磁矢势

             

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  • 已知电流如何求磁矢势?见表萨法尔定律的旋度形式
预备知识 亥姆霍兹分解

   由于磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 任何情况都是一个无旋场,所以根据 “旋度的逆运算” 的定理 1 ,必定存在一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 使得

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可以通过下式计算
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'} + \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $,$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $,体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 不为零的区域,$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘,$ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个任意无旋场.

   若已知恒定电流分布如何求空间某点的磁矢势呢?当然我们可以先用比奥萨伐尔定律 求出磁场分布再用式 2 求出磁矢势,但也而已直接求出,使用比奥萨法尔定律的旋度形式(式 4

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
对比式 1 可得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} \end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 不是唯一的,给它加上任意无旋场同样使式 1 成立.两个旋度相同的场只可能相差一个无旋场.无旋场也可以记为任意函数的梯度 $ \boldsymbol\nabla \varphi$.

   可以证明静电学条件下式 4 右边第一项是一个无散场,对第一项的积分求关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的梯度得

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} = \int \left( \boldsymbol\nabla \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \right) \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} \\ &= -\int \left( \boldsymbol\nabla ' \frac{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \right) \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol\nabla '$ 代表求关于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的梯度.接下来使用多维分部积分式 4 ,令 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 1/ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert $,$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$.面积分取无穷大的球面,积分为零;最后一项中由于 $ \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') = 0$,积分同样为零.证毕.

1. 规范

   (详见 “规范变换”)由于 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 不止一种,我们有时候需要某种规范(gauge)来将其唯一确定下来.例如在库伦规范(Coulomb Gauge)中,我们要求

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
根据式 2 ,我们只需要令 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个调和场即可,事实上库伦规范直接规定 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0$.

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