电流密度

                     

贡献者： _Eden_; addis

　　 电流某时刻在空间中的分布情况可以用电流密度（矢量）$ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 来描述，其方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的电荷运动方向相同，详见 “流密度”。

我们可以这样理解上式：若作一个垂直于电流方向的横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $，且穿过这一横截面的电流为 $ \,\mathrm{d}{I} $（这意味着单位时间 $\Delta t$ 内有 $ \,\mathrm{d}{I} \cdot \Delta t$ 的电荷经过这个横截面），那么该横截面的电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 可以用 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } / \,\mathrm{d}{S} $ 来估计，它的方向与电流是一致的。它衡量了单位时间内单位横截面通过的电流量。现在考虑，如果作一个横截面不垂直于电流方向，或者说将原来的那个横截面倾斜一个角度 $\theta$；假设通过它的电流仍然是 $I$，那么可以预料到该横截面的大小变为原来的 $1/\cos\theta$ 倍；并且法向矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不再平行，而是呈一个 $\theta$ 的夹角，它们的点乘就会贡献一个 $\cos\theta$，这与前面的 $1/\cos\theta$ 相抵消。这意味着 $I=\int \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 是良定义的。

　　 另外还要注意的一点时，式 1 中对曲面 $S$ 上电流的面积分是有方向性的。在面积微元 $ \,\mathrm{d}{S} $ 处，当法线方向 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 的夹角小于 $90^\circ$ 时，该区域对电流 $I$ 的贡献大于 $0$，否则小于 $0$。在这里我们所考察的电流 $I$ 可正可负，代表了从曲面 $S$ 的内侧到外侧所通过的电流（单位时间的电荷）。外侧的意思是法线所指代的方向，即对应着曲面积分的定向。

　　 上面我们从一个经典的宏观世界的角度考察了电流密度的定义。下面让我们回到电流的微观定义。假设介质中 $n$ 为载流子的数密度，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为介质中某一点载流子的平均运动速度。在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向画一个横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $，容易写出电流 $I$ 的关系式：$I=ne \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $。再根据电流密度的定义，我们有：

其中 $\rho=ne$ 是载流子的体电荷密度，$n$ 是载流子的数密度，$e$ 是单个载流子的电荷量。要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是载流子的平均运动速度，因为再微观层面上各个载流子的运动方向其实是不确定的，它们在外场的作用下具有了沿一个方向上的平均运动速度的分量，才产生了电流。也就是说，电流密度、电流这些概念在宏观层面和充分多载流子的统计意义上才能够成立 [1]。

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[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed