磁矢势
贡献者: addis
- 本文处于草稿阶段。
- 已知电流如何求磁矢势?见毕奥—萨伐尔定律的旋度形式
由于磁场 任何情况都是一个无源场,所以根据 “旋度的逆运算” 的定理 1 ,必定存在一个矢量场 使得
且 可以通过下式计算
其中 分别是坐标原点指向三维直角坐标 和 的位置矢量,,,体积分 的区域是空间中 不为零的区域, 表示矢量
叉乘, 是一个任意无旋场。
若已知恒定电流分布如何求空间某点的磁矢势呢?当然我们可以先用毕奥—萨伐尔定律求出磁场分布再用式 2 求出磁矢势,但也而已直接求出,使用毕奥—萨伐尔定律的旋度形式(式 4 )
对比
式 1 可得
注意 不是唯一的,给它加上任意无旋场同样使
式 1 成立。两个旋度相同的场只可能相差一个无旋场。无旋场也可以记为任意函数的梯度 。
可以证明静电学条件下式 4 右边第一项是一个无散场,对第一项的积分求关于 的梯度得
其中 代表求关于 的梯度。接下来使用多维分部积分
式 4 ,令 ,。面积分取无穷大的球面,积分为零;最后一项中由于 ,积分同样为零。证毕。
1. 规范
(详见 “规范变换”)由于 不止一种,我们有时候需要某种规范(gauge)来将其唯一确定下来。例如在库仑规范(Coulomb Gauge)中,我们要求
根据
式 2 ,我们只需要令 是一个调和场即可,事实上库仑规范直接规定 。
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