电流密度

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 电流,流密度

   电流某时刻在空间中的分布情况可以用电流密度(矢量)$ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 来描述,其方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的电荷运动方向相同,详见 “流密度”。

\begin{equation} I = \int_S \,\mathrm{d}{I} = \int_S \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } ~. \end{equation}
我们可以这样理解上式:若作一个垂直于电流方向的横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $,且穿过这一横截面的电流为 $ \,\mathrm{d}{I} $(这意味着单位时间 $\Delta t$ 内有 $ \,\mathrm{d}{I} \cdot \Delta t$ 的电荷经过这个横截面),那么该横截面的电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 可以用 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } / \,\mathrm{d}{S} $ 来估计,它的方向与电流是一致的。它衡量了单位时间内单位横截面通过的电流量。现在考虑,如果作一个横截面不垂直于电流方向,或者说将原来的那个横截面倾斜一个角度 $\theta$;假设通过它的电流仍然是 $I$,那么可以预料到该横截面的大小变为原来的 $1/\cos\theta$ 倍;并且法向矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不再平行,而是呈一个 $\theta$ 的夹角,它们的点乘就会贡献一个 $\cos\theta$,这与前面的 $1/\cos\theta$ 相抵消。这意味着 $I=\int \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 是良定义的。

   另外还要注意的一点时,式 1 中对曲面 $S$ 上电流的面积分是有方向性的。在面积微元 $ \,\mathrm{d}{S} $ 处,当法线方向 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 的夹角小于 $90^\circ$ 时,该区域对电流 $I$ 的贡献大于 $0$,否则小于 $0$。在这里我们所考察的电流 $I$ 可正可负,代表了从曲面 $S$ 的内侧外侧所通过的电流(单位时间的电荷)。外侧的意思是法线所指代的方向,即对应着曲面积分的定向。

   上面我们从一个经典的宏观世界的角度考察了电流密度的定义。下面让我们回到电流的微观定义。假设介质中 $n$ 为载流子的数密度,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为介质中某一点载流子的平均运动速度。在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向画一个横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $,容易写出电流 $I$ 的关系式:$I=ne \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $。再根据电流密度的定义,我们有:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{v}} = ne \boldsymbol{\mathbf{v}} ~. \end{equation}
其中 $\rho=ne$ 是载流子的体电荷密度,$n$ 是载流子的数密度,$e$ 是单个载流子的电荷量。要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是载流子的平均运动速度,因为再微观层面上各个载流子的运动方向其实是不确定的,它们在外场的作用下具有了沿一个方向上的平均运动速度的分量,才产生了电流。也就是说,电流密度、电流这些概念在宏观层面和充分多载流子的统计意义上才能够成立 [1]


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利