磁矢势

                     

贡献者: addis

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  • 已知电流如何求磁矢势?见毕奥—萨伐尔定律的旋度形式
预备知识 亥姆霍兹分解

   由于磁场 B(r) 任何情况都是一个无源场,所以根据 “旋度的逆运算” 的定理 1 ,必定存在一个矢量场 A(r) 使得

(1)×A=B .
A 可以通过下式计算
(2)A(r)=14πB(r)×RR3dV+H(r) .
其中 r,r 分别是坐标原点指向三维直角坐标 (x,y,z)(x,y,z) 的位置矢量,R=rrR=|R|,体积分 dV=dxdydz 的区域是空间中 B 不为零的区域,× 表示矢量叉乘H(r) 是一个任意无旋场。

   若已知恒定电流分布如何求空间某点的磁矢势呢?当然我们可以先用毕奥—萨伐尔定律求出磁场分布再用式 2 求出磁矢势,但也而已直接求出,使用毕奥—萨伐尔定律的旋度形式(式 4

(3)B(r)=μ04π×j(r)|rr|dV ,
对比式 1 可得
(4)A(r)=μ04πj(r)|rr|dV .
注意 A 不是唯一的,给它加上任意无旋场同样使式 1 成立。两个旋度相同的场只可能相差一个无旋场。无旋场也可以记为任意函数的梯度 φ

   可以证明静电学条件下式 4 右边第一项是一个无散场,对第一项的积分求关于 r 的梯度得

(5)j(r)|rr|dV=(1|rr|)j(r)dV=(1|rr|)j(r)dV ,
其中 代表求关于 r 的梯度。接下来使用多维分部积分式 4 ,令 f(r)=1/|rr|A(r)=j(r)。面积分取无穷大的球面,积分为零;最后一项中由于 j(r)=0,积分同样为零。证毕。

1. 规范

   (详见 “规范变换”)由于 A(r) 不止一种,我们有时候需要某种规范(gauge)来将其唯一确定下来。例如在库仑规范(Coulomb Gauge)中,我们要求

(6)A=0 .
根据式 2 ,我们只需要令 H(r) 是一个调和场即可,事实上库仑规范直接规定 H(r)=0


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