矢量分析总结

                     

贡献者: addis; JierPeter

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1. 矢量分析公式列表

   令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} , \boldsymbol{\mathbf{b}} , \boldsymbol{\mathbf{c}} , \boldsymbol{\mathbf{d}} $ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的可微矢量场,$\phi$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的可微标量场,$\nabla$ 为矢量微分算子 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }\partial/\partial{x}+\hat{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }\partial/\partial{y}+\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }\partial/\partial{z}$。

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{b}} \times \boldsymbol{\mathbf{c}} )= \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{c}} \times \boldsymbol{\mathbf{a}} )= \boldsymbol{\mathbf{c}} \cdot( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~. \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} \times( \boldsymbol{\mathbf{b}} \times \boldsymbol{\mathbf{c}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} ) \boldsymbol{\mathbf{b}} -( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} ) \boldsymbol{\mathbf{c}} ~. \end{equation}
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )\cdot( \boldsymbol{\mathbf{c}} \times \boldsymbol{\mathbf{d}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} )( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{d}} )-( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{d}} )( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{c}} )~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\times(\nabla\phi)= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )=0~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} )-(\nabla\cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} ~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot(\phi \boldsymbol{\mathbf{a}} )=(\nabla\phi)\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} +\phi\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} ~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\times(\phi \boldsymbol{\mathbf{a}} )=(\nabla\phi)\times \boldsymbol{\mathbf{a}} +\phi\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} ~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} )=( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{b}} + \boldsymbol{\mathbf{b}} \times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )+( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} \times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot( \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )= \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{a}} )- \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{b}} )~. \end{equation}
\begin{equation} \nabla\times( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )=( \boldsymbol{\mathbf{b}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{a}} -( \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{b}} + \boldsymbol{\mathbf{a}} (\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} )- \boldsymbol{\mathbf{b}} (\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} )~. \end{equation}

2. 标量场和矢量场

   场(field)是指实线性空间 $V$1

标量场

\begin{equation} \Phi=\Phi(x,y,z)~. \end{equation}
$\Phi$ 的数值是空间位置的函数 等值面
\begin{equation} \Phi=C~. \end{equation}
例如气压场、温度场。

矢量场(详见??)

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} (x,y,z)~, \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的大小、方向是空间位置的函数。 例如速度场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $、电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $。

   场线:有方向的曲线,其上每一点切线方向都与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向一致。

   场管:由一束场线围城的管状区域。

3. 标量场的梯度

方向微商

\begin{equation} \frac{\partial \Phi}{\partial l}=\lim_{\Delta l \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta l}~, \end{equation}
标量场 $\Phi$ 在 P 点沿 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{l}} $ 方向的方向微商。

标量场 $\Phi$ 的梯度

   沿方向微商最大的方向(即 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 方向)。

\begin{equation} \boldsymbol\nabla \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial n}~, \end{equation}
$\Delta \Phi$ 方向总于 $\Phi$ 的等值面垂直。

   标量场的梯度是矢量场

   电势 $U$ 是标量场,其负梯度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是矢量场。

4. 矢量场的通量和散度、高斯定理

定义

   通量

\begin{equation} \Phi_A=\iint\limits_{(S)} \boldsymbol{\mathbf{A}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } = \iint\limits_{(S)} A\cos\theta dS~. \end{equation}
流速场、流量、电通量、磁通量。

散度

\begin{equation} div \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Phi}{\Delta V}~, \end{equation}
矢量场的散度是标量场。

坐标表示

\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}~, \end{equation}
\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} =\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} dV~. \end{equation}
矢量场通过任意闭合曲面 S 的通量等于它向包围体积 V 内的散度积分。

5. 矢量场的环量和旋度、Stokes 定理

定义

   环量 $\Gamma$

\begin{equation} \Gamma=\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot d \boldsymbol{\mathbf{l}} ~, \end{equation}
矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 沿闭合回路线积分。

   $\delta S$ 为闭线 L 包围面积,$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为右旋单位法向量。

   旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $

\begin{equation} rot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} }{\Delta S}~, \end{equation}
矢量场的旋度仍是矢量场。

坐标表示

\begin{equation} \nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{i}} & \boldsymbol{\mathbf{j}} & \boldsymbol{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}~, \end{equation}
\begin{equation} \nabla = \boldsymbol{\mathbf{i}} \frac{\partial}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{j}} \frac{\partial}{\partial}y + \boldsymbol{\mathbf{k}} \frac{\partial}{\partial z}~. \end{equation}

stokes 定理

\begin{equation} \oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} =\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} )\cdot d \boldsymbol{\mathbf{S}} ~. \end{equation}
矢量场在任意闭合回路 L 上的环量等于它为边界的曲面 S 上旋度的积分。

6. 矢量场的分类

有散场和无散场

   散度为 0,即无源,为无散场;散度不为 0,即有源,为有散场。由

\begin{equation} \nabla\cdot\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~ \end{equation}
知,任何矢量场的旋度永远是无散场。

   任何无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 可表达成某矢量场的旋度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~. \end{equation}

有旋场和无旋场

   旋度为 0,为无旋场;反之为有旋场。

\begin{equation} \nabla\times\nabla\Phi=0~, \end{equation}
任何标量场的梯度永远是无旋场。

   任何无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可表示为某个标量场 $\Phi$ 的梯度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~. \end{equation}

谐和场

   谐和场为某一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 在某空间内既无散又无旋,由于其无旋,所以可以由势场表示:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0~. \end{equation}
同样由于其为无散场,所以有:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0~. \end{equation}
故可以导出 Laplace 方程:
\begin{equation} \nabla\cdot\nabla=\nabla^2~, \end{equation}
谐和场的势函数满足 Laplace 方程。


1. ^ 或者更一般地,流形 $M$。实线性空间是流形的特例。


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