量和散度、高斯定理

定义

散度

坐标表示

5. 矢量场的环量和旋度、Stokes 定理

定义

坐标表示

stokes 定理

6. 矢量场的分类

有散场和无散场

有旋场和无旋场

谐和场

标量场 $Φ$ 的梯度