磁矢势

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。
已知电流如何求磁矢势？见毕奥—萨伐尔定律的旋度形式

预备知识　亥姆霍兹分解

　　由于磁场 $B (r)$ 任何情况都是一个无源场，所以根据 “旋度的逆运算” 的定理 1 ，必定存在一个矢量场 $A (r)$ 使得

\begin{matrix} (1) & \nabla \times A = B . \end{matrix}

且

A

可以通过下式计算

\begin{matrix} (2) & A (r) = \frac{1}{4 π} \int B (r^{'}) \times \frac{R}{R^{3}} d V^{'} + H (r) . \end{matrix}

其中

r, r^{'}

分别是坐标原点指向三维直角坐标

(x, y, z)

和

(x^{'}, y^{'}, z^{'})

的位置矢量，

R = r^{'} - r

，

R = | R |

，体积分

\int d V^{'} = \int d x^{'} d y^{'} d z^{'}

的区域是空间中

B

不为零的区域，

\times

表示矢量叉乘，

H (r)

是一个任意无旋场。

　　若已知恒定电流分布如何求空间某点的磁矢势呢？当然我们可以先用毕奥—萨伐尔定律求出磁场分布再用式 2 求出磁矢势，但也而已直接求出，使用毕奥—萨伐尔定律的旋度形式（式 4 ）

\begin{matrix} (3) & B (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \nabla \times \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'}, \end{matrix}

对比式 1 可得

\begin{matrix} (4) & A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} . \end{matrix}

注意

A

不是唯一的，给它加上任意无旋场同样使式 1 成立。两个旋度相同的场只可能相差一个无旋场。无旋场也可以记为任意函数的梯度

\nabla φ

。

　　可以证明静电学条件下式 4 右边第一项是一个无散场，对第一项的积分求关于 $r$ 的梯度得

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \nabla \cdot \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d V^{'} = \int (\nabla \frac{1}{| r - r^{'} |}) j (r^{'}) d V^{'} \\ = - \int (\nabla^{'} \frac{1}{| r - r^{'} |}) j (r^{'}) d V^{'}, \end{aligned} \end{matrix}

其中

\nabla^{'}

代表求关于

r^{'}

的梯度。接下来使用多维分部积分式 4 ，令

f (r^{'}) = 1 / | r - r^{'} |

，

A (r^{'}) = j (r^{'})

。面积分取无穷大的球面，积分为零；最后一项中由于

\nabla^{'} \cdot j (r^{'}) = 0

，积分同样为零。证毕。

1. 规范

　　（详见 “规范变换”）由于 $A (r)$ 不止一种，我们有时候需要某种规范（gauge）来将其唯一确定下来。例如在库仑规范（Coulomb Gauge）中，我们要求

\begin{matrix} (6) & \nabla \cdot A = 0 . \end{matrix}

根据式 2 ，我们只需要令

H (r)

是一个调和场即可，事实上库仑规范直接规定

H (r) = 0

。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。