贡献者： addis
- 本文处于草稿阶段。
- 已知电流如何求磁矢势？见毕奥—萨伐尔定律的旋度形式
由于磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 任何情况都是一个无源场，所以根据 “旋度的逆运算” 的定理 1 ，必定存在一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 使得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.
\end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以通过下式计算
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} + \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $，体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 不为零的区域，$ \boldsymbol\times $ 表示矢量
叉乘，$ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个任意无旋场。
若已知恒定电流分布如何求空间某点的磁矢势呢？当然我们可以先用毕奥—萨伐尔定律求出磁场分布再用式 2 求出磁矢势，但也而已直接求出，使用毕奥—萨伐尔定律的旋度形式（式 4 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{equation}
对比
式 1 可得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.
\end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 不是唯一的，给它加上任意无旋场同样使
式 1 成立。两个旋度相同的场只可能相差一个无旋场。无旋场也可以记为任意函数的梯度 $ \boldsymbol\nabla \varphi$。
可以证明静电学条件下式 4 右边第一项是一个无散场，对第一项的积分求关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的梯度得
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} =
\int \left( \boldsymbol\nabla \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \right) \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} \\
&= -\int \left( \boldsymbol\nabla ' \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \right) \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol\nabla '$ 代表求关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的梯度。接下来使用多维分部积分
式 4 ，令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 1/ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$。面积分取无穷大的球面，积分为零；最后一项中由于 $ \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 0$，积分同样为零。证毕。
1. 规范
（详见 “规范变换”）由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 不止一种，我们有时候需要某种规范（gauge）来将其唯一确定下来。例如在库仑规范（Coulomb Gauge）中，我们要求
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
根据
式 2 ，我们只需要令 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个调和场即可，事实上库仑规范直接规定 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$。
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