电流密度

                     

贡献者: _Eden_; addis; ACertainUser

预备知识 电流,流密度

   电流某时刻在空间中的分布情况可以用电流密度(矢量)$ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 来描述,其方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处的电荷运动方向相同,详见 “流密度”。

\begin{equation} I = \int_S \,\mathrm{d}{I} = \int_S \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } \end{equation}
我们可以这样理解上式:若作一个垂直于电流方向的横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $,且穿过这一横截面的电流为 $ \,\mathrm{d}{I} $(这意味着单位时间 $\Delta t$ 内有 $ \,\mathrm{d}{I} \cdot \Delta t$ 的电荷经过这个横截面),那么该横截面的电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 可以用 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } / \,\mathrm{d}{S} $ 来估计,它的方向与电流是一致的。它衡量了单位时间内单位横截面通过的电流量。现在考虑,如果作一个横截面不垂直于电流方向,或者说将原来的那个横截面倾斜一个角度 $\theta$;假设通过它的电流仍然是 $I$,那么可以预料到该横截面的大小变为原来的 $1/\cos\theta$ 倍;并且法向矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与电流 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 不再平行,而是呈一个 $\theta$ 的夹角,它们的点乘就会贡献一个 $\cos\theta$,这与前面的 $1/\cos\theta$ 相抵消。这意味着 $I=\int \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 是良定义的。

   另外还要注意的一点时,式 1 中对曲面 $S$ 上电流的面积分是有方向性的。在面积微元 $ \,\mathrm{d}{S} $ 处,当法线方向 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 的夹角小于 $90^\circ$ 时,该区域对电流 $I$ 的贡献大于 $0$,否则小于 $0$。在这里我们所考察的电流 $I$ 可正可负,代表了从曲面 $S$ 的内侧外侧所通过的电流(单位时间的电荷)。外侧的意思是法线所指代的方向,即对应着曲面积分的定向。

   上面我们从一个经典的宏观世界的角度考察了电流密度的定义。下面让我们回到电流的微观定义。假设介质中 $n$ 为载流子的数密度,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 为介质中某一点载流子的平均运动速度。在垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 方向画一个横截面 $ \,\mathrm{d}{S} $,容易写出电流 $I$ 的关系式:$I=ne \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } $。再根据电流密度的定义,我们有:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{j}} = \rho \boldsymbol{\mathbf{v}} = ne \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
其中 $\rho=ne$ 是载流子的体电荷密度,$n$ 是载流子的数密度,$e$ 是单个载流子的电荷量。要注意 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是载流子的平均运动速度,因为再微观层面上各个载流子的运动方向其实是不确定的,它们在外场的作用下具有了沿一个方向上的平均运动速度的分量,才产生了电流。也就是说,电流密度、电流这些概念在宏观层面和充分多载流子的统计意义上才能够成立 [25]


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